圆锥曲线的性质及其推广应用.doc

目 录摘 要1Abstract21引言32圆锥曲线的曲线方程、性质42.1圆锥曲线的曲线方程42.2圆锥曲线的性质102.2.2双曲线的性质113圆锥曲线在生活中的推广应用15参考文献20致 谢21 摘 要本文在简单介绍圆锥曲线的基础上，对圆锥曲线在中学数学的一些定义及其相关性质的讲解分析，即椭圆、双曲线、抛物线的性质，并在其基础上对圆锥曲线的几个性质在实际生活中进行推广应用。天体的运行时的轨迹经常用圆锥曲线来描述，圆锥曲线在日常生活中也很常见，并且人们在现实生活中也广泛运用到圆锥曲线的一些光学性质 。并利用一些常见的题型对其光学性质在生活中的推广应用进行分析，讲解。关键词：圆锥曲线；分类；性质；推广应用Abstract Based on the simple introduction of conic curve,on conic curve in the analysis on some definition and properties of middle school ly the properties of elliptic,hyperbolic,parabolic,and on the basis of several properties of conic curves in real life to be.Conic curve is often used to describe the orbit of the curve,the curve is very common also in daily life ,optical properties and conic curve is also widely used in real life.And the application of its optical properties in life are analyzed by means of some common questions explan.Keywords:conic;classification;properties;application摘 要本文在简单介绍圆锥曲线的基础上，对圆锥曲线在中学数学的一些定义及其相关性质的讲解分析，即椭圆、双曲线、抛物线的性质，并在其基础上对圆锥曲线的几个性质在实际生活中进行推广应用。圆锥曲线是描述天体运行轨迹时经常用的曲线，同时也是日常生活中很常见的曲线，且圆锥曲线的光学性质在现实生活中也应用广泛。并利用一些常见的题型对其光学性质在生活中的推广应用进行分析，讲解。1引言 古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，利用平面截取一个对顶的圆锥，就根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线，椭圆和抛物线；当两个底面都与平面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲线；当底面和平面都没有相交的时候（就是与所有的母线都相交），在圆锥的侧面得到的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆；而当平面与对顶圆锥的一个底面相交的时候，在圆锥的侧面得到的就是抛物线了。本文在此基础上简单的概括了圆锥曲线的定义及其性质，结合生活实际介绍了圆锥曲线在生活中的运用，并利用实际例题进行分析、见解。 2圆锥曲线的曲线方程、性质在几何、数学学中通过平切对顶圆锥得到的曲线，包括椭圆，圆，抛物线，双曲线以及一些已经退化的曲线类型。圆锥曲线又被称为圆锥截面,圆锥截痕以及二次曲线【1】。圆锥曲线的定义应用最为广泛的为（抛物线，椭圆，双曲线的统一定义）：一动点到一定点（定点即焦点）的距离与其到一条定直线（准线）之间的距离的比为常数（离心率）的点的集合为圆锥曲线。2.1圆锥曲线的曲线方程 定理 1 【2】平面内的与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹就叫椭圆。这两个定点就叫椭圆的焦点，两焦点的距离就叫做椭圆的焦距。 如图1：建立平面标系,使轴经过点，且点与线段的中点重合。图1 假设是椭圆上的任意一个点，椭圆焦距为，则其焦点的坐标分别是。又假设与和的距离和是等于常数。 由椭圆的定义，椭圆就是集合 又可知，即所以，令 其标准方程为 例 1 求满足以下条件的椭圆标准方程： （1)、已知两焦点坐标分别为，椭圆上一点到这两个焦点的距离和等于; （2）、已知是两个定点， 且三角形的周长等于，求顶点的轨迹方程。解：（1）因为所求的椭圆的焦点是在轴上，即假设所求椭圆的标准方程是为因为所以,所以椭圆的标准方程 （2）如图2，建立坐标系，使轴经过，原点与的中点重合。图2 由题意可知有即点的轨迹是椭圆，且 所以 但当点在直线上，即时，三点不能构成三角形，所以点的轨迹方程是 注：求出方程后要检查方程上的点是否都符合题意。如不符合题意就应在方程后注明限制条件。 定理 2 【2】与两个定点的距离差的绝对值是等于常数（并且小于）的点的轨迹就叫做双曲线。这两个定点就叫做双曲线的焦点，两焦点的距离就叫双曲线的焦距。 如图3 建立直角坐标系，使轴经过,，并且点与线段重合。图3 假设是这个双曲线上的任意点，双曲线的焦距为，则此双曲线的焦点的坐标分别是，又假设点与两焦点的距离差的绝对值是为常数。 那么由定义可知，双曲线即为集合 又可知即，所以令 所以双曲线的标准方程为 ： 例2 已知一双曲线焦点是在轴上，并已知双曲线上的两点，坐标分别是，则求满足以上条件的双曲线的标准方程。解：由题可知双曲线的焦点是在轴上的，所以我们可假设所求双曲线的标准方程为 已知点是在所求双曲线上的，则点的坐标是适合方程的，再将依次代入方程中，可得到方程组 令,则方程组化为 解这个方程组，得 即,所有所求双曲线的标准方程为 定理 3 【2】与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线。点叫做抛物线的焦点，直线则叫做抛物线的准线。 如图4：建立如图的直角坐标系，使得轴过点并且要垂直直线，则垂足为,并使得原点要与线段中点重合。图4设，那么焦点的坐标为，准线的方程为。假设点是如图的抛物线上的任意一点，则点到之间的距离就由抛物线定义，则抛物线就是集合 一条抛物线，由于它的位置在坐标平面内有所不同，方程也不同。则由此可知抛物线的标准方程就出现了一下几种形式第一种 标准方程为 ,焦点坐标为 ，它的准线方程为 第二种 标准方程为 ,焦点坐标为 ，它的准线方程为 第三种 标准方程为 ,焦点坐标为 ，它的准线方程为 第四种 标准方程为 ,焦点坐标为 ，它的准线方程为 例3 已知一抛物线的标准方程是，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标 ； 已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程。解：因为，所以准线方程是.焦点坐标是， 由题可知所求抛物线的焦点在轴负半轴上，且，则所求的抛物线的标准方程就为2.2圆锥曲线的性质2.2.1椭圆的性质 性质一【5】：椭圆具有对称性，在椭圆的标准方程中，以代替，或以代替,或以分别代入,方程都不变，所以椭圆关于轴和轴以及原点都是对称的，坐标轴就是椭圆的对称轴，原点既是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫椭圆的中心。 性质二【5】：由于轴、轴都为椭圆的对称轴，则椭圆和它的对称轴就有了四个交点，并且这四个交点分别为椭圆的四个顶点。若与轴的两交点分别为，与轴的两个交点分别为，那么或就是椭圆的长轴或短轴。、叫做椭圆的长半轴或短半轴。 性质三【3】：离心率，为椭圆的焦距和长轴之间的比，就叫做椭圆的离心率。例4 试求满足以下条件的椭圆标准方程： 经过点、； 长轴的长等于，离心率等于.解：（1）根据椭圆的性质可知，以坐标轴作为对称轴的椭圆与此坐标轴的交点为椭圆的顶点，则已知点、分别为椭圆的长轴以及短轴上的一个端点。于是 .又因为长轴在轴上，所以椭圆的标准方程为 （2）已知，, 所以所以因为椭圆的焦点是在轴上的，但同时也有可能是在轴上，因此所求的满足条件的椭圆的标准方程就为或2.2.2双曲线的性质 性质一【4】：双曲线具有对称性；且每一个原点和坐标轴它都是对称的。因此坐标轴就为双曲线的对称轴，原点就为双曲线的对称中心。并且双曲线的对称中心又可叫做双曲线的中心。 性质二【7】：双曲线的顶点；在一双曲线的标准方程中，假设，所以双曲线与轴就有两个交点即,由于轴为双曲线的对称轴，则双曲线与它的对称轴就有两个交点，这两个交点都叫做双曲线顶点。如果双曲线和轴都没有交点，且与轴交于, ,则，令 ，所以就有，线段称作双曲线的实轴，它的长就为，且为双曲线的实半轴长；线段为双曲线的虚轴，其长就等于,且为双曲线的虚半轴长。 性质三【8】：我们把直线叫做双曲线的渐进线。在以下方程， 假如有，则双曲线的方程就为，并且它的虚轴和实轴的长都为，此时四条直线：，就可围城一个正方形，又渐进线方程为，并且它们是互相垂直的，还平分双曲线的虚轴和实轴之间所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 性质四：【8】双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，因此,所以双曲线的离心率.由等式可得 因此越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，双曲线的形状就会从狭窄变得开阔，因此，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。例5、求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程。解：把方程化为标准方程 由此可见，实半轴长，虚半轴长. 焦点坐标是,，离心率渐近线方程为，即 2.2.3抛物线的性质 性质一【5】：抛物线的顶点，即抛物线与抛物线的轴的交点称作抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就为坐标原点。 性质二【7】：抛物线具有对称性，如果以代替,则方程不变，则说明这条抛物线是关于轴对称的，所以我们就把抛物线的对称轴称作抛物线的轴。 性质三【7】：抛物线上的点到它的焦点的距离和到准线的距离的比，称为抛物线的离心率，以来表示，由抛物线的定义可得，.例6：已知一抛物线过点，且他的顶点在原点 ，求满足以上的标准方程。解：由抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则可假设它的标准方程是为 ，因为点在抛物线上，所以 ，即 .因此所求方程是 双曲线、椭圆、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下表1：椭圆双曲线抛物线 几何条件和两个定点的距离都是等于常数和两个定点的距离差的绝对值都等于常数和一条定直线与一顶点的距离都相等标准方程 图形顶点坐标 对称轴轴，长轴长轴，短轴长轴，实轴长轴，虚轴长 轴焦点坐标 离心率准线方程渐近线方程表13圆锥曲线在生活中的推广应用 圆锥曲线是描述各大星系围绕运行的曲线，也是现实当中随处可见的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常生活当中运用甚多。例7、如图，我国年月日发射的第一颗人造地球卫星“东方红”号，是以地心为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地点（距地面最为近的点）与地面之间的距离为,远地点（距地面的距离最近的点）与地面之间的距离为，且、都在同一直线上，地球半径大约是，求卫星运行的轨道方程（精确到）.解：如图5建立直角坐标系，让点、在轴上，且为椭圆的右焦点（则记为左焦点）。 图5 由于椭圆的焦点在轴上，则假设它的标准方程为： 则 , .解：，.所以 用计算器求得，因此，卫星的轨道方程是圆锥曲线的光学性质和应用 一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什么原理组成的呢？ 其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转而得到的一个曲面【8】（如图6所示）这个面就被称为抛物面。经证明，抛物线有一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线就会平行于抛物线的对称轴。探照灯也是利用这个原理设计的。图6 同样的道理我们运用抛物线的这个性质理论，都可让一束抛物线的轴的光线且是平行与抛物线的，它在经抛物面的反射候会集中于它的焦点上。在生活中这个原理也被人们应用来设计了一种可以为食物加热的太阳灶。就是在太阳灶上面安装了一个形如旋转抛物面的一面反光镜，在太阳光和这面反光镜的轴平行的时候，经过反射的太阳光会集中于它的焦点出，此时这个位置的温度就会逐渐变得很高。 双曲线和椭圆的光学性质与抛物线的光学性质之间是有一些不同的。由双曲线的一个焦点所发出的光线在经其反射过后，其反射光线一定是散开的，就好似从另外的一个焦点射出来的那样（如图7所示）。然而由椭圆上一焦点所散出的光线，在经其反射之后，反射的光线会交于椭圆的另外一个焦点上（如图8所示）， 当然双曲线以及椭圆的光学性质也各种设计以及生活当中被人们广泛地运用。 图8 图7例八、生活中、探照灯上的反射镜的轴截面是属于抛物线范畴（如图9所示），探照灯的光源即抛物线的焦点，已知灯口圆的半径是厘米，且灯深为厘米，求抛物线的焦点所处位置及抛物线的标准方程 。 图9 图10解：如上图10所示，我们可以看见在探照灯的轴的截面所处的平面上建立一个平面直角坐标系，使得反光镜的顶点（也是抛物线的顶点）与原点重合，并且轴是垂直于灯口直径的。 假设所求的抛物线的标准方程是。由题可知点的坐标是，代入方程，可得 ,即 .所以所求抛物的标准方程为：，焦点坐标为：。 总 结 本篇文章在介绍圆锥曲线的图形的简单形成之后，利用了数形结合的思想，函数与方程的思想，简单的概括的圆锥曲线的图像函数，并根据一些简单的例子巩固了圆锥曲线的概念。再者，又利用了分类讨论的思想；对椭圆、双曲线、抛物线的几个相同的性质及不同的性质进行分析，最后归纳总结。且在了解了圆锥曲线的几个基本性质之后再对其在生活中的推广应用进行一个简单的讲解与分析。