[工学]D6考研基础班.ppt

1 定积分的应用 若能把某个量表示成定积分 我们就可以应用定积分计算这个量 第六章 2 3 求和 4 求极限 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形 小窄曲边梯形的面积为 则 而第i个 得A的近似值 得A的精确值 回顾 曲边梯形的面积表示为定积分的步骤 3 a b x y o 对以上过程进行简化 的面积 则 取 这种简化以后的定积分方法叫 微元法 或 元素法 4 一 定积分的元素法 1 什么问题可以用定积分 元素法 解决 表示为 1 所求量U是与区间 a b 上有定义的f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 一个整体量 5 第一步 根据具体情况 选取积分变量 确定x的变化 区间 a b 第二步 把区间 a b 分成n个小区间 取一代表区间 求出该区间上所求量的部分量的 称为量U的微元 第三步 写出定积分的表达式 近似表达式 这个方法通常叫做元素法 元素的几何形状常取为 条 带 段 环 扇 片 壳等 先作图 2 应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是 6 3 使用元素法时应注意 则U相应地分成许多 即如果把区间 a b 分成许多部分区间 部分量 而U等于所有部分量之和 则U在 a b 上的值可由定积分 示为 3 在 a b 中任取的小区间 上的部分量 来计算 7 1 直角坐标系下平面图形面积的计算 梯形的面积为A X型 2 由曲线 所围图形的面积 其面积元素为 则面积为 二 定积分在几何学上的应用 8 4 由曲线 所围图形的面积 其面积元素为 则面积为 的面积A Y型 9 总之 10 回顾 极坐标系 1 极坐标系的定义 在平面上取定一点o 叫做极点 从极点出发引一条射线Ox 叫极轴 并取定一个长度单位 和计算角度的正方向 通常取逆时针方向作正方向 这样 就建立了一个平面极坐标系 2 极坐标与直角坐标的互化 11 过点M a 0 且垂直于极轴的直线的极坐标方程 极坐标与直角坐标的关系 3 几个常用曲线的极坐标方程 12 r y 圆极坐标方程 圆极坐标方程 圆极坐标方程 13 2 极坐标系下平面图形面积的计算 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 解 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 14 3 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则在小区间 的体积元素为 立体体积为 上连续 A x x a b 15 1 曲边梯形 旋转一周围成的旋转体的体积为 2 曲边梯形 绕y轴旋转一周围成的旋转体体积为 4 旋转体的体积 16 a b y x o x dx 生成的旋转的体积 求旋转体体积 x dx 内表面积 柱壳法 17 a b y x o x dx 生成的旋转的体积 求旋转体体积 柱壳法 x dx 底面积 18 围成的曲边梯形绕y轴旋转一周 所以 由连续曲线 类似地 如果旋转体是由连续曲线 而成的立体的体积 而成的立体的体积 19 5 弧长 数1 数2 2 参数方程 3 极坐标方程 注意 求弧长时积分上下限必须上大下小 20 6 旋转体的侧面积 数1 数2 设平面光滑曲线 求 它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 积分后得旋转体的侧面积 取侧面积元素 注意在不同坐标系下ds的表达式 21 X型 Y型 请熟记以下公式 22 注意 1 以上公式都要求 2 复杂图形应学会分割 3 不能用公式时应会元素法 4 若曲边梯形的曲边为参数方程 则上述公式可以用定积分的换元法处理 5 若曲边梯形的曲边为极坐标方程 则可转化为直角坐标系下的参数方程 6 与弧长有关时 其限应上大下小 23 解 典型例题分析 24 解 25 A B 解 依题意有 26 例4 计算抛物线 解 如图 求两曲线的交点 27 而成的旋转体的体积 分析 无公式可用 可用元素法 如图 例5 解法1 选择y作积分变量 解法2 选择x作积分变量 28 思考 过坐标原点作曲线 轴围成平面图形D 解 1 设切点的横坐标为 则所求切线方程为 由切线过原点知 的切线 该切线与 故切线方程为 2003考研 1 求D的面积 2 求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积 29 2 求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积 2 切线 x轴及直线 所围三角形绕直线 旋转所得圆锥的体积为 曲线 x轴及直线 所围图形绕直线 旋转所 因此所求旋转体体积为 得旋转体体积为 30 解 31 解 32 解 33 解 34 1 求由摆线 的一拱与x轴所围平面图形的面积 2 计算摆线 的一拱与y 0所围 成的图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 3 计算摆线 的一拱的长度 练习题 35 提示 计算摆线 平面图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 P280例8 用柱壳法求较好 36 证 设正弦线的弧长等于 设椭圆的弧长等于 故原结论成立 37 试用定积分求圆 上 半圆为 下 求体积 解 方法1利用对称性 而成的环体体积V及表面积S 方法2用柱壳法 例8 38 上 半圆为 下 解 求侧面积 试用定积分求圆 而成的环体体积V及表面积S 例8 39 解 如图 立体的体积 例9 40 例10 在x 0时为连续的非负函数 旋转一周所成旋转体体积 证明 证 利用柱壳法 则 故 41 思考题 94年数 求曲线 与x轴围成的封闭图形 绕直线y 3旋转得的旋转体体积 42 解 利用对称性 故旋转体体积为 在第一象限 94年数 求曲线 与x轴围成的封闭图形 绕直线y 3旋转得的旋转体体积 43 回顾 变力沿直线所作的功 二 定积分在物理上的应用 设物体在连续变力F x 作用下沿x轴从x a移动到 力的方向与运动方向平行 求变力所做的功 在其上所作的功元素为 因此变力F x 在区间 上所作的功为 解 44 0 1 x 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例1 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1厘米 如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等