理论力学--动力学习题+答案.ppt

A a bB a b都不正确 C ab不正确 D a不正确 b正确 2 重量为G的汽车 以匀速v驶过凹形路面 试问汽车过路面最低点时 对路面的压力如何 A 压力大小等于G B 压力大小大于G C 压力大小小于G D 已知条件没给够 无法判断 思考题 1 选择题 1 如图所示 质量为m的质点受力F作用 沿平面曲线运动 速度为v 试问下列各式是否正确 A B 3 质量为m的质点 自A点以初速度v0向上斜抛 试问质点在落地前 其加速度大小 方向是否发生变化 空气阻力不计 A 加速度大小不变 而方向在变化 B 加速度大小在变化 而方向不变 C 加速度大小 方向都在变化 D 加速度大小 方向都不变化 2 判断题 1 质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相同 D 运动方程是位移与时间关系方程 运动微分方程是位移微分与力关系方程 加速度始终为重力加速度g 2 已知质点的运动方程可唯一确定作用于质点上的力 已知作用于质点上的力确定质点的运动方程时还需考虑运动的初始条件 3 已知作用于质点上的力可唯一确定质点的运动方程 例11 1 基本量计算 动量 动量矩 动能 质量为m长为l的均质细长杆 杆端B端置于水平面 A端铰接于质量为m 半径为r的轮O边缘点A 已知轮沿水平面以大小为w的角速度作纯滚动 系统的动量大小为 对点P的动量矩大小为 系统动能为 图示行星齿轮机构 已知系杆OA长为2r 质量为m 行星齿轮可视为均质轮 质量为m 半径为r 系杆绕轴O转动的角速度为w 则该系统动量主矢的大小为 对轴O的动量矩大小为 系统动能为 解 因为按图示机构 系统可分成3个刚块 OA AB 和轮B 首先需找出每个刚块的质心速度 1 OA作定轴转动 其质心速度在图示瞬时只有水平分量 方向水平向左 2 AB作瞬时平动 在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 方向水平向左 3 轮B作平面运动 其质心B的运动轨迹为水平直线 所以B点的速度方向恒为水平 在图示瞬时 方向水平向左 所以 所以 方向水平向左 解 例9 5在静止的小船中间站着两个人 其中甲m1 50kg 面向船首方向走动1 5m 乙m2 60kg 面向船尾方向走动0 5m 若船重M 150kg 求船的位移 水的阻力不计 受力有三个重力和一个水的浮力 因无水平力 水平方向质心运动守恒 又因初始静止 即 把坐标原点放在船的质心的初始位置 设当经过t时间后 船向右移动x 则 把坐标原点放在船的左侧位置 设当经过t时间后 船向右移动x 则 解 因此 沿x轴方向质心位置应守恒 质心C始终在y轴上 A点的坐标可表示为 消去 得 即A点的轨迹为椭圆 建立oxy 并令y轴通过质心 则 且有AB杆初始静止 系统的动量矩守恒 猴A与猴B向上的绝对速度是一样的 均为 已知 猴子A重 猴子B重 猴B抓住绳子由静止开始相对绳以速度v上爬 猴A抓住绳子不动 问当猴B向上爬时 猴A将如何运动 运动的速度多大 轮重不计 例10 4 解 解 1 用动能定理求角速度 例11 5如图所示 质量为m 半径为r的均质圆盘 可绕通过O点且垂直于盘平面的水平轴转动 设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动 求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度 角加速度及O处的反力 2 当OC在同一水平位置时 由动量矩定理有 代入JO 有 3 求O处约束反力 作圆盘的受力分析和运动分析 有 由质心运动定理 得 法二 用动能定理求角速度及角加速度 两边对 式求导 例11 3图示的均质杆OA的质量为30kg 杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态 设弹簧常数k 3kN m 为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA 在铅直位置时的角速度至少应为多大 解 研究OA杆 1 OA杆所受外力的功 2 OA杆的动能 3 对OA杆应用动能定理 如图所示 均质杆AB质量为m 长为l 由图示位置 无初速度地倒下 求该瞬时A端所受到地面的约束反力 A B 例10 13 如图所示均质细长杆 质量为M 长为l 放置在光滑水平面上 若在A端作用一垂直于杆的水平力F 系统初始静止 试求B端的加速度 细长杆作平面运动 欲求aB 则必先求ac 由基点法 应用平面运动微分方程 将 代入 中 得 解 例3 均质圆柱体A和B的重量均为P 半径均为r 一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上 绳的另一端绕在圆柱B上 绳重不计且不可伸长 不计轴O处摩擦 求 1 圆柱B下落时质心的加速度 2 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M 试问在什么条件下圆柱B的质心将上升 选圆柱B为研究对象 2 运动学关系 4 1 解 1 选圆柱A为研究对象 由 1 2 式得 代入 3 4 并结合 2 式得 3 选圆柱B为研究对象 2 运动学关系 1 2 选圆柱A为研究对象 由 1 4 式得 3 当M 2Pr时 圆柱B的质心将上升 4 由动量矩定理 5 补充运动学关系式 代入 5 式 得 当M 2Pr时 圆柱B的质心将上升 2 也可以取整个系统为研究对象 例11 6 图示系统中 均质圆盘A B各重P 半径均为R 两盘中心线为水平线 盘B作纯滚动 盘A上作用矩为M 常量 的一力偶 重物D重Q 问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及AD段 AB段绳拉力 绳重不计 绳不可伸长 盘B作纯滚动 解 取整个系统为研究对象 1 整个系统所受力的功 2 系统的动能 这里 上式求导得 3 对系统应用动能定理 AD段绳拉力 AB段绳拉力 解法二 也可分别取研究对象 D 这里 A B 例11 7重G2 150N的均质圆盘与重G1 60N 长l 24cm的均质杆AB在B处用铰链连接 求 1 系统由图示位置无初速地释放 求AB杆经过铅垂位置B 点时的速度 加速度及支座A的约束力 思考 若轮与杆焊接结果又如何 若AB杆上还受力偶矩M 100N m作用结果又如何 解 1 取圆盘为研究对象 根据相对质心的动量矩定理 结论 圆盘B做平动 杆AB做定轴转动 2 用动能定理求速度 代入数据 得 取系统研究 初始时T1 0 最低位置时 3 用动量矩定理求杆的角加速度 由于 所以 0 杆质心C的加速度 盘质心加速度 4 由质心运动定理求支座反力 研究整个系统 代入数据 得 例11 4两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示 OA杆质量是AB杆质量的两倍 各处摩擦不计 如机构在图示位置从静止释放 求当OA杆转到铅垂位置时 AB杆B端的速度 解 取整个系统为研究对象 运动学方面 注意到OA转到铅垂位置AB作瞬时平动 思考与讨论 1 选择题 1 如图所示 半径为R 质量为m的均质圆轮 在水平地面上只滚不滑 轮与地面之间的摩擦系数为f 试求轮心向前移动距离s的过程中摩擦力的功WF A WF fmgsB WF fmgsC WF F sD WF 0 D 2 如图所示 楔块A向右移动速度为v1 质量为m的物块B沿斜面下滑 它相对于楔块的速度为v2 求物块B的动能TB D 3 如图所示 质量可以忽略的弹簧原长为2L 刚度系数为k 两端固定并处于水平位置 在弹簧中点挂一重物 则重物下降x路程中弹性力所作的功 C 4 如图所示 平板A以匀速v沿水平直线向右运动 质量为m 半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度 朝顺时针方向滚动而不滑动 则轮的动能为 B 3 如图所示 重为G的小球用两绳悬挂 若将绳AB突然剪断 则小球开始运动 求小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力及AC在铅垂位置时的拉力 答案 1 小球刚开始运动瞬时绳AC的拉力 2 任意位置时 3 AC在铅垂位置时的拉力 令绳AC与水平夹角为 例9 6质量为M的大三角形柱体 放于光滑水平面上 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体 求小三角形柱体由静止滑到底时 大三角形柱体的位移 解 选两物体组成的系统为研究对象 受力分析 水平方向质心运动守恒 由水平方向初始静止 则 1 选择题 D 1 设刚体的动量为 其质心的速度为 质量为M 则式 A 只有在刚体作平动时才成立 B 只有在刚体作直线运动时才成立 C 只有在刚体作圆周运动时才成立 D 刚体作任意运动时均成立 C 2 质点作匀速圆周运动 其动量 A 无变化 B 动量大小有变化 但方向不变 C 动量大小无变化 但方向有变化 D 动量大小 方向都有变化 思考题 C 3 一均质杆长为 重为P 以角速度绕O轴转动 试确定在图示位置时杆的动量 A 杆的动量大小 方向朝左 B 杆的动量大小 方向朝右 C 杆的动量大小 方向朝左 D 杆的动量等于零 C A 质点动量没有改变 B 质点动量的改变量大小为 方向铅垂向上 C 质点动量的改变量大小为 方向铅垂向下 D 质点动量的改变量大小为 方向铅垂向下 4 将质量为m的质点 以速度v铅直上抛 试计算质点从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量 2 如图所示 均质轮质量为 半径为R 偏心距 轮的角速度和角加速度在图示位置时为和 轮在垂直面内运动 求铰支座O的约束反力 答案 1 取整个系统为研究对象 由动量矩定理 例10 3 解 受力分析如图示 运动分析 v 2 由质心运动定理求约束反力 两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型 可绕通过O点的水平轴转动 当OA处于水平位置时 T形杆具有角速度 4rad s 求该瞬时轴承O的反力 由定轴转动微分方程 例10 9 根据质心运动定理 得 系统质心 3 如图所示 摆由均质细杆OA和均质圆盘组成 杆质量为m1 长为L 圆盘质量为m2 半经为r 1 求摆对于轴O的转动惯量 2 若图示瞬时角速度为 求系统的动量 动量矩 例10 10 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上 在重力作用下由静止开始运动 设轮与斜面间的静 动滑动摩擦系数为f f 不计滚动摩阻 试分析轮的运动 解 取轮为研究对象 由 2 式得 1 1 3 4 中含有四个未知数aC Fs FN 需补充附加条件 受力分析如图示 运动分析 取直角坐标系Oxy aCy 0 aCx aC 一般情况下轮作平面运动 根据平面运动微分方程 有 2 3 4 1 设接触面绝对光滑 2 设接触面足够粗糙 轮作纯滚动 3 设轮与斜面间有滑动 轮又滚又滑 FS f FN 可解得 因为轮由静止开始运动 故 0 轮沿斜面平动下滑 注意此时无相对滑动 Fs fFN 所以可解得 1 3 4 轮作纯滚动的条件 例10 11 均质圆柱 半径为r 重量为Q 置圆柱于墙角 初始角速度 0 墙面 地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f 滚阻不计 求使圆柱停止转动所需要的时间 解 选取圆柱为研究对象 受力分析如图示 根据刚体平面运动微分方程 1 补充方程 4 运动分析 质心C不动 刚体绕质心转动 2 3 将 4 式代入 1 2 两式 有 将上述结果代入 3 式 有 解得 例9 6电动机的外壳固定在水平基础上 定子的质量为m1 转子质量为m2 转子的轴通过定子的质心O1 但由于制造误差 转子的质心O2到O1的距离为e 求 1 转子以角速度 作匀速转动时 基础作用在电动机底座上的约束反力 2 若电动机的外壳没有固定在水平基础上 求电动机外壳由静止开始运动的水平运动规律 根据动量定理 有 可见 由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数 系统动量 解 1 取整个电动机作为质点系研究 分析受力 受力图如图示 解法一 利用动量定理求解 运动分析 定子质心速度v1 0 转子质心O2的速度v2 e 方向垂直于O1O2 根据质心运动定理 有 解法二 利用质心运动定理求解 系统质心坐标 2 取整个电动机作为质点系研究 分析受力 受力图如图示 解法一 系统水平方向不受力的作用 水平方向质心运动守恒 由水平方向初始静止 vC 0 则 建立O1xy 并令y轴通过初始位置质心 则 2 将 2 式积分有 3 代入 3 式得 解法二 本题也可用质点系动量在水平方向守恒求解 1 转子从铅垂向下位置开始逆时针转动 故 解 取杆OA为研究对象 受力如 b 图所示 方向如图所示 则 建立坐标系oxy 杆OA质心加速度为 由质心运动定理计算约束反力 例12 1 均质杆长l 质量m 与水平面铰接 杆从与平面成 0角位置静止落下 求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力 法1 选杆AB为研究对象 虚加惯性力系 解 根据动静法 有 注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上 法2 用动量矩定理 质心运动定理再求解此题 解 选AB为研究对象 由动量矩定理 得 由质心运动定理 机车的连杆AB的质量为m 两端用铰链连接于主动轮上 铰链到轮心的距离均为r 主动轮的半径均为R 求当机车以匀速v直线前进时 铰链对连杆的水平作用力的合力 及A B处的竖向约束力 用动静法求解 例12 2 牵引车的主动轮质量为m 半径为R 沿水平直线轨道滚动 设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S T及驱动力偶矩M 车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为 轮与轨道间摩擦系数为f 试求在车轮滚动而不滑动的条件下 驱动力偶矩M之最大值 取轮为研究对象 虚加惯性力系 解 由动静法 得 O 由 1 得 4 把 5 代入 4 得 由 2 得FN P S 要保证车轮不滑动 必须 FS fFN f P S 5 可见 f越大越不易滑动 O 例12 4 质量为m1和m2的两均质重物 分别挂在两条绳子上 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上 已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J 系统在重力作用下发生运动 求鼓轮的角加速度 轴O处摩擦不计 绳与轮无相对滑动 由动静法 列补充方程 取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶 解 方法1用达朗贝尔原理求解 代入上式 方法2用动量矩定理求解 根据动量矩定理 取系统为研究对象 取系统为研究对象 任一瞬时系统的 两边对时间t求导数 得 方法3用动能定理求解 任意假定一个初始值 例12 5 在图示机构中 沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体 各重为G和Q 半径均为R 绳子不可伸长 其质量不计 绳与轮之间无相对滑动 斜面倾角j 如在鼓轮上作用一常力偶矩M 试求 1 鼓轮的角加速度 2 绳子的拉力 3 轴承O处的约束力 4 圆柱体与斜面间的摩擦力 不计滚动摩擦 解 方法一用动静法求解 列出动静法方程 2 取轮A为研究对象 虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC如图示 1 取轮O为研究对象 虚加惯性力偶 列出动静法方程 运动学关系 将MIA FIA MIA及运动学关系代入到 1 和 4 式并联立求解得 代入 2 3 5 式 得 方法二用动力学普遍定理求解 1 用动能定理求鼓轮角加速度 两边对t求导数 2 用动量矩定理求绳子拉力 定轴转动微分方程 取轮O为研究对象 由动量矩定理得 3 用质心运动定理求解轴承O处约束力 取轮O为研究对象 根据质心运动定理 4 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 方法三 用动能定理求鼓轮的角加速度 取圆柱体A为研究对象 根据刚体平面运动微分方程 用达朗贝尔原理求约束力 绳子拉力 轴承O处反力和及摩擦力 12 3 匀质轮重为G 半径为r 在水平面上作纯滚动 某瞬时角速度 角加速度为 求轮对质心C的转动惯量 轮的动量 动能 对质心C和水平面上O点的动量矩 向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩 解 思考题 例12 7 均质棒AB得质量为m 4kg 其两端悬挂在两条平行绳上 棒处在水平位置 如图 a 所示 其中一绳BD突然断了 求此瞬时AC绳得张力F b 解 当BD绳断了以后 棒开始作平面运动 则惯性力系的简化中心在质心C上 因瞬时系统的速度特征量均为零 则点加速度为 以A为基点 有 其中 l为棒长 虚加惯性力系 如图 b 所示 有 则 因 得 又 得 思考题 1 是非题 1 不论刚体作何种运动 其惯性力系向一点简化得到的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积 而取相反方向 对 2 质点有运动就有惯性力 错 3 质点的惯性力不是它本身所受的作用力 其施力体是质点本身 对 1 选择题 1 设质点在空中 只受到重力作用 试问在下列两种情况下 质点惯性力的大小和方向如何 a 质点作自由落体运动 b 质点被铅垂上抛 A a 与 b 的惯性力大小相等 方向都铅直向下B a 与 b 的惯性力大小相等 方向都铅直向上C a