导数与微分的定义PPT课件.ppt

第二章 导数与微分 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 第一节 1 导数和微分的定义 一 导数的定义 四 导数的几何意义 三 函数的可导性与连续性的关系 二 单侧导数 五 微分 一 引例 1 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则到的平均速度为 而在时刻的瞬时速度为 自由落体运动 2 曲线的切线斜率 曲线 在M点处的切线 割线MN的极限位置MT 当时 割线MN的斜率 切线MT的斜率 两个问题的共性 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 二 导数的定义 定义1 设函数 在点 存在 并称此极限为 记作 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 运动质点的位置函数 在时刻的瞬时速度 曲线 在M点处的切线斜率 若上述极限不存在 在点不可导 若 也称 在 若函数在开区间I内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为导函数 记作 注意 就说函数 就称函数在I内可导 的导数为无穷大 由定义求导数的步骤 一些基本初等函数的导数 常数函数的导数幂函数的导数正 余 弦函数的导数对数函数的导数指数函数的导数 常数函数的导数 解 注 例2 正弦函数的导数 解 所以 同理可得 例1 例3 求函数 解 幂函数的导数 的导数 更一般地 说明 对一般幂函数 为常数 例如 以后将证明 对数函数的导数 解 例4 指数函数的导数 解 例5 见1 4函数连续性的例3 在点 的某个右邻域内 五 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在处的右导数 记作 即 左 左 例如 在x 0处有 定义2 设函数 有定义 存在 定理2 函数 在点 且 存在 简写为 若函数 与 都存在 则称 在开区间内可导 在闭区间上可导 可导的充分必要条件 是 且 2020 3 21 19 四 函数的可导性与连续性的关系 定理1 证 设 在点x处可导 存在 因此必有 其中 故 所以函数 在点x连续 即 注意 函数在点x连续未必可导 证 例2 分段函数在分段点的可导性 解 例6 7 设 问a取何值时 在 都存在 并求出 解 故 时 此时 在 都存在 显然该函数在x 0连续 三 导数的几何意义 若 曲线过 上升 若 曲线过 下降 若 切线与x轴平行 称为驻点 若 切线与x轴垂直 切线方程 法线方程 切线 法线 解 切线方程 法线方程 一 微分的概念 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 问此薄片面积改变了多少 设薄片边长为x 面积为A 则 面积的增量为 关于 x的线性主部 故 当x在 取 变到 边长由 其 的微分 定义 若函数 在点的增量可表示为 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 定理 可微的充要条件是 则 在点 可微 定理 函数 证 必要性 已知 在点可微 则 故 在点的可导 且 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 定理 函数 在点可微的充要条件是 在点处可导 且 即 充分性 已知 即 在点的可导 则 说明 时 所以 时 很小时 有近似公式 与 是等价无穷小 当 故当 微分的几何意义 当很小时 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分 记作 记 例如 基本初等函数的微分公式 见P66表 又如 内容小结 1 导数的实质 3 导数的几何意义 4 可导必连续 但连续不一定可导 5 已学求导公式 6 判断可导性 不连续 一定不可导 直接用导数定义 看左右导数是否存在且相等 2 增量比的极限 切线的斜率 2