2010年高考数学题分类汇编三角函数.doc

20102010 年全国各地高考数学真题分章节分类汇编年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第第 5 部分部分 三角函数三角函数 一 选择题一 选择题 1 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 8 8 5 yAsinxxR 66 右图是函数 在区间 上的图象 为了得到这个 函数的图象 只要将ysinxxR 的图象上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原 来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 答案 A 解析 由给出的三角函数图象知 A 1 2 解得2 又 2 0 6 所以 3 即原函数解析式为 ysin 2x 3 所以只要将ysinxxR 的图象 上所有的点先向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标 不变即可得到函数 ysin 2x 3 的图象 选 A 命题意图 本题考查正弦型三角函数的图象变换 考查正弦型三角函数解析式的求法 考查识图能力 2 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 2 2 计算1 2sin22 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 答案 B 解析 原式 2 cos45 2 故选 B 命题意图 本题三角变换中的二倍角公式 考查特殊角的三角函数值 3 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1010 将函数 sin f xx 的图像向左平移 2 个单位 若所得图象与原图象重合 则 的值不可能等于 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 解析 因为将函数 sin f xx 的图像向左平移 2 个单位 若所得图象与原图象 重合 所以 2 是已知函数周期的整数倍 即 2 k 2 kZ 解得4 k kZ 故选 B 命题意图 本题考查三角函数的周期 图象变换等基础知识 4 2010 2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 7 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sin2cos2 B sin3cos3 C 3sin3cos1 D 2sincos1 答案 A 命题意图 本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用 5 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 6 6 函数 2 sinsin1yxx 的值域为 A 1 1 B 5 1 4 C 5 1 4 D 5 1 4 答案 C 命题意图 考察换元的数学思想 及二次函数的图像性质 解析 令sintx 则11t 问题化为求函数 2 111g tttt 的值域 由 2 15 24 g tt 11t 结合二次函数图像得原函数的值域 5 1 4 6 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 12 12 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间 各自作出三个函数sin2yx sin 6 yx sin 3 yx 的图像如下 结果发现恰 有一位同学作出的图像有错误 那么有错误的图像是 答案 C 命题意图 考查三角函数的图像与性质 解析 作出三个函数图像对比分析即可选择 C 7 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 1616 2 4 xkkZ 是 tan1x 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分条件 D 既不充分也不必要条件 解析 1 4 tan 4 2tan k 所以充分 但反之不成立 如1 4 5 tan 8 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 1818 若 ABC的三个内角满足 sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 解析 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 9 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 6 6 设0 函数sin 2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重合 则 的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D 3 解析 选 C 由已知 周期 243 32 T 10 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 6 6 如图 质点p在半径为 2 的圆周上逆时针运动 其初始位 置为 0 p 2 2 角速度为 1 那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图 像大致为 答案 C 解析解析 显然 当0t 时 由已知得2d 故排除 A D 又因为质点是按逆时针方向 转动 随时间t的变化质点 P 到x轴的距离d先减小 再排除 B 即得 C 另解另解 根据已知条件得2 1 4 A 再结合已知得质点 P 到x轴的距离d关于 时间t的函数为2sin 4 dt 画图得 C 11 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 10 10 若sina 4 5 a 是第一象限的角 则sin 4 a A 7 2 10 B 7 2 10 C 2 10 D 2 10 答案 A 解析解析 由已知得 3 sin 5 所以 32427 2 sin sincoscossin 444525210 12 20102010 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 6 6 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 A sin 2 2 yx B cos 2 2 yx C sin 2 yx D cos 2 yx 答案 A 解析 C D 中函数周期为 2 所以错误 当 4 2 x 时 3 2 22 x 函数sin 2 2 yx 为减函数 而函数cos 2 2 yx 为增函数 所以选 A 13 20102010 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 3 3 函数 f x 2sinxcosx 是 C A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 答案 C 解析 因为 f x 2sinxcosx sin2x 所以它的最小正周期为 且为奇函数 选 C 14 20102010 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 2 2 函数 f x 3sin 24 x xR 的最小正周期为 A 2 B xC 2 D 4 答案 D 解析 由 T 2 1 2 4 故 D 正确 15 20102010 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 7 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 c 2a 则 A a b B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 16 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 1 1 cos300 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 C 命题意图 本小题主要考查诱导公式 特殊三角函数值等三角函数知识 解析 1 cos300cos 36060cos60 2 17 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 文科文科 3 3 已知 2 sin 3 则cos 2 x A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 解析解析 B B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3SINA 2 3 2 1 cos 2 cos2 1 2sin 9 1818 20102010 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 7 7 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函 数解析式是高 21 世纪教育网 网 A sin 2 10 yx B y sin 2 5 x C y 1 sin 210 x D 1 sin 220 yx 解析 将函数sinyx 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度 所得函数图象的 解 析式为 y sin x 10 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得图像的函数解析式是 1 sin 210 yx 答案 C 二 填空题 二 填空题 1 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1515 在ABCA中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 2a 2b sincos2BB 则角 A 的大小为 答案 6 解析 由sincos2BB 得12sincos2BB 即sin2B1 因为0 B 所 以B 45 又因为2a 2b 所以在ABC 中 由正弦定理得 22 sinAsin45 解得 1 sinA 2 又 ba 所以A B 45 所以A 30 命题意图 本题考查了三角恒等变换 已知三角函数值求解以及正弦定理 考查了同学 们解决三角形问题的能力 属于中档题 2 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1616 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cos a 1280 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 答案 962 解析 因为 1 22 3 82 5 322 7 1282 所以 9 2512m 观察可得400n 50p 所以 m n p 962 命题意图 本小题考查三角变换 类比推理等基础知识 考查同学们的推理能力等 3 2010 2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 10 10 在ABC 中 若1b 3c 2 3 c 则 a 4 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 12 12 函数 2 sin 2 4 f xx 的最小正周期是 解析 对解析式进行降幂扩角 转化为 2 1 2 4cos 2 1 xxf 可知其最小正周期 为 2 本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用 属容易题 5 2010 2010 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 16 16 在ABCA中 D 为 BC 边上一点 3BCBD 2AD 135ADB 若2ACAB 则 BD 答案 25 解析解析 设 BDa ABb 在ABD 和ADC 中分别用余弦定理可解得 6 20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 1313 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的 边 若 a 1 b 3 A C 2B 则 sinA 7 20102010 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 1515 如题 15 图 图中的实线是由三段圆弧连接而成的一 条封闭曲线C 各段弧所在的圆经过同一点P 点P不在C上 且半径相等 设第i段弧 所对的圆心角为 1 2 3 i i 则 232311 coscossinsin 3333 答案 1 2 解析 232312311 coscossinsincos 33333 又 123 2 所以 123 1 cos 32 8 20102010 年高考全国年高考全国 卷文科卷文科 1414 已知 为第二象限的角 3 sin 5 a 则tan2 14 24 7 命题意图 本小题主要考查三角函数值符号的判断 同角三角函数关系 和角 的正切公式 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能 解析 因为 为第二象限的角 又 3 sin 5 所以 4 cos 5 sin3 tan cos4 所 2 2tan24 tan 2 1tan7 9 20102010 年高考全国卷年高考全国卷 文科文科 1313 已知 是第二象限的角 tan 1 2 则 cos 解析解析 2 5 5 本题考查了同角三角函数的基础知识 本题考查了同角三角函数的基础知识 1 tan 2 2 5 cos 5 三 解答题 三 解答题 1 20102010 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1717 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin coscosf xxxx 0 的最小正周期为 求 的值 将函数 yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 纵坐标不变 得到 函数 yg x 的图像 求函数 yg x 在区间0 16 上的最小值 命题意图 本小题主要考察综合运用三角函数公式 三角函数的性质 进行运算 变形 转换和求解的能力 解析 因此 1 g x 12 2 故 g x 在此区间内的最小值为 1 2 20102010 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 1717 本小题满分 12 分 在 ABC 中 cos cos ACB ABC 证明 B C 若cos A 1 3 求 sin4B 3 的值 命题意图 本小题主要考查正弦定理 两角和与差的正弦 同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余弦等基础知识 考查基本运算能力 解析 证明 在 ABC 中 由正弦定理及已知得 sinB sinC cosB cosC 于是 sinBcosC cosBsinC 0 即 sin B C 0 因为BC 从而 B C 0 所以 B C 解 由 A B C 和 得 A 2B 故 cos2B cos 2B cosA 1 3 又 0 2B 于是 sin2B 2 1 cos 2B 2 2 3 从而 sin4B 2sin2Bcos2B 4 2 9 cos4B 22 7 cos 2sin 2 9 BB 所以 4 27 3 sin 4 sin4 coscos4 sin 33318 BBB 3 20102010 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 2121 本小题满分 12 分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时 与轮船相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 Z 是否存在 使得小艇以 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇 若存在 试确定 的取值范围 若不存在 请说明理由 4 2010 2010 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 15 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 cos1 1x 所以 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 5 2010 2010 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 19 19 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 cotsin2sinsin 44 f xxxxx 1 若tan2 求 f 2 若 12 2 x 求 f x的取值范围 答案 解 1 2 1 cos21 sinsin coscos2sin2cos2 22 x f xxxxxxx 11 sin2cos2 22 xx 由tan2 得 222 2sincos2tan4 sin2 sincos1tan5 222 222 cossin1tan3 cos2 sincos1tan5 所以 3 5 f 2 由 1 得 1121 sin2cos2 sin 2 22242 f xxxx 由 12 2 x 得 55 2 4124 x 所以 2 sin 2 1 42 x 从而 2112 sin 2 0 2422 f xx 6 2010 2010 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 18 18 本题满分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 S 为 ABC 的面积 满足 222 3 4 Sabc 求角 C 的大小 求sinsinAB 的最大值 解析本题主要余弦定理 三角形面积公式 三角变换等基础知识 同时考查三角运算求解 能力 解 由题意可知 1 2 absinC 3 4 2abcosC 所以 tanC 3 因为 0 C 所以 C 3 解 由已知 sinA sinB sinA sin C A sinA sin 2 3 A sinA 3 2 cosA 1 2 sinA 3sin A 6 3 当 ABC 为正三角形时取等号 所以 sinA sinB 的最大值是3 7 2010 2010 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 16 16 本小题满分 12 分 ABC 的面积是 30 内角 A B C所对边长分别为 a b c 12 cos 13 A 求AB AC A 若1cb 求a的值 命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系 三角形面积公式 向量的数量积 利用 余弦定理解三角形以及运算求解能力 解题指导 1 根据同角三角函数关系 由 12 cos 13 A 得sin A的值 再根据ABC 面 积公式得156bc 直接求数量积AB AC A 由余弦定理 222 2cosabcbcA 代入已 知条件1cb 及156bc 求 a 的值 解 由 12 cos 13 A 得 2 125 sin1 1313 A 又 1 sin30 2 bcA 156bc 12 cos156144 13 AB ACbcA 222 2cosabcbcA 2 12 2 1 cos 12 156 1 25 13 cbbcA 5a 规律总结 根据本题所给的条件及所要求的结论可知 需求bc的值 考虑已知 ABC 的面积是 30 12 cos 13 A 所以先求sin A的值 然后根据三角形面积公式得 bc的值 第二问中求 a 的值 根据第一问中的结论可知 直接利用余弦定理即可 8 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 1919 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知0 2 x 化简 2 lg costan1 2sin lg 2cos lg 1 sin2 22 x xxxx 解析 原式 lg sinx cosx lg cosx sinx lg sinx cosx 2 0 9 20102010 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 2222 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 3 3 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 5 5 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分 分 若实数x y m满足xmym 则称x比y接近m 1 若 2 1x 比 3 接近 0 求x的取值范围 2 对任意两个不相等的正数a b 证明 22 a bab 比 33 ab 接近2ab ab 3 已知函数 f x的定义域 D x xkkZ xR 任取xD f x等于 1 sin x 和1 sin x 中接近 0 的那个值 写出函数 f x的解析式 并指出它的奇偶性 最 小正周期 最小值和单调性 结论不要求证明 解析 1 x 2 2 2 对任意两个不相等的正数 a b 有 22 2a babab ab 33 2abab ab 因为 22332 2 2 0a babab ababab abab ab 所以 2233 2 2 a babab ababab ab 即 a2b ab2比 a3 b3接近2ab ab 3 1sin 2 2 1 sin 1sin 2 2 xxkk f xx xk xxkk k Z f x 是偶函数 f x 是周期函数 最小正周期 T 函数 f x 的最小值为 0 函数 f x 在区间 2 kk 单调递增 在区间 2 kk 单调递减 k Z 10 20102010 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 1717 本小题满分 12 分 在ABC 中 abc 分别为内角ABC 的对边 且2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 求A的大小 若sinsin1BC 试判断ABC 的形状 解 由已知 根据正弦定理得cbcbcba 2 2 2 2 即bccba 222 由余弦定理得Abccbacos2 222 故 120 2 1 cosAA 由 得 sinsinsinsinsin 222 CBCBA 又1sinsin CB 得 2 1 sinsin CB 因为 90 0 900CB 故BC 所以ABC 是等腰的钝角三角形 11 20102010 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 1616 本小题满分 14 分 设函数 3sin 6 f xx 0 x 且以 2 为最小正周期 1 求 0f w