北京市顺义区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2015年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3分，共 30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1 的倒数是（ ） A 3 B C D 3 2计算 的结果是（ ） A B C D 3 3不等式 3x+2 1 的解集是（ ） A x B x C x 1 D x 1 4下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5若 3x=4y（ ），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 6在 ， C=90， ， ，则 值为（ ） A B C D 7如图，在平行四边形 ，点 E 在 ，连接 延长与 延长线交于点F，若 的值是（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8如图， O 的直径 ，弦 ，点 D 在 O 上，则 D 的度数是（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 9若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A 6， B ， 3 C 6， 3 D ， 10如图所示，扇形 圆心角为 120，半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 二、填空题（共 6道小题，每小题 3分，共 18分） 11分解因式： m= 12一名射击爱好者 5 次射击的中靶环数如下： 6， 7， 9， 8， 9，这 5 个数据的中位数是 13如图，身高是 某同学直立于旗杆影子的顶 端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为 9m，则旗杆的高度为 m 14若反比例函数 的图象在每一个象限中， y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 第 3 页（共 25 页） 15将抛物线 y=2 个单位，再向左平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 16如图，在平面直角坐标系 ， 接圆的圆心坐标是 ，半径是 三、解答题（共 13 道小题，第 17小题 5 分，第 27题 7分，第 28 题 7分，第29题 8分，共 72分） 17计算： （ ） 0 18已知 ，求代数式 的值 19求二次函数 y=4x+3 的顶点坐标及对称轴， 并在所给坐标系中画出该二次函数的图象 第 4 页（共 25 页） 20如图，已知在平面直角坐标系 ， O 是坐标原点，点 A（ 2， 5）在反比例函数 y=的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B （ 1）求 k 和 b 的值； （ 2）求 面积 21李大叔想用篱笆围成一个周长为 80 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方米）随矩形一边长 x（单位：米）的变化 而变化 （ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？ 22已知：如图， O 的直径，弦 ， B=60， 足为 D （ 1）求 长； （ 2）求劣弧 长 23在四边形 ， D=8， A=60， D=150，四边形周长为 32，求 24一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31的方向上，沿河岸向北前行40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度（参考数值： ） 第 5 页（共 25 页） 25已知抛物线 y=（ m 1） m 2） x 1 与 x 轴相交于 A、 B 两点，且 ，求 26在 ， 2点 D 以 1cm/s 的速度从点 A 出发到点 B 止，动点 E 以 2cm/s 的速度从点 C 出发到点 A 止，且两点同时运动，当以点 A、 D、 E 为顶点的三角形与 似时，求运动的时间 t 27如图， O 的直径，点 C 在 O 上， 平分线交 O 于点 D，过点 D 作垂线交 延长线于点 E，连接 点 F （ 1）猜想 O 的位置关系，并证明你的猜想； （ 2）若 ， ，求 长 28如图，在平行四边形 ，过点 A 作 足为 E，连接 F 为线段一点，且 B （ 1）求证： （ 2）若 ， ， ，求 长 第 6 页（共 25 页） 29已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点， B 点在 x 轴上， （ 1）求过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若直线 抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （ 3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么 否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和 最大面积；若没有，请说明理由 第 7 页（共 25 页） 2015年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3分，共 30分）下面各题均有四个 选项，其中只有一个是符合题意的 1 的倒数是（ ） A 3 B C D 3 【考点】 倒数 【分析】 根据倒数的定义即可得出答案 【解答】 解： 的倒数是 3； 故选 D 【点评】 此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2计算 的结果是（ ） A B C D 3 【考点】 二次根式的乘除法 【专题】 计算题 【分析】 根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可 【解答】 解： = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单 3不等式 3x+2 1 的解集是（ ） A x B x C x 1 D x 1 【考点】 解一元一次不等式 【分析】 先移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可 【解答】 解：移项得， 3x 1 2， 合并同类项得， 3x 3， 把 x 的系数化为 1 得， x 1 故选： C 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键 第 8 页（共 25 页） 4下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形 ；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】 解： A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 A 选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故 C 选项不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 D 选项符合题意； 故选： D 【点评】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180后与原图重合 5若 3x=4y（ ），则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【考点】 比例的性质 【分析】 根据比例的性质，可得答案 【解答】 解： A、由比例的性质，得 3x=4y，故 A 正确； B、由比例的性质，得 2，故 B 错误； C、由比例的性质，得 4x=3y，故 C 错误； D、由比例的性质， 得 4x=3y，故 D 错误； 故选： A 【点评】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键 6在 ， C=90， ， ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 根据勾股定理求出 长，根据余弦的定义解答 即可 【解答】 解： C=90， ， ， =4， = ， 故选： B 【点评】 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 第 9 页（共 25 页） 7如图，在平行四边形 ，点 E 在 ，连接 延长与 延长线交于点F，若 的值是（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】 由四边形 平行四边形，可得 可证得 后由相似三 角形的对应边成比例，求得答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形， D， E： E： ： 1， = 故选 D 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 8如图， O 的直径 ，弦 ，点 D 在 O 上，则 D 的度数是（ ） A 30 B 45 C 60 D 75 【考点】 圆周角定理；含 30 度角的直角三角形 【专题】 几何图形问题 【分析】 由 O 的直径是 到 0，根据特殊三角函数值可以求得 B 的值，继而求得 A 和 D 的值 【解答】 解： O 的直径是 0， 又 ，弦 ， ， 0， 第 10 页（共 25 页） A= D=60， 故选： C 【点评】 本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值 9若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A 6， B ， 3 C 6， 3 D ， 【考点】 正多边形和圆 【分析】 由正方形的边长、外接圆半径 、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度 【解答】 解： 正方形的边长为 6， ， 又 5， =3 ， 即外接圆半径为 3 ，内切圆半径为 3 故选： B 【点评】 此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键 10如图所示，扇形 圆心角为 120，半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【考点】 扇形面积的计算 【专题】 探究型 【分析】 过点 O 作 根据等腰三角形的性质得出 度数 ，由直角三角形的性质得出 长，再根据 S 阴影 =S 扇形 S 【解答】 解：过点 O 作 20， ， = =30， 第 11 页（共 25 页） 2=1， = = ， ， S 阴影 =S 扇形 S 2 1= 故 选 A 【点评】 本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出 S 阴影 =S 扇形 二、填空题（共 6道小题，每小题 3分，共 18分） 11分解因式： m= m（ n+3） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】 解： m =m（ n+9） =m（ n+3） 2 故答案为： m（ n+3） 2 【点评 】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12一名射击爱好者 5 次射击的中靶环数如下： 6， 7， 9， 8， 9，这 5 个数据的中位数是 8 【考点】 中位数 【分析】 根据中位数的概念求解 【解答】 解：这组数据按从小到大的顺序排列为： 6， 7， 8， 9， 9， 则中位数为： 8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位 置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 13如图，身高是 某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为 9m，则旗杆的高度为 12 m 第 12 页（共 25 页） 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可 【解答】 解： 同一时刻物高与影长成正比例 设旗杆的高是 1.2=x： 9 x=12 即 旗杆的高是 12 米 故答案为 12 【点评】 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想 14若反比例函数 的图象在每一个象限中， y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m 1 【考点】 反比例函数的性质 【分析】 根据反比例函数的性质可得 m 1 0，再解不等式即可 【解答】 解： 图象在每一个象限中 y 随着 x 的增大而减小， m 1 0， 解得： m 1， 故答案为： m 1 【点评】 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数 （ k0），（ 1）k 0，反比例函数图象在一、三象限；（ 2） k 0，反比例函数图象在第二、四象限内 15将抛物线 y=2下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（ x+1） 2 3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 按照 “左加右减，上加下减 ”的规律 【解答】 解：将抛物线 y=2 个单位得 y=23，再向左平移 1 个单位，得 y=2（ x+1） 2 3； 故所得抛物线的解析式为 y=2（ x+1） 2 3 故答案为： y=2（ x+1） 2 3 【点评】 考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 16如图，在平面直角坐标系 ， 接圆的圆心坐标是 （ 5， 2） ，半径是 2 第 13 页（共 25 页） 【考点】 三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质 【分析】 利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解决 【解答】 解： 接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等， 又 到 B， C 两点距离相等的点在 垂直平分线上， 三角形的外心位置基本确定，只有（ 5， 2）点到三角形三个顶点距离相等， （ 5， 2）点是三角形的外接圆圆心 利用勾股定理可得半径为： 2 故答案为：（ 5， 2）， 2 【点评】 此题主要考查了三角形的外心相关知识 ，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目比较典型 三、解答题（共 13 道小题，第 17小题 5 分，第 27题 7分，第 28 题 7分，第29题 8分，共 72分） 17计算： （ ） 0 【考点】 特殊角的三角函数值 【专题】 计算题 【分析】 本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】 解：原式 = + 1 = + 1 =0 故答案为： 0 【点评】 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，零指数幂等考点的运算 18已知 ，求代数式 的值 【考点】 分式的化简求值 【专题】 计算题 第 14 页（共 25 页） 【分析】 将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用 b 表示出 a，将表示出的 a 代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值 【解答】 解： （ a 2b） = （ a 2b） = ， = 0， a= b， 原式 = = = = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关 键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分 19求二次函数 y=4x+3 的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 直接利用配方法求出二次函数顶点坐标以及对称轴，再求出图象与坐标轴交点，进而得出答案 【解答】 解： y=4x+3 =（ x 2） 2 1， 第 15 页（共 25 页） 则抛物线的顶点坐标为：（ 2， 1），对称轴为直线： x=2， 当 y=0，则 0=（ x 2） 2 1， 解得： ， ， 故抛物线与 x 轴交点为：（ 1， 0），（ 3， 0） 如图所示： 【点评】 此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数图象画法，正确得出抛物线顶点坐标是解题关键 20如图，已知在平面直角坐标系 ， O 是坐标原点，点 A（ 2， 5）在反比例函数 y=的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B （ 1）求 k 和 b 的值； （ 2）求 面积 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】 代数几何综合题 【分析】 （ 1）根据待定系数法，可得答案； （ 2）根据三角形的面积公式，可得答案 【解答】 解：（ 1）把 A（ 2， 5）分别代入 y= 和 y=x+b，得 ， 解得 k=10， b=3； 第 16 页（共 25 页） （ 2）作 x 轴于点 C， 由（ 1）得直线 解析式为 y=x+3， 点 B 的坐标为（ 3， 0）， ， 点 A 的坐标是（ 2， 5）， ， = 5= 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式 21李大叔想用篱笆围成一个周长为 80 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方米）随矩形一边长 x（单位：米）的变化而变化 （ 1）求 S 与 x 之间 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？ 【考点】 二次函数的应用 【专题】 应用题 【分析】 （ 1）有题目分析可知，矩形的另一边长应为 =40 x，由矩形的面积公式可以得出 S 与 x 之间的函数关系式； （ 2）根据二次函数的性质，以及 x 的取值范围，求出二次函数的最大值 【解答】 解：（ 1）有分析可得： S=x（ 40 x） = 0x，且有 0 x 40， 所以 S 与 x 之间的函数关系式为： S=x（ 40 x） = 0x，并写出自变量 x 的取值范围为： 0 x 40； （ 2）求 S= 0x 的最大值， S= 0x=（ x 20） 2+400， 所以当 x=20 时，有 S 的最大值 S=400， 答：当 x 是 20 时，矩形场地面积 S 最大，最大面积是 400 【点评】 本题主要考查了二次函数的实际应用，以及二次函数的最值求法，只要灵活掌握这些内容便能熟练解决此类问题 22已知：如图， O 的直径，弦 ， B=60， 足为 D （ 1）求 长； （ 2）求劣弧 长 第 17 页（共 25 页） 【考点】 圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）根据 直径，证明 C=90，由垂径定理求 求 （ 2）连接 （ 1）可知 20，利用弧长公式求解 【解答】 解：（ 1） O 的直径， C=90， 又 D= ， 0， B=60 A=30， 在 ， ， ； （ 2）连接 20， 的长 l= = = 【点评】 本题考查了本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长公式的运用关键是根据垂径定理，把条件集中到 求解 23在四边形 ， D=8， A=60， D=150，四边形周长为 32，求 【考点】 勾股定理；等边三角形的判定与性质 【分析】 如图，连接 建等边 角 用等边三角形的性质求得 ；然后利用勾股定理来求线段 长度 【解答】 解：如图，连接 D， A=60 第 18 页（共 25 页） 则 等边三角形即 ， 1=60 又 1+ 2=150，则 2=90 设 BC=x， 6 x，由勾股定理得： 2+（ 16 x） 2，解得 x=10， 16 x=6 所以 0， 【点评】 本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质根据已知条件推知 解题关键 24一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31的方向上，沿河岸向北前行40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的 宽度（参考数值： ） 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 应用题 【分析】 如图，过点 C 作 D，由题意知道 1， 5，设 D= B+ 40+x）米，在 ， ，由此可以列出关于 方程即可求解 【解答】 解：过点 C 作 D， 由题意 1， 5， 设 D=x 米， 则 B+ 40+x）米， 在 ， ， 则 ， 解得 x=60（米）， 经检验得： x=60 是原方程的根， 这条河的宽度为 60 米 第 19 页（共 25 页） 【点评】 此题主要考查了解直角三角形方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列 出方程解决问题 25已知抛物线 y=（ m 1） m 2） x 1 与 x 轴相交于 A、 B 两点，且 ，求 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【专题】 计算题 【分析】 令 y=0，求关于 x 的一元二次方程（ m 1） m 2） x 1=0 的解，即为点 A、B 的横坐标，再根据 求得 m 的值即可 【解答】 解：设一元二次方程（ m 1） m 2） x 1=0 的两根为 、 ， += ， = ， | |= =2， （ +） 2 4=4， 即（ ） 2+ =4， 解得 m=2 或 m= 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，是个基础性的题目，比较简单 26在 ， 2点 D 以 1cm/s 的速度从点 A 出发到点 B 止，动点 E 以 2cm/s 的速度从点 C 出发到点 A 止，且两点同时运动，当以点 A、 D、 E 为顶点的三角形与 似时，求运动的时间 t 【考点】 相似三角形的判定与性质 【专题】 动点型 【分析】 由当动点 D、 E 同时运动时间为 t 时，可得 AD=t， t， 2 2t然后分别从当 B 时， 当 C 时， 分析求解即可求得答案 【解答】 解：当动点 D、 E 同时运动时间为 t 时， 第 20 页（共 25 页） 则有 AD=t， t， 2 2t A 是公共角， （ 1）当 B 时， 有 ，即 ， t=3； （ 2）当 C 时， 有 ，即 解得 t= 综上可得：当点 D、 E 同时运动 3s 和 ，以点 A、 D、 E 为顶点的三角形与 似 【点评】 此题考查了相似三角 形的判定与性质此题难度适中，属于动点类题目，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 27如图， O 的直径，点 C 在 O 上， 平分线交 O 于点 D，过点 D 作垂线交 延长线于点 E，连接 点 F （ 1）猜想 O 的位置关系，并证明你的猜想； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】 几何综合题；压轴题 【分析】 （ 1）连接 据 平分线交 O 于点 D，则 = ，依据垂径定理可以得到： 后根据直径的定义，可以得到 而证得： 圆的切线； （ 2）首先证明 据相似三角形的对应边的比相等，即可求 长，继而求得答案 【解答】 解：（ 1） O 的位置关系是相切理由如下： 连接 平分线交 O 于点 D， = ， O 的直径， 0， 第 21 页（共 25 页） 即 O 的位置关系是相切； （ 2）连接 直径， 0， 在直角 ， = = ， 直径， 0， 又 = D = 【点评】 本题考查了切线 的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求长的问题转化成求相似三角形的问题是关键 28如图，在平行四边形 ，过点 A 作 足为 E，连接 F 为线段一点，且 B （ 1）求证： （ 2）若 ， ， ，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质； 勾股定理；平行四边形的性质 【专题】 压轴题 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （ 1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似 （ 2）利用 以求出线段 长度；然后在 ，利用勾股定理求出线段 长度 【解答】 （ 1）证明： 四边形 平行四边形， C+ B=180， 80， B， C 在 ， （ 2）解： 四边形 平行四边形， B=8 由（ 1）知 ， = =12 在 ，由勾股定理得： = =6 【点评】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错 29已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点， B 点在 x 轴上， （ 1）求过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若直线 抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （ 3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，