微分中值定理辅助函数构造.ppt

微分中值定理辅助函数构造 一 数学中的构造法所谓构造法 就是根据题设条件或结论具有的特征 性质 构造出满足条件或结论的数学模型 借助于该数学模型解决数学问题的方法 主要有以下几种常用构造法 一 构造数学命题法 1 构造等价命题如果遇到的数学问题直接证明有困难时 可构造其等价命题 并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证 2 构造辅助命题在解答某些数学问题时 如果缺乏现成的根据 那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据 只要证明了辅助命题是真命题 原问题就迎刃而解 二 构造数学关系法 由题设条件及所给的数量关系 构造一种新的函数 方程 多项式等具体数学关系 使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法 微积分中值定理及其有关的证明是典型的构造函数的例子 三 构造几何图形法 在解题时若以数形结合的思想作指导 对于某些较复杂的问题 通过构造图形启发思维 借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷 几何证题中的辅助线 代数方程应用题中的示意图都属于这一类 四 构造结论法 构造结论法 就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象 从而断定命题正确性的证题方法 有些数学命题是断言存在着具有某种性质的数学对象 或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质 对于这种类型的数学命题 证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象 用构造结论的办法对数学命题作出证明 称为 构造性证明 五 构造矛盾法 所谓构造矛盾法 就是首先否定原命题 再利用否定后的命题构造出一个能够明显暴露其错误的对象 从而导出矛盾 使原命题得证 六 构造复数法 由于复数具有代数 几何 三角等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则 我们可以构造复数求解许多代数 几何 三角方面的问题 七 构造反例法 为了说明一个命题不真 常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例 这个过程叫做构造反例 选择特殊值 极端情形 常常是构造反例的关键 二 微分中值定理证明中的辅助函数利用微分中值定理解题时 一般要构造恰当的辅助函数 它是求解问题的关键 1 原函数法 将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢 凑出适当的原函数作为辅助函数 主要思想分为四点 1 将要证明的结论中的 换成x 2 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式 3 用观察法或积分法求出原函数 等式中不含导数符号 并取积分常数为零 4 移项使等式一边为零 另一边即为所求辅助函数F x 2 积分法 对一些不易凑出原函数的问题 可用积分法找相应的辅助函数 3 几何直观法通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系 从而建立适当的辅助函数 4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点 11 将结论变形 使常数部分分离出来并令为 22 恒等变形使等式一端为a及f a 构成的代数式 另一端为b及f b 构成的代数式 33 观察分析关于端点的表达式是否为对称式 若是 则把其中一个端点设为x 相应的函数值改为f x 4 端点换变量x的表达式即为辅助函数F x 5 分析法分析法又叫倒推法 就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论 6 待定系数法在用待定系数法时 一般选取所证等式中含 的部分为M 再将等式中一个端点的值b换成变量x 使其成为函数关系 等式两端做差构造辅助函数 x 这样首先可以保证 b 0 而由等式关系 a 0自然满足 从而保证 x 满足罗尔定理条件 再应用罗尔定理最终得到待定常数M与f 之间的关系 总结 证明微分中值定理有关命题的技巧在于 一是要仔细