高中数学高考综合复习21-椭圆与双曲线.doc

高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络 二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。三、知识要点(一)椭圆 定义与推论1、定义1的的认知设M为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离） （d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、统一形式： 2、椭圆 的几何性质（1）范围： （有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义） （4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 ，则 ；或 。（二）双曲线、定义与推论1定义1的认知设M为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2定义2的推论设 为双曲线 上任意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中， 为焦点 到相应准线li的距离 推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时， ；当点M在双曲线左支上时， 。、标准方程与几何性质3双曲线的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、的统一形式： 或： （3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4双曲线 的几何性质（1）范围： （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点 （由此赋予a,b名称与几何意义）（4）离心率： （5）准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延伸1具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （）（1）当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+;（2）当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）2弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 则 经典例题1、（1）若椭圆a2x2-y2=1 的一个焦点是（-2，0），则a等于 。（2）已知椭圆 的焦点为F1、F2，点P是其上的动点，当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 。分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。由题设知已知得： 这里 由此解得 （2）这里a=3, b=2, c= 以线段F1F2为直径的圆的方程为 设 ，则由点P在椭圆上得： 又由 为钝角得： 由、联立，解得： 所求点P横坐标的取值范围为 点评：注意到点P对 的大小的影响可用点P与圆 相对位置关系来反映，故选择这一解法。当然，本题亦可由 推出 的范围，请同学们尝试和比较。2、已知 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于P、Q两点， 且 ，求椭圆的离心率。分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。解：设椭圆方程为 设 ，则由 为等腰 得： 又由椭圆第一定义得 的周长为4a 即 注意到 为 ， 即 因此，代入得 由此解得 点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，第二项用于导出；两次运用 条件：第一次利用 为等腰 表示出 ，第二次利用 为 导出。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。3、已知双曲线 的左、右两个焦点为 ，P为双曲线上的点，又， 成等比数列且 ，求双曲线方程。分析：这里要求b的值。注意到 ，为了求b，首先需要从题设条件入手寻找关于b的方程或不等式。由题设得 ，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。解：这里 （4的特殊性） ，即 ， 点P在双曲线右支上设点 ，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再注意到由 得 ， 即 于是、得 而 ，所以由得b=1因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件 的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P在双曲线右支上；第二次“细”用，利用 （将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的范围： 。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。4、设椭圆 的焦点为 ，P为椭圆上一点， 的最大值为 。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。分析： 中 的最大值为 的最小值为 ，循着特殊与一般相互依存的辩证关系，想到从在 中运用余弦定理推导 的最小值切入。解：（1）设 = ， ， ， 则在 中由余弦定理得 即 的最小值为 又由题设知 的最大值，即 的最小值为 即 a=2b （2）由已知椭圆方程为 由题设知直线l不垂直于x轴设直线l的方程为 设 则由直线l与圆 相切得： 将代入得： 代入得 直线l与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得： ， （ 当且仅当 ，即 时等号成立） 的最大值为2b（当 时取得） 由题设得 （此时 ） a=2b=4 进而由得 ，即 因此，由、得所求椭圆方程为 ，直线l的方程为 或 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设P为椭圆 上任意一点， ，则 最小值为 据此 若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）。5、已知斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 交于P、Q两点，又直线l与y轴交于点R，且 ， ，求直线和双曲线方程。分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。解：由 得 ， 双曲线方程为 设 ，直线l的方程为 将代入得 对于方程， 恒成立由韦达定理得 即 由此得 又由题设得 ，故得 由、联立解得 将代入得 再注意到 得 将、代入得 解得 ， 因此，由，得所求双曲线方程为 ，所求直线方程为 点评：（）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。（）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式（ ）转化代入结论；已知式（ ）转化代入结论。同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。6、已知 ， （1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程；（2）若直线 与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），且有 ，试求m的取值范围。分析：对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。解：（1）由已知得 ， 由 得 ， 得 所求点P的轨迹C的方程为： （2）设 ，弦AB的中点 ，则将l的方程代入得 由题意得 且 即中点M的坐标为 注意到 点D在弦AB的垂直平分线上 （ ， 且 ） ， 且 ） 于是将代入得 或 此时再注意到由得 （关于k的二次函数隐含范围的发掘）于是由、所求m的取值范围 点评：（1）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一；（2）注意在寻求参数的取值范围的过程中，对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为k的二次函数，又由这里 ，故 。因此可解关于k的二次函数m的取值范围： 。这是本题导出正确结果的最后的屏障，不认知这一些，便会导出 的错误结果。五、高考真题：（一）选择题1.椭圆 的两个焦点为 ，过 作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 =（ ）A. B. C. D. 4分析：由已知 不防设点P在x轴正方，则以 代入椭圆方程得 ，故得点 ，从而 ，故选C。2.点P（-3，1）在椭圆 （ab0）的左准线上，过点P且方向为 的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：运用入射光线与反射光线的物理性质，刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。点P（-3，1）关于直线y=-2的对称点为 左焦点 又方向为 的直线的斜率为 ，设入射光线与直线y=-2的交点为M，则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得 ，解得：c=1.再由点P（-3，1）在左准线上得 ， ，应选A。3.若动点（x，y）在曲线 （b0）上变化，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 2b分析：注意到曲线方程二次方程，故考虑向二次函数的最值问题转化。由 得 设 ，则 又由中 得 ，且的对称轴为 （1）当 ，即 时， ；（2）当 ，即 时， ，于是由（1）、（2）知应选A。4.设直线 关于原点对称的直线为 ，若 与椭圆 的交点为A、B，P为椭圆上的动点，则使 的面积为 的点P的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析： 的方程为 ，且易知 的下方有两个满足题设条件的点。以下考察直线 上方是否存在满足题设的点P设在 上方且与椭圆相切于点P的直线 的方程为 ，将它与椭圆方程联立，消去y得 由=0得： ， 取 与 之间的距离 ， 直线 上方不存在满足题设的点P 于是由，知应选B。点评：运用数形结合的方法，解题过程变得简捷。5.已知双曲线 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， 的面积为 （O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90分析：首先着眼于寻找a，b的联系，由题设知F（c，0），右准线方程为 ，并且取点 ，则 ，a=b，双曲线为等轴双曲线，两渐近线夹角为90，应选D。6.已知双曲线 的焦点为 ，点M在双曲线上，且 轴，则 到直线 的距离为（ ）A. B. C. D. 分析：立足于计算与推理，由已知得： 轴， ，代入椭圆方程得 ， 即 当点 到直线 的距离为h，则由 得 ， 应选C。点评：这里线段 为半正焦弦，故 ，利用它更为方便。7.已知双曲线 的焦点为 ，点M在双曲线上且 ，则点M到x轴的距离为（ ）A. B. C. D. 分析：由已知得 ， ， ， 由，得 设所求距离为h，于是由 得 ，故选C。8.已知 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：从认知 的特性切入，寻找关于a，c的等式（或方程） 为正三角形， 点M在y轴上设边 的中点为P，连结 ，得 ， ， ， 又由题设知点P在双曲线左支上， 代入得 ，应选D。（二）填空题1.若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线方程为 。分析：由题设得： ， 由 得 ， 所求双曲线方程为 2.设双曲线 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果 为 ，则双曲线的离心率为 。分析：设右准线l与x轴交于点R，则 ，又 由此解得 a=b，故得 3.过双曲线 的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 。分析：设左焦点为 ，右顶点为A，则由题意得 （）注意到MN为双曲线的正焦弦，故 由（）得 由此解得 e=2。4.以下四个关于圆锥曲线的命题中设A、B是两个定点，k为非零常数，若 ，则动点P的轨道为双曲线；过定圆C上的一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 ，则动点P的轨迹为椭圆；方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 与椭圆 有相同的焦点。其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）。分析：对各命题依次辩析，由双曲线定义知，中点P轨迹是双曲线一支；对于，点P轨迹是椭圆上除去点A的曲线；对于，方程两根分别为 和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；对于，可知是真命题，综上可知应填、。（三）解答题1.如图，点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F为椭圆右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方， （1）求点P坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。分析：从设点P坐标切入，解题运用向量垂直的充要条件列方程，以解出点P坐标。解：（1）这里 ， ， ， ， 设点 ，则 ， 由 得 又点P在椭圆上 将、联立，消去y得 或 注意到 y0，故 ，从而 点P坐标为 （2）由（1）知，直线AP的方程为 设 ，则点M到直线AP的距离为 ， 由已知得 又 ，解得 m=2，即 又设椭圆上的 到点M的距离为d，则 ，当 时，d取得最小值 点评：将 转化为 ，从而使解题辟出另一途径。2.如图，已知椭圆中心在原点，焦点 在x轴上，长轴 的长为4，左准线l与x轴的交点为M， 。（1）求椭圆方程；（2）若直线 ，P为 上的动点，使 最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）分析：（1）以设椭圆标准方程切入；（2）从设点P坐标切入，易知 为锐角或零角，故从求 的最大值突破。解：（1）设椭圆方程为 ： ，则 ， 由题意得 ， 解得a=2， ，c=1 所求椭圆方程为 （2）设 ；（）当 时， ；（）当 时， ， 为锐角 只需求出 的最大值由题意，直线 的斜率 ，直线 的斜率 当且仅当 即 时等号成立。 的最大值为 （当且仅当 时取得）注意到正切函数在 内为增函数 当且仅当 时， 取得最大值 此时点Q坐标为 点评：欲求 的最大值，当 为锐角时，可转化为求 的最大值。因此，欲求 的最大值，在进入实质性计算之前，要首先考察 的范围，以决定这一转化是否适当。3.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为e，直线 与x轴、y轴分别交于A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点 关于直线l的对称点，设 。（1）证明： ；（2）确定 的值，使得 是等腰三角形。分析：（1）从得出点A、B、M的坐标切入，利用两向量相等的充要条件求解 ；（2）由题设知，l为线段 的垂直平分线，利用这一特性来判定 的特殊性或必然性， 为钝角（可从图形受到启发），故只有 一种情况。由这一等式入手并将其演变为关于e的方程，则解题便胜利在望了。解：（1）证：由题设易得 ， 由 解得 点M坐标为 ， 由 得 故得 由此解得