南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷.pdf

南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷 2010 5 注意事项 1 本试卷共160分 考试时间120分钟 2 答题前 考生务必将自己的姓名 学校 班级 学号写在答卷纸的密 封线内 试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内 考试结束 后 交回答卷纸 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共70分 1 设集合A x x 2 2x 0 x R 则集合A Z中有 个元素 2 某城市有大学20所 中学200所 小学480所 现用分层抽样的方法从 中抽取一个容量为70的样本进行某项调查 则应抽取的中学数为 3 设复数 a bi a b R i是虚数单位 则a b的值是 4 下图给出了一个算法的流程图 若输入a 1 b 2 c 0 则输出 的结果是 开始 a b 输出a 结束 Y a b 输入a b c a c a c Y N N 第4题图 5 在一个袋子中装有分别标注数字1 2 3 4 5的五个小球 这些小 球除标注的数字外完全相同 现从中随机取出2个小球 则取出的小 球标注的数字之和为6的概率是 6 函数y sinx x 的值域是 7 已知圆锥的母线长为2 高为 则该圆锥的侧面积是 8 如果log2x log2y 1 则x 2y的最小值是 9 已知a b都是单位向量 a b 则 a b 10 在直角坐标系xOy中 双曲线x2 1的左准线为l 则以l为准线的抛 物线的标准方程是 11 设直线y 3x b是曲线y x3 3x2的一条切线 则实数b的值是 12 如图 平面四边形ABCD中 A 60 AD CD DB BC AB 2 BD 4 则CD 第12题图 D C B A 13 对函数f x xsinx 现有下列命题 函数f x 是偶函数 函数f x 的最小正周期是2 点 0 是函数f x 的图象的一个对称中心 函数f x 在区间 0 上单调递增 在区间 0 上单调递减 其中是真命题的是 写出所有真命题的序号 14 正整数按下列方法分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记第n组中各数之和为An 由 自然数的立方构成下列数组 03 13 13 23 23 33 33 43 记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn 则An Bn 二 解答题 本大题共6小题 共90分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本题满分14分 已知A为锐角 sinA tan A B 求cos2A及tanB的值 16 本题满分14分 第1小题7分 第2小题7分 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 四边形ABCD是梯 形 AD BC AC CD E是AA1上的一点 1 求证 CD 平面ACE D C B A E F D1 C1 B1 A1 2 若平面CBE交DD1于点F 求证 EF AD 17 本题满分14分 第1小题8分 第2小题6分 某品牌茶壶的原售价为80元 个 今有甲 乙两家茶具店销售这种 茶壶 甲店用如下方法促销 如果只买一个茶壶 其价格为78元 个 如果一次购买两个茶壶 其价格为76元 个 一次购买 的茶壶数每增加一个 那么茶壶的价格减少2元 个 但茶壶的售价 不得低于44元 个 乙店一律按原价的75 销售 现某茶社要购买这 种茶壶x个 如果全部在甲店购买 则所需金额为y1元 如果全部 在乙店购买 则所需金额为y2元 1 分别求出y1 y2与x之间的函数关系式 2 该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少 18 本题满分16分 第1小题10分 第2小题6分 在直角坐标系xOy中 椭圆 1的左 右焦点分别为F1 F2 点A 为椭圆的左顶点 椭圆上的点P在第一象限 PF1 PF2 O的方 程为x2 y2 4 1 求点P坐标 并判断直线PF2与 O的位置关系 2 是否存在不同于点A的定点B 对于 O上任意一点M 都有为 常数 若存在 求所有满足条件的点B的坐标 若不存在 说明理 由 19 本题满分16分 第1小题5分 第2小题5分 第3小题6分 在数列 an 中 a1 1 a n a n 1 3n 设bn an 3n 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的前n项的和 3 设T2n 求证 T2n 3 20 本题满分16分 第1小题6分 第2小题10分 已知函数f x mx 3 g x x2 2x m 1 求证 函数f x g x 必有零点 2 设函数G x f x g x 1 若 G x 在 1 0 上是减函数 求实数m的取值范围 是否存在整数a b 使得a G x b的解集恰好是 a b 若存 在 求出a b的值 若不存在 说明理由 南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷 参考解答及评分标准 说明 一 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解 答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过 该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错 误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 填空题不给中间分数 一 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共70分 1 3 2 20 3 1 4 2 5 6 1 7 2 8 4 9 10 y2 2x 11 1 12 13 14 2n3 二 解答题 本大题共6小题 共90分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本题满分14分 解 因为sinA 所以cos2A 1 2sin2A 3 分 1 6分 方法一 因为A为锐角 所以cosA 所以tanA 8分 因为tan A B 所以tanB tan A A B 10分 12分 2 14分 方法二 因为A为锐角 所以cosA 所以tanA 8分 因为tan A B 所以 12 分 所以tanB 2 14分 16 本题满分14分 第1小题7分 第2小题7分 D C B A E F D1 C1 B1 A1 证明 1 因为ABCD A1B1C1D1为直四棱柱 所以AA1 平面ABCD 因为CD平面ABCD 所以AA1 CD 即AE CD 3分 因为AC CD AE平面AEC AC平面AEC AE AC A 所以CD 平面AEC 7分 2 因为AD BC AD平面ADD1A1 BC平面ADD1A1 所以BC 平面ADD1A1 9分 因为BC平面BCE 平面BCE 平面ADD1A1 EF 所以EF BC 12 分 因为AD BC 所以EF AD 14分 17 本题满分14分 第1小题8分 第2小题6分 解 1 根据题意 当x 18时 茶壶的价格44元 个 则y1 4分 y2 60 x x N 8分 2 y y1 y2 当x 10时 y y1 y2 0 即y1 y2 10分 当1 x 10时 y y1 y2 2x x 10 0 即y1 y2 12分 当10 x 18时 y y1 y2 2x x 10 0 即y1 y2 当x 18时 y y1 y2 16x 0 即y1 y2 答 当购买的茶壶数为10个时 到甲 乙两家茶具店花费一样多 当购买的茶壶数小于10个时 到乙茶具店购买花费较少 当购买的茶壶数大于10个时 到甲茶具店购买花费较少 14分 18 本题满分16分 第1小题10分 第2小题6分 解 1 解法一 设点P的坐标为 x y x 0 y 0 则 1 因为F1 0 F2 0 且PF1 PF2 所以x2 y2 5 2分 由 联立方程组 解得x y 4分 所以点P的坐标为 5分 所以直线PF2的方程为2x y 2 0 7分 因为 O的方程为x2 y2 4 所以圆心O 0 0 到直线PF2的距离为d 2 9分 所以PF2与 O相切 10分 解法二 设点P的坐标为 x y x 0 y 0 因为PF1 PF2 c 所以PF12 PF22 4c2 20 2分 因为PF1 PF2 2a 6 所以PF1 PF2 8 因为2cy PF1 PF2 所以2y 8 所以y 所以x 4分 所以点P的坐标为 5分 所以PF2的方程为2x y 2 0 7分 因为 O的方程为x2 y2 4 所以圆心O 0 0 到直线PF2的距离为d 2 9分 所以PF2与 O相切 10分 2 设点M的坐标为 x y 则x2 y2 4 假设存在点B m n 对于 O上任意一点M 都有为常数 则MB2 x m 2 y n 2 MA2 x 3 2 y2 所以 常数 恒成立 12 分 可得 6 2m x 2ny 13 m2 n2 4 0 所以 解得或 舍 15分 所以存在满足条件的点B 它的坐标为 0 16分 19 本题满分16分 第1小题5分 第2小题5分 第3小题6分 1 证明 由a n a n 1 3n 得a n 1 3n 1 a n 3n 即bn 1 bn b1 a1 所以数列 bn 是首项为 公比为 1的等比数列 5分 2 解 由bn 1 n 1 得a n 3n 1 n 1 a n 3n 1 n 1 3n 1 n 1 7分 S n a1 a2 a3 an 3 32 33 3n 1 0 1 1 1 2 1 n 1 10分 3 证明 T2n 4 4 4 因为32 n 1 32 n 1 n N 所以 n N 所以 所以T2n 8 8 3 1 3 16分 20 本题满分16分 第1小题6分 第2小题10分 1 证明 f x g x x2 m 2 x 3 m 令f x g x 0 则 m 2 2 4 m 3 m2 8m 16 m 4 2 0恒成立 所以方程f x g x 0有解 所以函数f x g x 必有零点 6分 2 解 方法一 G x f x g x 1 x2 m 2 x 2 m 令G x 0 m 2 2 4 m 2 m 2 m 6 当 0 即2 m 6时 G x x2 m 2 x 2 m 0恒成立 所以 G x x2 m 2 x m 2 因为 G x 在 1 0 上是减函数 所以 0 解得m 2 所以2 m 6 8 分 当 0 即m 2或m 6时 G x x2 m 2 x m 2 因为 G x 在 1 0 上是减函数 所以方程x2 m 2 x m 2 0的两根均大于零或一根大于零另一 根小于零且 x 1 所以或 9分 解得m 2或m 0 所以m 0或m 6 10分 综上可得 实数m的取值范围为 0 2 11分 方法二 G x f x g x 1 x2 m 2 x 2 m 因为函数 G x 在 1 0 上是减函数 所以或 9分 即或 解得m 0或m 2 11分 所以实数m的取值范围为 0 2 因为a G x b的解集恰好是 a b 所以 12分 由 消去m 得ab 2a b 0 显然b 2 所以a 1 14分 因为a b均为整数 所以b 2 1或b 2 2 解得或或或 15分 因为a b 且a b 所以或 16分 南京市2010届高三第三次模拟考试 数学附加题 2010 5 说明 1 附加题供理工方向考生使用 满分40分 考试时间30分 钟 2 答案做在答题纸上 解答题 本大题满分40分 1 4题为选做题 每题10分 考生只 需选做其中2题 多选做的按前两题计分 5 6题为必做题 每题 10分 1 几何证明选讲选做题 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O 的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的 中点 A B C O P M 1 求证 A M O P四点共圆 2 求 OAM APM的大小 2 矩阵与变换选做题 如果曲线x2 4xy 3y2 1在矩阵的作用下变换 得到曲线 x2 y2 1 求a b的值 3 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 O为极点 已知两点 M N的极坐标分别为 4 求 OMN的面积 4 不等式选讲选做题 求函数f x 3 4的最大值 5 如图 正四棱锥P ABCD中 AB 2 PA AC BD相交于点O 求 1 直线BD与直线PC所成的角 A B O C P D 2 平面PAC与平面PBC所成的角 6 某校校运会期间 来自甲 乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均 分配到后勤组 保洁组 检录组 并且后勤组至少有一名甲班志愿 者的概率为 1 求6名志愿者中来自甲 乙两个班级的学生各有几人 2 设在后勤组的甲班志愿者的人数为X 求随机变量X的概率分 布列及数学期望E X 南京市2010届高三数学第三次模拟考试试卷 数学附加题参考答案 说明 一 本解答给出的解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解 答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过 该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错 误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 解答题 本大题满分40分 1 4题为选做题 每题10分 考生只 需选做其中2题 多选做的按前两题计分 5 6题为必做题 每题 10分 A B C O P M 1 本题满分10分 1 证明 连结OP OM 因为AP是 O的切线 所以AP OP 因为M是BC的中点 所以OM AC 因为四边形AMOP中 AP OP OM AC 所以 OPA OMA 180 所以A M O P四点共圆 5分 2 解 因为A M O P四点共圆 所以 OAM OPM 所以 OAM APM OPM APM APO 由 1 知AP OP 则 APO 90 所以 OAM APM 90 10分 2 本题满分10分 解 在曲线x2 4xy 3y2 1上任取一点P x y 设点P x y 在矩阵的作 用下变换得到点P x y 则 所以 即 4分 则 x ay 2 bx y 2 1 化简 得 1 b2 x2 2 a b xy a2 1 y2 1 从而 解得a 2 b 0 所以a b 2 10分 3 本题满分10分 解 S OMN 4 sin 5分 2 sin cos cos sin 1 10分 4 本题满分10分 解 方法一 由柯西不等式 得 3 4 2 32 42 2 2 5分 32