高中数列方法与解题技巧(学生版)

高中数列方法与解题技巧 一 数列求通项的 10 种方法 二 数列求和的 7 种方法 三 6 道高考数列大题 数列求通项的 10 种方法 一 公式法一 公式法 例例 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 方法 等式两边同时除以 构造成等差数列 利用等差数列公式求解 1 2n 形式 项系数与后面所加项底数相同 n a 二 累加法二 累加法 例例 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 方法 将上述各式累加 中间式子首尾项相抵可求得 1 21 21 2 1 1 nn aan a a n a 形式 要求 的系数均为 1 对于不为 1 时 需除以 1nn aaf n 1n a n a n a 系数化为 1 例例 3 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 方法 同例 2 例例 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 32 313 n nn aaa n a 方法 等式的两边同除以 3 将 系数化为 1 再用累加法 n a 三 累乘法三 累乘法 例例 5 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 方法 将上述各式累乘 消除中间各项 可求得 1 1 2 1 21 5 2 1 1 5 n n n a n a a a n a 形式 的关于 n 的倍数关系 1nn af na 1nn a 是a 例例 6 已知数列满足 求的通项公式 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 方法 本题与例 5 不同之处是想要通过错位相减法 求出 的递推关系 然后才能 1nn aa 与 用累成法求 四 待定系数法 四 待定系数法 X Y Z 法 法 例例 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 方法 构造数列 1 1 525 nn nn axaxx 反解 形式 1nn akaf n 例例 8 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 方法 构造数列 本题中递推关系中含常 1 1 232 nn nn axyaxy 数 4 对于常数项 可看成是 对于不同形式的 n 要设不同的参数 0 n 例例 9 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 方法 同例 8 但它的参数要设 3 个 五 对数变换法五 对数变换法 例例 10 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 方法 等式两边同取对数得到 然后可利用待定系数 1 lgalg2lg35lg nn na 法或者累加法求之 形式 其中对与的高次方特别有效 1 x nn af n a n a 六 迭代法六 迭代法 例例 11 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 方法 按照数列对应函数关系 由 逐层加上去 直到推到 为止 1 a n a 形式 1nn af a 七 数学归纳法七 数学归纳法 例例 12 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 方法 演算 的前 4 项 猜测 发现项数 n 与项值之间的关系 然后证明猜测的正确性 n a 形式 对于形式比较繁复 无从下手时 可以考虑用数归法去大胆猜测 八 换元法八 换元法 例例 13 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 方法 令 可将数列递推关系转化为数列 的递推关系 从而去124 nn ba n a n b 掉 实现有理化或者整式化 形式 11 1 nnn n afaaf a 或者 九 不动点法九 不动点法 例例 14 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 方法 求函数 两个自变量与对应函数相等时的值 解得 2124 41 x xf x x 即存在 k 使得 由此可构成新的等比数列 12 2 3xx 1 1 33 22 nn nn aa k aa 形式 且对应函数有两个不同的解 1 1 2 n n n fa a fa 例例 15 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 72 2 23 n n n a aa a n a 方法 本题对应函数的解相等 为 1 所以不能用不动点法 只能才用数归法做 十 阶差法 逐项相减法 十 阶差法 逐项相减法 例例 16 已知数列的各项均为正数 且前 n 项和满足 且 n a n S 1 1 2 6 nnn Saa 成等比数列 求数列的通项公式 249 a a a n a 方法 由 推出 的递推关系 然后再求数列的通项 1nnn ass 1nn aa 与 n a 形式 nn sf a 练习练习 已知数列中 且 求数列的通项公式 n a0 n a 2 1 2 1 nn aS n a 数列求和的基本方法和技巧 数列是高中代数的重要内容 又是学习高等数学的基础 在高考和各种数学竞赛中都占 有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一 除了等差数列和等比数列有求和公式外 大部分数列的求和都需要一定的技巧 下面 就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数 列求和的基本方法和技巧 一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例1 已知 求的前 n 项和 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 例例2 设 Sn 1 2 3 n n N 求的最大值 1 32 n n Sn S nf 二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS 例例4 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 三 反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例5 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 例例6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个 等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例例7 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 例例8 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 例例9 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 例例10 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项的 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 和 例例11 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的 和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 例例12 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 例例13 数列 an 求 S2002 nnn aaaaaa 12321 2 3 1 例例14 在各项均为正数的等比数列中 若的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 例例15 求之和 1 1111111111 个n 例例16 已知数列 an 的值 1 1 1 3 1 8 n nnn aan nn a求 四川高考理科数学试题 2008 年 2013 年数列解答题 设数列的前项和为 已知 n an n S 21 n nn babS 证明 当时 是等比数列 求的通项公式2b 1 2n n an n a 设数列的前项和为 对任意的正整数 都有成立 记 n an n Sn51 nn aS 4 1 n n n a bnN a I 求数列的通项公式 n b II 记 设数列的前项和为 求证 对任意正整数都有 221 nnn cbbnN n cn n Tn 3 2 n T III 设数列的前项和为 已知正实数满足 对任意正整数恒成立 求 n bn n R n n Rn 的最小值 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 求 a3 a5 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 设d为非零实数 12211 1 2 1 nnnn nnnnn aC dC dnCdnC dnN n 1 写出 123 a a a并判断 n a是否为等比数列