专题七数学思想方法

白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 1 白云二中白云二中 2014 届高三文科二轮专题复习之届高三文科二轮专题复习之 数学思想方法数学思想方法 陈先锋陈先锋 一 知识网络构建知识网络构建 二 考向预测二 考向预测 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查 考查时必 须与数学知识相结合 高考命题是通过数学知识的考查 来反映对数学思想方法的理解和 掌握程度 四种数学思想方法是每年高考的必考内容 是高考考查的重点 各种题型都有 难度中等偏上 1 与函数和方程思想有关的常见题型有 与不等式 方程有关的最值问题 建立 目标函数 求最值或最优解问题 在含有多个变量的问题中 选择合适的自变量构造函 数解题 实际应用问题 建立函数关系 利用函数性质 导数 不等式性质等知识解答 利用函数思想解决数列中的问题 2 与数形结合思想有关的常见题型 集合间关系利用韦恩图求解 以数学公式 数学概念的几何意义 函数图象为载体的综合题 如截距 斜率 距离 导数的几何意义 借助图象求解 3 与分类与整合思想有关的常见题型 含有参数的函数性质问题 交点问题 对 由数学概念引起的分类讨论问题 如对指数函数 对数函数的底数的讨论 对一元二次不 等式的二次项系数的讨论 由公式定理引起的讨论问题 如绝对值 等比数列前 n 项和 的计算问题 4 与转化与化归思想有关的常见题型 未知转化为已知 复杂转化为简单 函数 与方程的相互转化 正与反 一般与特殊的转化 即正难则反 特殊化原则 空间与 平面的相互转化 常量与变量的转化 数与形的转化 相等与不等的相互转化 实际问题与数学模型的转化 三 三 备考策略备考策略 二轮复习时 要有效地掌握以下几个方面 数学思想与方法是通过数学知识体现的 在复习中 要养成利用数学思想分析问题 思考问题 解答问题的习惯意识 1 对于函数与方程思想 在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件 构造出函数解析式 和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键 2 数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来 即将代数问题几 白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 2 何化 几何问题代数化 在运用数形结合思想分析问题时 要注意三点 理解一些概念 与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征 对题目中的条件和结论既分析其几何意义 又分析其代数意义 恰当设参 合理用参 建立关系 由形思数 以数想形 做好数形 转化 确定参数的取值范围 参数的范围决定图形的范围 3 分类与整合思想实质上是 化整为零 各个击破 再积零为整 的数学策略 利用 好分类与整合思想可以优化解题思路 降低问题难度 复习中要养成分类与整合的习惯 常见的分类情形有 概念分类型 运算需要型 参数变化型 图形变动型 4 转化与化归思想是高中数学学习中最基本 最重要的思想方法 它无处不在 比如 解不等式时 将分式不等式转化为整式不等式来求解 处理立体几何问题时 将空间的问 题转化到一个平面上解决 在解析几何中 通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题 复数问题化归为实数问题等 第一讲第一讲 函数与方程思想和数形结合思想函数与方程思想和数形结合思想 1 函数与方程思想在解题应用中主要表现在两个方面 一是借助有关初等函数的性质 解有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是通过建立函数 关系式或构造中间函数把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 达到化难为易 化繁 为简的目的 数列是一种特殊的函数 它的通项或前 n 项和都是自变量为正整数的函数 用函数的 观点处理数列问题十分重要 解析几何的许多问题 如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 涉及二次方程与二次函数的有关理论 立体几何中有关 线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 2 数形结合的思想方法就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数析形 使复杂问题 简单化 抽象问题具体化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 它 是数学的规律性与灵活性的有机结合 使用数形结合的方法 很多问题能够迎刃而解 且解法简捷 数形结合思想方法的应 用十分广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 运用数形结合思想 不仅直观 易发 现解题途径 而且能够避免复杂的数学计算与推理 大大简化解题过程 数形结合的重点 是 以形助数 在解选择题 填空题中更显其优越性 在解选择题 填空题中更显其优越性 探究点一探究点一 利用函数性质解题利用函数性质解题 例 1 2011 北京卷 已知点 A 0 2 B 2 0 若点 C 在函数 y x2的图象上 则使得 ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 分析 画出大致图形 可知 ABC 的底边已定 顶点在函数 y x2的图象上运动 只需判断函数 y x2的图象上有几个点到直线 AB 的距离等于 ABC 的高即可 白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 3 变式题变式题 1 已知函数 y f x 的图象与函数 y log2的图象关于直线 y x 对称 则 f 1 的值 1 x 1 为 A 1 B 1 C D 1 2 1 2 2 若函数 f x 对定义域内的任意 x 都有 f x f 2 x 且当 x 1 时 其导函数 f x 满足 xf x f x 若 1 a 2 则 A f 2a f 2 f log2a B f 2 f log2a f 2a C f log2a f 2 f 2a D f log2a f 2a f 2 探究点二探究点二 变函数为方程解题变函数为方程解题 例 2 已知函数 f x Error Error 若 f a f 1 0 则实数 a 的值等于 A 3 B 1 C 1 D 3 变式题变式题 1 已知定义在 R 上的奇函数 f x 和偶函数 g x 满足 f x g x ax a x 2 a 0 且 a 1 若 g 2 a 则 f 2 A 2 B C D a2 15 4 17 4 2 函数 f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值和最小值之和为 a 则 a 的值为 A B C 2 D 4 1 4 1 2 探究点三探究点三 函数问题中的数形结合函数问题中的数形结合 例 3 方程 x cosx 在 内 A 没有根 B 有且仅有一个根 C 有且仅有两个根 D 有无穷多个根 变式题变式题 1 下列区间中 函数 f x 在其上为增函数的是 ln 2 x A 1 B 1 4 3 C D 1 2 0 3 2 2 设 f x sin x 是 0 1 上的函数 且定义 f1 x f x f2 x f f1 x fn x f fn 1 x n N 则满足 fn x 1 x 0 1 的 x 的个数是 A 2n B 2n2 C 2n 1 D 2 2n 1 探究点四探究点四 参数范围中的数形结合参数范围中的数形结合 例 4 对实数 a 和 b 定义运算 a b Error Error 设函数 f x x2 2 x 1 x R 若 函数 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 则实数 c 的取值范围是 A 1 1 2 B 2 1 1 2 白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 4 C 2 1 2 D 2 1 变式题变式题 1 已知函数 f x Error Error 若关于 x 的方程 f x k 有两个不同的实根 则实数 k 的取值 范围是 2 已知 g x mx 2 f x x2 若对任意的 x1 1 2 总存在 x2 1 3 3x2 4 x2 使得 g x1 f x2 则 m 的取值范围是 A 0 B C D 1 2 1 1 3 2 3 1 2 1 规律技巧提炼 1 应用函数与方程思想解题时可以从以下几个方面来思考 1 构造函数关系利用函数性质解题 2 选择主从变量 揭示函数关系 3 变函数为方程 求解函数性质 4 化数列为函数或方程 探求数列问题 2 应用数形结合思想方法解题 通常包括以下几个方面 1 集合问题中的数形结合 2 函数与不等式问题中的数形结合 3 参数范围问题中的数形结合 4 立体几何中的数形结合 5 解析几何中的数形结合 请同学们试研究下列问题 并思考这两个问题体现了数学中的什么思想 请同学们试研究下列问题 并思考这两个问题体现了数学中的什么思想 1 定义在 R 上的函数 y f x 是减函数 且函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 成中心对 称 若 s t 满足不等式 f s2 2s f 2t t2 则当 1 s 4 时 的取值范围是 t s A B 1 4 1 1 4 1 C D 1 2 1 1 2 1 2 已知直线 l 与抛物线 x2 4y 相切于点 P 2 1 且与 x 轴交于点 A 定点 B 的坐标为 2 0 1 若动点 M 满足 0 求点 M 的轨迹 C 的方程 AB BM 2 AM 2 若过点 B 的直线 l 斜率不等于零 与 1 中的轨迹 C 交于不同的两点 E F E 在 B F 之间 试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围 第二讲第二讲 分类与整合思想和转化与化归思想分类与整合思想和转化与化归思想 白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 5 1 分类与整合思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的 对象按某个标准分类 然后对每一类分别研究得出每一类的结论 最后综合各类结果得到 整个问题的解答 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法 也是一种数学思想 这种数学思 想对于简化研究对象 发展人的思维有着重要的帮助 要正确地对数学问题进行分类 通常是从研究的问题入手 选取恰当的分类标准 然 后根据数学对象的属性 把它们不重不漏地划分为若干个类别 科学的分类 一个是标准 的统一 一个是不重不漏 划分只是手段 分类研究才是目的 有 分 必然有 合 当 分类解决完这个问题之后 还必须把它们综合在一起 因为我们研究的毕竟是这个问题的 整体 这样有 分 有 合 先 分 后 合 不仅是分类与整合思想解决数学问题的 主要过程 也是分类与整合思想的本质属性 2 化归与转化思想的实质是揭示联系 实现转化 除极简单的问题外 每个数学问题 的解决都是通过转化为已知的问题实现的 从这个意义上讲 解决数学问题的过程就是从 未知向已知转化的过程 数学中的转化比比皆是 如未知与已知的转化 复杂与简单的转化 特殊与一般的转 化 新知识与旧知识的转化 命题之间的转化 数与形的转化 空间与平面的转化 高维 与低维的转化 多元与一元的转化 函数与方程的转化 相等与不等的转化及数学各分支 间的转化等 都是转化思想的体现 探究点一探究点一 依据概念或性质分类讨论依据概念或性质分类讨论 例例 1 设 A 0 0 B 4 0 C t 4 3 D t 3 t R 记 N t 为平行四边形 ABCD 内部 不含边界 的 整点的个数 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则 N 0 N t 的所有可 能取值为 变式题变式题 已知实数 a 0 函数 f x Error Error 若 f 1 a f 1 a 则 a 的值为 探究点二探究点二 理解关系与本质整合归纳理解关系与本质整合归纳 例 2 2011 课标全国卷 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边 在直线 y 2x 上 则 cos2 A B 4 5 3 5 C D 3 5 4 5 探究点三探究点三 一般问题与特殊问题化归一般问题与特殊问题化归 例 3 2011 江西卷 观察下列各式 72 49 73 343 74 2401 则 72011的末两位数字 为 白云二中 2014 届高三 3 班二轮专题复习资料 数学思想方法 6 A 01 B 43 C 07 D 49 变式题变式题 1 若 f1 x f x fn x fn 1 f x n 2 n N 则 f 1 f 2 f 2011 x 1 x f1 1 f2 1 f2011 1 A 2009 B 2011 C 2010 D 1 2 已知函数 f x loga x 1 a 1 若函数 y g x 图象上任意一点 P 关于原点的对称 点 Q 的轨迹恰好是函数 f x 的图象 1 写出函数 g x 的解析式 2 当 x 时 总有 f x g x m 成立 求 m 的取值范围 0 1 规律技巧提炼规律技巧提炼 1 分类的原则 1 分类的对象确定 标准统一 2 不重复 不遗漏 3 分层次 不越级讨论 2 化归与转化应遵循的基本原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验 和方法来解决 2 简单化原则 将复杂问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决达到解决复杂问 题的目的或获得某种解题的启示和方法 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表达的和 谐形式 或者转化命题 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规 律 4 直观性原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反 面去探索 使问题获解 请同学们试研究下列问题 并思考这两个问题体现了数学中的什么思想 请同学们试研究下列问题 并思考这两个问题体现了数学中的什么思想 1 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点 焦点在 x 轴上 左右焦点分别为 F1 F2 且它们在第一象限的交点为 P PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形 若 PF1 10 双曲线的离心率的取值范围为 1 2 则该椭圆的离心率的取值范围是 2 已知某正六棱柱的所有顶点都在半径为 3 的球面上 则该正六棱柱的体积的最大值 为 专项练习题 专项练习题 1 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a3 S3 则 a1的值为 3 2 9 2 2 设常数 a 0 椭圆 x2 a2 a2y2 0 的长轴长是短轴长的 2 倍 则 a 3 若函数 y mx2 x 5 在 2 上是增函数 则 m 的取值范围是 4 已知数列 1 a1 a2 4 成等差数列 1 b1 b2 b3 4