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文档简介
三 勒让德方程的本征值和本征函数 续 四 勒让德多项式 四 勒让德多项式 续 总结 3勒让德多项式的性质 一 特殊值 奇偶性和图形 二 勒让德多项式的导数表示 证利用二项式定理 有 当x的幂次低于l的项变为0 不为0的项必满足2l 2k l 即k l 2 当l为偶数时 有 3勒让德多项式的性质 当l为奇数时 有 罗德里格斯 Rodrigues 公式 3勒让德多项式的性质 二 勒让德多项式的导数表示 续 三 勒让德多项式的积分表示 柯西公式 C为z平面上围绕z x点的任一闭合回路 施列夫利 Schlafli 积分 3勒让德多项式的性质 三 勒让德多项式的积分表示 续 拉普拉斯积分 3勒让德多项式的性质 1 球坐标下有轴对称的拉普拉斯方程解的普遍性式 如果讨论的问题具有轴对称性 则有 四 勒让德多项式的生成函数 1 方程 1 解的普遍形式 即就是球坐标系下具有轴对称性的拉普拉斯方程解的普遍形式为 2 一个物理问题的解 四 勒让德多项式的生成函数 续 1 球坐标下有轴对称的拉普拉斯方程解的普遍性式 续 四 勒让德多项式的生成函数 续 2 一个物理问题的解 续 四 勒让德多项式的生成函数 续 2 一个物理问题的解 续 四 勒让德多项式的生成函数 续 2 一个物理问题的解 续 所以原物理问题的解为 3 勒让德多项式的生成函数 或 叫作勒让德多项式的生成函数 或母函数 3 勒让德多项式的生成函数 续 根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式 五 勒让德多项式的递推公式 1 五 勒让德多项式的递推公式 续 其中 五 勒让德多项式的递推公式 续 4 2 3 六 勒让德多项式的正交性 完备性与模 先证明 例1 将在 1 1 内展成勒让德多项式的级数形式 例2 将在 1 1 内展成勒让德多项式的级数形式 只有当k n 1时 x 0处2n 2阶导数不为0 例4 在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球 半径为a 求球外电势的分布 解 球坐标系下具有轴对称性的拉普拉斯方程解的普遍形式为 5连带勒让德函数与球函数 一 连带勒让德函数 另一方面 1 一 连带勒让德函数 续 对上式关于x求导m次 有 连带勒让德函数 一 连带勒让德函数 续 注意 上式虽然是在条件0 m l下得到的 但是当m满足 l m 0时 上式同样是本征值问题的相应于本征值 l l 1 的本征函数 不过它与线性相关 二 连带勒让德函数基本性质 称为l次m阶连带勒让德函数 三 球函数 三 球函数 续 球函数方程的一个解 称为l次
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