上海市2013届高三二模数学(理)分类汇编：数列.doc

章丘一中王希刚上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编数列一、填空、选择题1、（2013届奉贤区二模）设正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则 答案：2、（2013届奉贤区二模）数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）4答案：A3、（2013届虹口区二模）数列的通项，前项和为，则 答案：74、（2013届黄浦区二模）等差数列的前10项和为30，则_答案：125、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若， 则其公比的取值范围是 .答案：6、（2013届闵行区二模）公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于 答案：187、（2013届浦东新区二模）数列满足（）存在可以生成的数列是常数数列；“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件；若为单调递增数列，则的取值范围是；只要，其中，则一定存在；其中正确命题的序号为 .答案：二、解答题1、（2013届长宁、嘉定区二模）已知三个互不相等的正数，成等比数列，公比为在，之间和，之间共插入个数，使这个数构成等差数列（1）若，在，之间插入一个数，求的值；（2）设，问在，之间和，之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的个数中，有个位于，之间，个位于，之间，试比较与的大小（理）解：（1）因为，是互不相等的正数，所以且由已知，是首项为，公比为的等比数列，则，2分当插入的一个数位于，之间， 设由个数构成的等差数列的公差为，则，消去得，因为，所以 4分（2）设所构成的等差数列的公差为，由题意，共插入个数5分若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，解得7分若在，之间插入个数，在，之间插入个数，则，于是，解得（不合题意，舍去） 9分若，之间和，之间各插入个数，则，解得（不合题意，舍去） 11分综上，之间插入个数，在，之间插入个数 12分（3）设所构成的等差数列的公差为，由题意，又，14分所以，即，因为，所以16分所以，当，即时，；当，即时，18分（文）（1）当时，由已知，得当时，由，两式相减得，即，所以是首项为，公比为的等比数列所以，（） 4分（2）由题意，故，即，6分因为，所以，即，解得，8分所以所以所得等差数列首项为，公差为，共有项10分所以这个等差数列所有项的和 11分所以， 12分（3）由（1）知，所以14分由题意，即对任意成立，所以对任意成立16分因为在上是单调递增的，所以的最小值为所以由得的取值范围是所以，当时，数列是单调递减数列 18分2、（2013届奉贤区二模）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且 （1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 2分； a3=2； 3分（2）由，即， 得 ，得 5分于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1， 所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 9分法二，得 5分于是， 7分 所以，an=n1 9分 (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 10分于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 12分当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列 14分于是0，所以此时方程()无正整数解 15分综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列 16分3、（2013届虹口区二模）已知复数，其中，是虚数单位，且，（1）求数列，的通项公式；（2）求和：；解：（1），由得，3分数列是以1为首项公比为3的等比数列，数列是以1为首项公差为2的等差数列，6分（2）由（1）知，,数列是以为首项，公比为的等比数列9分当，时，当，时，又也满足上式14分4、（2013届黄浦区二模）已知数列具有性质：为整数；对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.【解析】设，则：，分两种情况： 是奇数，则，若是偶数，则，当时，由定义可知：，综上可知：当时，都有5、（2013届静安、杨浦、青浦、宝山区二模）已知数列的前项和为，且满足 ()，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由解：（1），当时，=2，所以为等比数列 ， （2） 由（1）可得 ； ， ， 所以，且所以的最小值为（3）由（1）当时，当时，所以对正整数都有 由，(且)，只能是不小于3的奇数当为偶数时，因为和都是大于1的正整数，所以存在正整数，使得，,，所以且，相应的，即有，为“指数型和”； 当为奇数时，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”6、（2013届闵行区二模）如图，过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去又设线段的长分别为，的面积分别为数列的前项的和为xyOP1P2P3Q1Q3Q2P4（1）求； （2）求，；（3）设，数列的前项和为，对于正整数，若，且，试比较与的大小 解 （1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得 2分同理在抛物线上，得 2分（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足消去得 ， 所以又，故从而 2分由有 -得即，又，于是所以是以为首项、为公差的等差数， 2分， 2分法2：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或因此，点的坐标满足消去得，又，所以，从而 2分以下各步同法1法3：点的坐标为，即点，所以，又在抛物线上，得,即2分以下各步同法1（3）因为，所以数列是正项等比数列，且公比，首项，则， 2分=（注意） 2分而（注意） 2分因为，所以,又均为正整数，所以与同号，故，所以， 2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）7、（2013届浦东新区二模）已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.解：（1）是等差数列，即.2分所以，的最小值为；4分（2）设的公差为，则5分设三角形的三边长为，面积，.7分由得， 当时，经检验当时，当时，.9分综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4.10分（3）证明：因为成等比数列，.由于为直角三角形的三边长，知，11分又，得，于是.12分，则有.故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.14分因为 ，15分由，同理可得，故对于任意的都有是正整数.16分8、（2013届普陀区二模）对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：； 存在实数,使得成立.（1）数列、中，、（），判断、是否具有“性质”；（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围；（3）若数列的通项公式（）.对于任意的（），数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.解：（1）在数列中，取，则，不满足条件，所以数列不具有“性质”；2分 在数列中，则，所以满足条件；（）满足条件，所以数列具有“性质”。4分（2）因为数列是各项为正数的等比数列，则公比，将代入得，解得或（舍去），6分所以，7分对于任意的，且8分所以数列数列具有“性质”9分.10分（3）由于，则， 由于任意且，数列具有“性质”，所以即，化简得，12分即对于任意且恒成立，所以14分=由于及，所以即时，数列是单调递增数列，且16分只需，解得17分由 得，所以满足条件的整数的值为2和3.经检验不合题意，舍去，满足条件的整数只有18分9、（2013届徐汇、松江、金山区二模）已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列； （3）对（2）题中的，求集合的元素个数.解：(1)由条件得，即,.2分 所以，. .4分 (2) 由（1）可知所以，,，.7分由及得依次成递增的等差数列,.8分所以，.9分满足为常数，所以数列为等比数列. .10分 （3）当为奇数时，.12分同样，可得,所以，集合的元素个数为；.13分当为偶数时，同理可得集合的元素个数为. .16分10、（2013届闸北区二模）设数列与满足：对任意，都有，其中为数列的前项和（1）当时，求数列与的通项公式；（2）当时，求数列的前项和解：由题意知，且两式相减得即 （2分）（1）当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列故知， （4分）再由，得 （2分）另解： （2分）