高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数学案北师大版必修1.doc

3.1 正整数指数函数4核心必知1定义一般地，函数yax(a0，a1，xN)叫作正整数指数函数其中x是自变量(x在指数位置上)，底数a是常数2图像特征正整数指数函数的图像是位于第一象限，且在x轴的上方的一群孤立的点问题思考1正整数指数函数的解析式的结构有何特征？ 提示：有三个特征：底数a为常数；指数为自变量x；系数为1.2正整数指数函数yax(a0，且a1)的单调性与底数a的大小有何关系？提示：当0a1时，yax是减少的，当a1时，yax是增加的讲一讲1若函数y(a23a3)(2a1)x是正整数指数函数，则实数a的值是_尝试解答由正整数指数函数的定义可知：即a2.答案：2正整数指数函数是一个形式定义，处理有关正整数指数函数概念的问题只要抓住它的三个特征确认与应用即可练一练1若函数f(x)(a24a4)ax(xN)为正整数指数函数，则f(4)_.解析：由正整数指数函数的定义可知：即 a3.f(x)3x，故f(4)3481.答案：81讲一讲2画出函数：(1)yx，(2)yx(xN)的图像，并说明函数的单调性尝试解答在同一坐标系中分别画出函数yx和yx(xN)图像如图所示由图像知：函数yx(xN)是增加的；而yx(xN)是减少的(1)正整数指数函数的图像特点：正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的(2)当0a1时，yax(xN)是减函数当a1时，yax(xN)是增函数练一练2画出函数(1)y2x(xN)，(2)yx(xN)的图像，并说明它们的单调性解：(1)函数y2x(xN)的图像如图(1)所示，由图像可知，该函数是增加的；(2)函数yx(xN)的图像如图(2)所示，由图像可知，该函数是减少的讲一讲3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质是原来的84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(xN)变化的函数关系式；(2)画出该函数的图像；(3)说明该函数的单调性；(4)利用图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半尝试解答(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y184%0.841；经过2年，剩留量y184%84%0.842；一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y0.84x(xN)(2)根据这个函数关系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出正整数指数函数y0.84x的图像(如图)，它的图像是由一些孤立的点组成的(3)通过计算和看图可知，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，即该函数为减函数(4)从图像可以看出，当x4时，y0.5，即约经过4年，剩留量是原来的一半实际问题中与“递增率”、“递减率”有关的问题，多抽象为正整数指数函数型函数yN(1p%)x，xN(其中N为原产值，增长(减少)率为p，x为经过的时间)练一练3有关部门计划于2016年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2022年应投入多少辆电力型公交车？解：由题意知，在2017年应投入电力型公交车的数量为128(150%)；在2018年应投入的数量为128(150%)(150%)128(150%)2；故在2022年应投入电力型公交车的数量为128(150%)6，即12861 458(辆)答：该市在2022年应投入1 458辆电力型公交车用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗_次巧思先根据题意写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，再用估算法求解妙解函数关系式为yx(xN)令x1%，得4x100.4364100,44256100，当x4时，4x100，故至少要漂洗4次答案41给出下列函数：y()x；yx；y3x1；y(1)x.当xN时，以上函数中是正整数指数函数的个数为()A1 B2C3 D4答案：B2函数f(x)3x2中，xN且x1,3，则f(x)的值域为()A1,1,7 B1,7,25C1,1,7,25 D.解析：选B，xN且x1,3 ，x，3x， f(x).3某产品计划每年成本降低的百分率为p，若三年后成本为a元，则现在的成本为()Aap3元 Ba(1p)3元C.元 D.元解析：选C假设现在的成本为y元，则y(1p)3a，y.4已知f(x)ax(a0且a1，xN)的图像过点(5,32)，则f(8)_.解析：由题意得a532，a2，f(x)2x，f(8)28256.答案：2565光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板后的强度为y，则y关于x的函数关系式为_解析：光线通过第1块玻璃板后的强度为a(110%)，通过第2块玻璃板后的强度为a(110%)2，依次类推，通过第x块玻璃板的强度为ya(110%)xa0.9x(xN)答案：ya0.9x(xN)6一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%，(1)试写出年产量y随年数x变化的关系式，并写出其定义域；(2)画出其函数图像解：(1)y(110%)x1.1x，y与x的关系式是y1.1x，其定义域是x|x10，xN(2)如图所示：一、选择题1下列函数中一定是正整数指数函数的是()Ay2x1，xNByx5，xNCy3x，xN Dy32x，xN解析：选C根据正整数指数函数的定义知y3xx，xN符合要求2函数yx(xN)的图像是()A一条上升的曲线 B一条下降的曲线C一系列上升的点 D一系列下降的点解析：选C1且xN，故图像是一系列上升的点3某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成()A511个 B512个C1 023个 D1 024个解析：选B由题意知，经过x次分裂后，这种细菌分裂成y2x(个)，易知分裂9次，即x9时，y29512(个)4某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是()A增加7.84% B减少7.84%C减少9.5% D不增不减解析：选B设原来价格为a，依题意四年后的价格为a(120%)2(120%)2a(10.04)2，aa(10.04)2a1(10.04)2a(110.080.001 6)a7.84%.二、填空题5已知函数yax(a0，a1，xN)在1,3上的最大值为8，则a的值是_解析：由题意知a1，且a38，解得a2.答案：26比较下列数值的大小：(1)()3_()5；(2)2_4.解析：由正整数指数函数的单调性知，()3()5，24.答案：(1)(2)7预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是PnP0(1K)n(K为常数)，其中Pn 为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，K为预测期内的年增长率，若1K0，则在这期间人口数_(填呈上升趋势或是下降趋势)解析：PnP0(1K)n是指数型函数，1K0，01K1，由yax(0a1)是N上的减函数可知，人口呈下降趋势答案：呈下降趋势8一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质的质量约是原来的，则经过_年，剩留的物质是原来的.解析：设物质最初的质量为1，则经过x年，yx.依题意得x，解得x3.答案：3三、解答题9已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(5)；(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因解：设正整数指数函数为f(x)ax(a0且a1，xN)函数f(x)的图像经过点(3,27)，f(3)27，即a327.a3.(1)函数f(x)的解析式为f(x)3x(xN)(2)f(5)35243.(3)正整数指数函数f(x)3x(xN)在正整数集N上是增加的，故函数无最大值，有最小值为f(1)3.10某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研