自动控制原理第二章控制系统的数学模型.ppt

1 第二步 联立各环节的数学表达式 消去中间变量 得到描述系统输出 输入关系的微分方程 第一步 首先明确什么是输入输出量 将系统分成若干个环节 列写各环节的输出输入的数学表达式 利用适当的物理定律 如牛顿定律 基尔霍夫电流和电压定律 能量守恒定律等 复习 1 建立系统的微分方程 2 2 线性微分方程的求解 拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤 1 考虑初始条件 对微分方程中的各项进行拉式变换 变成变量s的代数方程 2 由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式 3 对输出量的拉式变换式进行拉式反变换 得到系统微分方程的解 3 2 2控制系统的复数域数学模型 传递函数 2 2 1传递函数的定义和主要性质 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型 在给定外作用和初始条件下 解微分方程可以得到系统的输出响应 系统结构和参数变化时分析较麻烦 能否不解方程进行系统分析 定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 4 设r t 和c t 及其各阶系数在t 0的值均为零 即零初始条件 则对上式中各项分别求拉氏变换 并令C s L c t R s L r t 可得s的代数方程为 5 性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数 m n 且所具有复变量函数的所有性质 物理可实现 性质2G s 取决于系统或元件的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 无关 性质3G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数 性质4如果G s 已知 那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应 性质5如果系统的G s 未知 可以给系统加上已知的输入 研究其输出 从而得出传递函数 一旦建立G s 就可获得该系统动态特性的完整描述 与其它物理系统描述不同 6 性质6传递函数与微分方程之间有关系 如果将置换 7 例 求下图的传递函数 8 法2 求下图的传递函数 复数阻抗法 9 传递函数G s 的零点和极点 2 2 2传递函数G s 的零点和极点对输出的影响 10 极点和零点分布图 11 传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的 比重 从工程的角度看 决不能认为系统的动态性质唯一地或者主要地由传递函数的极点决定 必须注意到零点的作用 2 2 3典型环节及其传递函数 1 比例环节 又叫放大环节 特点 输出量按一定比例复现输入量 无滞后 失真现象 运动方程 c t Kr t K 放大系数 通常都是有量纲的 传递函数 比例环节又称为放大环节 k为放大系数 实例 分压器 放大器 无间隙无变形齿轮传动等 例1 输入 t 角度E 恒定电压输出 u t 电压 运动方程 u t K t 传递函数 K 比例系数 量纲为伏 弧度 例2 输入 n1 t 转速Z1 主动轮的齿数输出 n2 t 转速Z2 从动轮的齿数 运动方程 传递函数 其它一些比例环节 2 微分环节 特点 动态过程中 输出量正比于输入量的变化速度 运动方程 传递函数 微分环节没有极点 只有零点 分别是零 实数和一对共轭零点 若 在实际系统中 由于存在惯性 单纯的微分环节是不存在的 一般都是微分环节加惯性环节 例1RC电路设 输入 ur t 输出 uc t 消去i t 得到 运动方程 传递函数 Tc RC 当Tc 1时 又可表示成 3 积分环节 特点 输出量的变化速度和输入量成正比 运动方程 传递函数 例1 积分电路 输入为r t 输出为c t 运动方程 传递函数 T R1C 4 惯性环节 又叫惰性环节 特点 此环节中含有一个独立的储能元件 以致对突变的输入来说 输出不能立即复现 存在时间上的延迟 运动方程 传递函数 RC充电电路 时间常数T RC 当T小时 充电快 21 求单位阶跃输入的输出响应 例 单容水槽 水位控制系统的被控对象 5 振荡环节 特点 包含两个独立的储能元件 当输入量发生变化时 两个储能元件的能量进行交换 使输出带有振荡的性质 运动方程 传递函数 式中 阻尼比 T 振荡环节的时间常数 24 上述传递函数有两种情况 则 25 分析 y t 的上升过程是振幅按指数曲线衰减的的正弦运动 与有关 反映系统的阻尼程度 称为阻尼系数 称为无阻尼振荡圆频率 当时 曲线单调升 无振荡 当时 曲线衰减振荡 越小 振荡越厉害 例1 RLC电路 解 消去中间变量i t 得到运动方程 传递函数 例2 机械装置 输入 力 f t 输出 位移 x t 微分方程式中 K 弹簧弹性系数 M 物体的质量 B 粘性摩擦系数 传递函数 6 一阶微分环节 特点 此环节的输出量不仅与输入量本身有关 而且与输入量的变化率有关运动方程 传递函数 G s Ts 1 RC电路 一阶微分环节可看成一个微分环节与一个比例环节的并联 其传递函数和频率特性是惯性环节的倒数 7 二阶微分环节 特点 输出与输入及输入一阶 二阶导数都有关运动方程 传递函数 可以看出 二阶微分环节的传递函数是振荡环节的倒数 特点 c t 完全复现r t 但滞后一个固定时间 8 延迟环节 时滞 滞后 在实际中 大量系统都存在滞后 当滞后不严重时 常忽略 延迟环节是一个非线性的超越函数 所以有延迟的系统是很难分析和控制的 为简单起见 化简如下 或 有纯延迟的单容水槽 9 其他环节 还有一些环节如等 它们的极点在s平面的右半平面 我们以后会看到 这种环节是不稳定的 称为不稳定环节 34 右图所示为电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压Ua t v 为输入量 电动机转速 m t rad s 为输出量 列写微分方程 图中Ra La H 分别是电枢电路的电阻和电感 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转距 激磁磁通为常值 实例 电枢控制直流伺服电动机 35 解 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的 电能转换为机械能 也就是由输入的电枢电压Ua t 在电枢回路中产生电枢电流ia t 再由电流ia t 与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm t 从而拖动负载运动 因此 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程 36 Ea是电枢反电势 它是当电枢旋转时产生的反电势 其大小与激磁磁通及转速成正比 方向与电枢电压Ua t 相反 即Ea Ce m t Ce 反电势系数 v rad s 电枢回路电压平衡方程 37 电动机转距系数 N m A 是电动机转距系数 是由电枢电流产生的电磁转距 N m 电动机轴上的转距平衡方程 fm 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 N m rad s Jm 转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的 kg m 电磁转距方程 38 电动机机电时间常数 s 在工程应用中 由于电枢电路电感La较小 通常忽略不计 因而 可简化为 求出ia t 代入 同时 亦代入 得 39 可视为负载扰动转矩 根据线性系统的叠加原理 分别求 0 由传递函数定义 A令 B令 40 同一个系统有多个传递函数注 输入或输出不一样 小结 1