名校学案12 导数的应用.ppt

学案12导数的应用 考点1 考点2 考点3 考点4 返回目录 考纲解读 考向预测 返回目录 1 以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性 求单调区间 求极值与最值 2 以实际问题为背景 考查利用导数解决生活中的优化问题 3 以解答题的形式考查导数与解析几何 不等式 平面向量等知识相结合的问题 返回目录 1 函数的单调性与导函数 1 如果在 a b 内 则f x 在此区间是增函数 a b 为f x 的单调增区间 2 如果在 a b 内 则f x 在此区间是减函数 a b 为f x 的单调减区间 2 函数的极值 f x 0 f x 0 返回目录 1 函数极值的定义 已知函数y f x 设x0是定义域 a b 内任一点 如果对x0附近的所有点x 都有f x f x0 则称函数f x 在点x0处取 记作 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 与统称为极值点 极大值 y极大 f x0 极大值点 极小值 y极小 f x0 极小值点 极值 极大值点 极小值点 返回目录 2 求函数极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 如果在x0附近左侧 右侧 那么f x0 是极大值 如果在x0附近左侧 右侧 那么f x0 是极小值 如果f x 在点x0的左 右两侧 则f x0 不是函数极值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 函数的最值必在极值点或区间端点取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 符号不变 连线不断 返回目录 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与比较 其中的一个是最大值 的一个是最小值 4 用导数解决生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是 最小 极值 端点处的函数值f a f b 最大 返回目录 考点1函数的单调性与导数 2010年高考北京卷 已知函数f x ln 1 x x x2 k 0 1 当k 2时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 的单调区间 返回目录 分析 1 利用导数的几何意义求切线方程 2 对k的不同取值分类讨论 求出函数的单调区间 解析 1 当k 2时 f x ln 1 x x x2 f x 1 2x 由于f 1 ln2 f 1 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线 方程为y ln2 x 1 即3x 2y 2ln2 3 0 返回目录 2 f x x 1 当k 0时 f x 所以 在区间 1 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 所以 在区间 1 0 和 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 返回目录 故f x 的单调递增区间是 1 0 和 单调递减区间是 0 当k 1时 f x 故f x 的单调递增区间是 1 当k 1时 由f x 0 得x1 1 0 x2 0 所以 在区间 1 和 0 上 f x 0 在区间 0 上 f x 0 故f x 的单调递增区间是 1 和 0 单调递减区间是 0 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 返回目录 设函数f x ax a 1 ln x 1 其中a 1 求f x 的单调区间 由已知得函数f x 的定义域为 且f x a 1 1 当 1 a 0时 由f x 0知 函数f x 在 1 上单调递减 返回目录 2 当a 0时 由f x 0 解得x f x f x 随x的变化情况如下表 返回目录 从上表可知当x 1 时 f x 0 函数f x 在 上单调递增 综上所述 当 1 a 0时 函数f x 在 1 上单调递减 当a 0时 函数f x 在 1 上单调递减 f x 在 上单调递增 考点2函数的极值与导数 2010年高考安徽卷 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 返回目录 分析 求出f x 利用f x 0 f x 0 求出单调区间 再求极值 解析 1 由f x ex 2x 2a x R知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 返回目录 返回目录 故f x 的区间是 ln2 区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 返回目录 本题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调区间 求函数的极值和证明函数不等式 考查运算能力 综合分析和解决问题的能力 返回目录 设函数f x x x a 2 x R 其中a R 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 当a 0时 求函数f x 的极大值和极小值 1 当a 1时 f x x x 1 2 x3 2x2 x f 2 2 f x 3x2 4x 1 f 2 12 8 1 5 当a 1时 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为5x y 8 0 返回目录 2 f x x x a 2 x3 2ax2 a2x f x 3x2 4ax a2 3x a x a 令f x 0 解得x 或x a 由于a 0 以下分两种情况讨论 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 函数f x 在x 处取得极小值f 且f 函数f x 在x a处取得极大值f a 且f a 0 返回目录 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 因此 函数f x 在x a处取得极小值f a 且f a 0 函数f x 在x 处取得极大值f 且f 返回目录 考点3函数的最值与导数 返回目录 2010年高考江西卷 设函数f x lnx ln 2 x ax a 0 1 当a 1时 求f x 的单调区间 2 若f x 在 0 1 上的最大值为 求a的值 分析 利用单调性求最值 返回目录 解析 函数f x 的定义域为 0 2 f x a 1 当a 1时 f x 所以f x 的单调递增区间为 0 2 单调递减区间为 2 2 2 当x 0 1 时 f x a 0 即f x 在 0 1 上单调递增 故f x 在 0 1 上的最大值为f 1 a 因此a 本题主要考查函数的单调区间 最值及导数的应用 同时考查运算求解能力 返回目录 已知a为常数 求函数f x x3 3ax 0 x 1 的最大值 f x 3x2 3a 3 x2 a 若a 0 则f x 0 函数f x 单调递减 当x 0时 有最大值f 0 0 若a 0 则令f x 0 解得x x 0 1 则只考虑x 的情况 如下表所示 解析 返回目录 1 0 1 即0 a 1 当x 时 f x 有最大值f 2a 2 1 即a 1 当x 1时 f x 有最大值f 1 3a 1 综上 当a 0 x 0时 f x 有最大值0 当0 a 1 x 时 f x 有最大值2a 当a 1 x 1时 f x 有最大值3a 1 返回目录 返回目录 考点4最优化问题 一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比 已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问此轮船以多大速度航行时 能使行驶每公里的费用总和最小 分析 由题意构造函数 利用导数求最值 解析 设船的速度为x x 0 公里 小时 时 燃料费用为Q元 则Q kx3 由6 k 103可得k Q x3 总费用y x3 96 x2 y x 令y 0得x 20 当x 0 20 时 y 0 此时函数单调递减 当x 20 时 y 0 此时函数单调递增 当x 20时 y取得最小值 此轮船以20公里 小时的速度行驶时每公里的费用总和最小 返回目录 1 用导数解应用题求最值的一般方法是 求导 令导数等于零 求y 0的根 求出极值点 最后写出解答 2 在有关极值应用的问题中 绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f x 0 且在两侧f x 的符号各异 一般称为单峰问题 此时该点就是极值点 也是最值点 返回目录 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形 再将四边向上折起 做成一个无盖长方体铁盒 要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t t 0 试问当x取何值时 容积V有最大值 返回目录 V x 2a 2x 2 4 a x 2 x t 00 得0a 此时V x 为增函数 由V 0 得 x a 此时V x 为减函数 返回目录 当 即t 时 在x 时 V有最大值a3 当 即0 t 时 在x 时 V有最大值 返回目录 返回目录 1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表