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离散系统的时域分析 连续时间信号 连续时间系统 连续时间信号 f t 是连续变化的t的函数 除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值 函数的波形都是具有平滑曲线的形状 一般也称模拟信号 连续时间系统 系统的输入 输出都是连续的时间信号 离散时间信号 离散时间系统 离散时间信号 时间变量是离散的 函数只在某些规定的时刻有确定的值 在其它时间没有定义 离散时间系统 系统的输入 输出都是离散的时间信号 如数字计算机 离散信号可以由模拟信号抽样而得 也可以由实际系统生成 量化 幅值量化 幅值只能分级变化 采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程 得到离散信号 数字信号 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号 离散时间系统的优点 便于实现大规模集成 从而在重量和体积方面显示其优越性 容易作到精度高 模拟元件精度低 而数字系统的精度取决于位数 可靠性好存储器的合理运用使系统具有灵活的功能 易消除噪声干扰 数字系统容易利用可编程技术 借助于软件控制 大大改善了系统的灵活性和通用性 易处理速率很低的信号 离散时间系统的困难和缺点 高速时实现困难 设备复杂 成本高 通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽 应用前景 由于数字系统的优点 使许多模拟系统逐步被淘汰 被数字 更多是模 数混合 系统所代替 人们提出了 数字地球 数字化世界 数字化生存 等概念 数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落 数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界 混合系统 连续时间系统与离散时间系统联合应用 如自控系统 数字通信系统 A D D A转换 不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连续时间信号 需经A D D A转换 当频率较高时 直接采用数字集成器件尚有一些困难 有时 用连续时间系统处理或许比较简便 最佳地协调模拟与数字部件的组合已成为系统设计师的首要职责 混合系统 系统分析 连续时间系统 微分方程描述 离散时间系统 差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似 本章主要内容 离散时间信号及其描述 运算 离散时间系统的数学模型 差分方程 线性差分方程的时域解法 离散时间系统的单位响应 离散卷积和 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系 区别 对比 与连续系统有并行的相似性 和前几章对照 温故而知新 学习方法 离散信号的表示方法 数字序列函数表示 x k 波形表示表格表示 例 试写出其序列形式并画出波形 波形 序列形式 序列的三种形式 单边序列 双边序列 有限长序列 常用离散信号 单位序列单位阶跃序列矩形序列单边指数序列正弦序列复指数序列 单位序列 时移性 比例性 抽样性 t 用面积表示强度 幅度为 但强度为面积 k 的值就是k 0时的瞬时值 不是面积 t 奇异信号 数学抽象函数 k 非奇异信号 可实现信号 k 与 t 差别 利用单位序列表示任意序列 单位阶跃序列 是和差的关系 不再是微商的关系 矩形序列 单边指数序列 正弦序列 复指数序列 复序列用极坐标表示 离散信号时域运算 相加 用同序号的值对应相加后构成新的序列 例 y k f1 k f2 k 相乘 同序号的数值对应相乘后构成新的序列 y k f1 k f2 k 数乘 完成序号值的比例运算 y k af k a 差分 序列与其移序序列的差而得到一个新序列 y k f k f k 1 后向差分 y k f k 1 f k 前向差分 离散信号时域变换 移序 y k f k m 折叠 y k f k 倒相 y k f k 展缩 y k f ak 横坐标k只能取整数 对任何离散时间信号 如果每次从其中取出一个点 就可以将信号拆开来 每次取出的一个点都可以表示为不同加权 不同位置的单位脉冲 序列的分解 表明 任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合 例 定义 已知定义在区间 上的两个函数x1 k 和x2 k 则定义和 为x1 k 与x2 k 的卷积和 简称卷积 记为y k x1 k x2 k 注意 求和是在虚设的变量i下进行的 i为求和变量 k为参变量 结果仍为k的函数 卷积和 计算方法 有图解法 列表法 解析法 包括数值解法 图解法运算过程 然后将信号不动 另一个信号经反转后成为 再随参变量移位 在每个值的情况下 将与对应点相乘 再把乘积的各点值累加 即得到时刻的 例 用图解法求图示信号的卷积和y k f k h k 0 12 0 09 0 06 0 03 0 0 08 0 06 0 04 0 02 0 080 060 040 020 080 060 040 020 040 030 020 01 利用列表法计算 序列相乘法 f k 00 40 30 20 10h k 00 30 20 20 20 1 X 0 040 030 020 0100 080 060 040 0200 080 060 040 0200 080 060 040 020 0 120 090 060 030 0 120 170 200 210 160 090 040 010 卷积和的性质 1 满足乘法的三律 交换律 分配律 结合律 2 x k k x k x k k k0 x k k0 3 x k k 4 x1 k k1 x2 k k2 x1 k k1 k2 x2 k 时域离散系统 系统分析的基本思想 1 根据工程实际应用 对系统建立数学模型 通常表现为描述输入 输出关系的方程 2 建立求解这些数学模型的方法 时域离散系统的定义 输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统 差分与差分方程 设有序列x k 则x k 2 x k 1 x k 1 x k 2 等称为x k 的移位序列 仿照连续信号的微分运算 定义离散信号的差分运算 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式 一阶前向差分定义 x k x k 1 x k 一阶后向差分定义 x k x k x k 1 式中 和 称为差分算子 无原则区别 本书主要用后向差分 简称为差分 因此 可定义 解析描述 建立差分方程 例 某人每月初在银行存入一定数量的款 月息为 元 元 求第k个月初存折上的款数 设第k个月初的款数为y k 这个月初的存款为x k 上个月初的款数为y k 1 利息为 y k 1 则y k y k 1 y k 1 x k 即y k 1 y k 1 x k 若设开始存款月为k 0 则有y 0 x 0 上述方程就称为y k 与x k 之间所满足的差分方程 所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程 未知序列项变量最高序号与最低序号的差数 称为差分方程的阶数 上述为一阶差分方程 差分方程的模拟框图 基本部件单元有 数乘器加法器迟延单元 移位器 例 已知框图 写出系统的差分方程 解 设辅助变量w k 如图 即w k 2w k 1 3w k 2 x k y k 4w k 1 5w k 2 消去w k 得y k 2y k 1 3y k 2 4x k 1 5x k 2 w k x k 2w k 1 3w k 2 由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统 描述LTI系统的是线性常系数差分方程 要确定齐次解中的待定常数 也需要有一组附加条件 一般的线性常系数差分方程可表示为 与微分方程一样 它的解法也可以通过求出一个特解和通解 即齐次解来进行 其过程与解微分方程类似 线性 均匀性 可加性均成立 离散系统的性质 时不变系统 因果系统 稳定系统 差分方程的特点 输出序列的第k个值不仅决定同一瞬间的输入样值 而且还与前面输出值有关 每个输出值必须依次保留 微分方程可以用差分方程来逼近 微分方程解是精确解 差分方程解是近似解 两者有许多类似之处 差分方程描述离散时间系统 输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系 常系数差分方程的经典解法 1 迭代法 3 零输入响应 零状态响应利用卷积求系统的零状态响应 2 时域经典法 齐次解 特解 迭代法 解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系 得不到y k 输出序列的解析式 由递推关系 可得输出值 例 已知y k 3y k 1 k 且y 1 0 求解方程 时域经典法 齐次解 通解 齐次方程的解 求待定系数 C由边界决定 代入原方程 齐次解 求差分方程齐次解步骤 差分方程 特征方程 特征根 y k 的解析式 由起始状态定常数 根据特征根 解的三种情况 有一个m重根 r1 其余为单根 有共轭复数根 无重根 特解 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 输入 输出 经典法基本步骤 1 求系统数学模型 2 写出特征方程 并求出特征根 3 根据特征根 求对应齐次方程通解 4 根据激励形式求非齐次方程特解 5 写出非齐次方程全解y k yh k yp k 6 根据初始值求待定系数 7 写出给定条件下非齐次方程解 例 已知某系统激励为零 初始值y 0 0 y 1 2 描述系统的差分方程为 求系统的响应y k 代入差分方程 可得 解 零输入响应 零状态响应 零输入响应 零状态响应 离散系统零状态响应 序列的时域分解 任意离散序列x k 可表示为x k x 1 k 1 x 0 k x 1 k 1 x 2 k 2 f i k i 离散系统零状态响应与单位响应的关系 任意序列作用下的零状态响应 根据h k 的定义 由时不变性 由齐次性 由叠加性 只要得到了LTI系统对的响应 就可以得到LTI系统对任何输入信号的响应 激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应 单位序列响应 单位序列响应求解 递推法 等效初值法 当k 0 x k k 0 系统处于零输入状态 故可将 k 的作用等效为系统的初始值 其h k 形式与零输入响应形式相同 例已知某系统的差分方程为y k y k 1 2y k 2 f k 求单位序列响应h k 解根据h k 的定义有h k h k 1 2h k 2 k h 1 h 2 0 h k h k 1 2h k 2 k h 0 h 1 2h 2 0 1h 1 h 0 2h 1 1 1 求h k 对于k 0 h k 满足齐次方程h k h k 1 2h k 2 0其特征方程为 1 2 0所以h k C1 1 k C2 2 k k 0h 0 C1 C2 1 h 1 C1 2C2 1解得C1 1 3 C2 2 3h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 0或写为h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 递推求初始值h 0 和h 1 例 若方程为 y k y k 1 2y k 2 f k f k 2 求单位序列响应h k 解法1h k 满足h k h k 1 2h k 2 k k 2 令只有 k 作用时 系统的单位序列响应h1 k 它满足h1 k h1 k 1 2h1 k 2 k 根据线性时不变性 h k h1 k h1 k 2 1 3 1 k 2 3 2 k k 1 3 1 k 2 2 3 2 k 2 k 2 法2 例如图复合系统由两个子系统级联组成 其中h1 k 2cos k h2 k ak k 激励f k k a k 1 求复合系统的零