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第3次课 克莱姆法则 目的要求 1 掌握克莱姆法则解线性方程组2 应用拉普拉斯定理计算行列式3 第一章习题小结在 1 2中 我们知道二元线性方程组当系数行列式 时有唯一解 这个结论可推广到n元线性方程组 定理1 6若线性方程组 的系数行列式D 0 则方程组有唯一解 其中Dj为用常数项换D中第j列元素得到的行列式 例1解方程组 解 特别地 当常数项均为零时 n元线性方程组 称n元齐次线性方程组 此时 X1 X2 Xn 0总是有解 定理1 7若齐次线性方程组的系数行列 式D 0时 它只有唯一零解 即x1 x2 xn 0推论 若齐次线性方程组除零解外 还有无穷多非零解 则它的行列式D 0 例2 有非零解 解 补充 三次多项式因式分解 方程组有非零解 例3当k取何值时 方程组 有非零解 解 方程组有非零解 1 用克莱姆法则解方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 2 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 小结与思考 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克莱姆法则解方程组 为什么 此时方程组的解为何 二 定理1 5拉普拉斯 Laplace 定理 若在n阶行列式D中 任选k行 列 由这个k行 列 元素所组成的所有k阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于D 例4 特点 行列式中零元素较多 稀疏行列式 解 由于D中第二 四行零元素较多 故选定这两行展开 可组成 其中不为零的只有一个 例5 解 由于D中5 6两列零元素较多 故选定这两列展开 可组成 但其中不为0的只有一个 第一章习题课 计算行列式 1 化上 下 三角行列式 P14 1 5 解 将第一列每项与二 三 n列对换 经过n 1次对换 P14 1 3 解 P14 2 证明 3 证明 2 按一行 列 展开 但应先恒等变形 将该行 列 化出较多的零 P29 1 3 解 按第一列展开 按第一行展开 P29 1 4 解 3 按多行 列 展开 拉普拉斯定理 P23 2 1 解 按二 四两行展开 4 各行 列 元素之和都相等 P14 1 6 解 把二 三 n列依次加到第一列 5 利用范德蒙行列式 例如 P29 2 证明 证明 数学归纳法 1 当n 2时 2 假设n 1阶范德蒙行列式成立 则n阶范德蒙行列式 从下至上每一行减去前一行的x1倍 例1 四阶范德蒙行列式 例如 解 6 加边法 升阶法 P14 1 3 解一 D 加边法 升阶 解二 计算行列式 例 用加边法 升阶 解 7 爪型行列式 箭型行列式 例 可化为爪型 箭型行列式 的行列式 P14 1 7 解 8 递推法 例 P28 6 解 按第n行展开 例 已知 解 构造一个新行列式 根据题意 计算行列式的方法比较灵活 同一行列式可以有多种计算方法 有的行列式计算需要几种方法
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