高二数学单元专题：文科立体几何.doc

福建省基地校单元专题：文科立体几何（南安一中）一、选择题、填空题：三视图：（1）简单组合体的体积或表面积例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，由一个底面半径为的圆柱，挖去一个正四棱锥得到的几何体，（2）几何体切割问题例2已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【解析】作出三视图所对应的几何体(如图1)，底面是边长为2的正方形，平面，平面，连接，则该几何体的体积为 方法二：如图2，三视图所对应的几何体是一个三棱柱被一平面所截得到的，故该几何体的体积为（3）最值问题例3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（A） （B） （C） （D） 【解析】如图，由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥 其中底面，经计算知最长棱为故选B球：（1）球的定义例4将长、宽分别为4和3的长方形沿对角线折起，得到四面体，则四面体的外接球的体积为_【解析】设与相交于，折起来后仍然有，为外接球的球心，外接球的半径，从而体积.(2) 球的截面圆性质例5已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于 【解析】设三角形与三角形的外心分别为与，可知球心为的中点，连结，在三角形中，所以，因此三角形的外接圆的半径，又由，得，在中，所以，直三棱柱的体积（3）内切球例6一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积为，则这个三棱柱的体积是 【解析】由条件可求得球的半径，设正三棱柱的底面边长为方法一：根据图形特征可知，从而三棱柱的体积.方法二：把内切球的球心与各顶点连接，可分割得到3个四棱锥和2个三棱锥，且它们的高都是球的半径，则这5个棱锥的体积之和就是该三棱柱的体积，从而得到，则有，解得，从而三棱柱的体积.解答题：（一）载体：四棱锥，考点：面面垂直，体积例1如图，已知四棱锥的底面是菱形，为边的中点，点在线段上.（）证明：平面平面；（）若，平面，求四棱锥的体积.【解析】（）证明：连接，因为底面是菱形，所以是正三角形，所以 2分因为为的中点，所以， 3分且，所以平面， 4分又平面，所以平面平面 5分（）连接，交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，6分 易知点为的重心，所以， 故， 7分 因为， 所以，又，所以，所以，即，8分 又，且,所以平面， 9分 由知，故点到平面的距离为，10分 因为， 所以四棱锥的体积为12分 （二） 载体：三棱柱，考点：线面平行，体积例2如图，在直三棱柱中，,分别为棱的中点（）求证:平面（）若异面直线与 所成角为，求三棱锥的体积【解析】（）证明：取的中点,连接, 因为分别为棱的中点，所以,1分，2分同理可证,3分且,平面,所以平面平面， 4分又平面,所以平面. 5分（）由（）知异面直线与所成角,所以, 6分因为三棱柱为直三棱柱，所以平面,所以平面,又,.8分,平面,10分所以 . 12分（三） 载体：长方体，考点：作图（线面平行），轨迹（圆弧）例3已知长方体中，底面为正方形，点在棱上，且（）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；（）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值【解析】（）取的一个四等分点，使得，则有平面.1分证明如下：因为且，所以四边形为平行四边形，则，2分因为平面，平面，所以平面4分（）因为，所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四