高中数学第一单元常用逻辑用语1.1.2量词课件新人教B版选修1_1.ppt

第一章 1 1命题与量词 1 1 2量词 1 通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义 熟悉常见的全称量词和存在量词 2 了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义 并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一全称量词与全称命题 观察下列命题 每一个三角形都有内切圆 所有实数都有算术平方根 对一切有理数x 5x 2还是有理数 以上三个命题中分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 答案 命题 分别使用量词 每一个 所有 一切 命题 是真命题 命题 是假命题 三个命题中的 每一个 所有 一切 都有全部 所有的意义 要求命题对某个集合的所有元素都成立 而负实数没有算术平方根 故命题 为假命题 梳理 1 全称量词 x M p x 2 判断全称命题真假性的方法 对于全称命题 x M p x 要判断它为真 需要对集合M中的每个元素x 证明p x 成立 要判断它为假 只需在M中找到一个x x0 使p x0 不成立即可 知识点二存在量词与存在性命题 思考 观察下列命题 有些矩形是正方形 存在实数x 使x 5 至少有一个实数x 使x2 2x 2 0 以上三个命题分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 答案 命题 分别使用了量词 有些 存在 至少有一个 命题 是真命题 命题 是假命题 三个命题中的 有些 存在 至少有一个 等词都是对某个集合内的个别元素而言 要说明这些命题是真命题 只要举出一个例子即可 所以命题 是真命题 而任意实数x x2 2x 2都大于0 所以命题 为假命题 梳理 1 存在量词 x M q x 2 判断存在性命题真假性的方法 要判断一个存在性命题是真命题 只要在限定集合M中 至少能找到一个x x0 使q x0 成立即可 否则 这一存在性命题是假命题 题型探究 例1判断下列语句是全称命题 还是存在性命题 1 凸多边形的外角和等于360 解答 类型一全称命题与存在性命题的识别 可以改写为 所有的凸多边形的外角和都等于360 是全称命题 2 有些实数a b能使 a b a b 解答 含有存在量词 有些 故是存在性命题 含有全称量词 任意 故是全称命题 4 有一个函数 既是奇函数 又是偶函数 含有存在量词 有一个 是存在性命题 解答 解答 1 判断语句是否为命题 若不是命题 就当然不是全称命题或存在性命题 2 若是命题 再分析命题中所含的量词 含有全称量词的命题是全称命题 含有存在量词的命题是存在性命题 3 当命题中不含量词时 要注意理解命题含义的实质 反思与感悟 跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题 并用符号 或 表示下列命题 1 自然数的平方大于或等于零 是全称命题 表示为 x N x2 0 解答 2 对每一个无理数x x2也是无理数 是全称命题 x x x是无理数 x2是无理数 解答 3 有的函数既是奇函数又是增函数 是存在性命题 f x 函数 f x 既是奇函数又是增函数 解答 解答 类型二全称命题与存在性命题的真假的判断 解答 例2判断下列命题的真假 1 在平面直角坐标系中 任意有序实数对 x y 都对应一点P 真命题 解答 2 存在一个函数 既是偶函数又是奇函数 真命题 如函数f x 0 既是偶函数又是奇函数 解答 3 每一条线段的长度都能用正有理数来表示 解答 4 存在一个实数x 使得等式x2 x 8 0成立 假命题 方程x2 x 8 0的判别式 31 0 故方程无实数解 解答 5 x R x2 3x 2 0 假命题 只有x 2或x 1时 等式x2 3x 2 0才成立 解答 6 x R x2 3x 2 0 真命题 x 2或x 1 都使得等式x2 3x 2 0成立 反思与感悟 要判定全称命题 x M p x 是真命题 需要对集合M中每个元素x 证明p x 都成立 如果在集合M中找到一个元素x0 使得p x0 不成立 那么这个全称命题就是假命题 要判定存在性命题 x M q x 是真命题 只需在集合M中找到一个元素x0 使q x0 成立即可 如果在集合M中 使q x 成立的元素x不存在 那么这个存在性命题就是假命题 跟踪训练2有下列四个命题 x R 2x2 3x 4 0 x 1 1 0 2x 1 0 x N x2 x x N x为29的约数 其中真命题的个数为A 1B 2C 3D 4 答案 解析 中 当x 1时 2x 1 0 故 不正确 中 当x 0或1时 x2 x 故 正确 中 29 N 29为29的约数 正确 所以真命题的个数为3 类型三全称命题与存在性命题的应用 例3已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 并说明理由 解答 方法一不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x R恒成立 只需m 4即可 故存在实数m使不等式m f x 0对于任意x R恒成立 此时需m 4 方法二要使不等式m f x 0对 x R恒成立 即x2 2x 5 m 0对 x R恒成立 所以 2 2 4 5 m 4 所以当m 4时 m f x 0对于任意x R恒成立 解答 2 若至少存在一个实数x 使不等式m f x 0成立 求实数m的取值范围 方法一不等式m f x 0 可化为m f x 若至少存在一个实数x使不等式m f x 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 所以f x min 4 所以m 4 所以实数m的取值范围是 4 方法二若至少存在一个实数x 使m f x 0成立 即x2 2x 5 m0即可 解得m 4 所以实数m的取值范围是 4 反思与感悟 1 一般地 对任意的实数x a f x 恒成立 只需a f x max 若存在一个实数x 使a f x 成立 只需a f x min 2 有关一元二次不等式ax2 bx c 0 0 恒成立的问题 一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解 二是分离参数法求解 前者主要运用 b2 4ac的符号 转化为解不等式或不等式组 后者常常转化为求函数的最大 小 值 跟踪训练3 1 已知关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 求实数a的取值范围 解析 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 2a 1 2 4 a2 2 0 即4a 7 0 2 令p x ax2 2x 1 0 若对 x R p x 是真命题 求实数a的取值范围 解析 对 x R p x 是真命题 对 x R ax2 2x 1 0恒成立 当a 0时 不等式为2x 1 0不恒成立 当堂训练 D选项是存在性命题 1 下列命题中 不是全称命题的是A 任何一个实数乘以0都等于0B 自然数都是正整数C 每一个向量都有大小D 一定存在没有最大值的二次函数 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 下列命题是真命题的是A a b是ac2 bc2的充要条件B a 1 b 1是ab 1的充分条件C x R 2x x2D x R ex 0 答案 解析 5 选项A 当c 0时 a b ac2 bc2 A不正确 选项B a 1 b 1 ab 1 B正确 选项C 当x 2时 2x x2 C不正确 选项D 对 x R ex 0 D不正确 故选B 1 2 3 4 5 3 下列存在性命题是假命题的是A 存在x Q 使2x x3 0B 存在x R 使x2 x 1 0C 有的素数是偶数D 有的有理数没有倒数 答案 解析 1 2 3 4 5 1 答案 解析 1 2 3 4 5 5 用量词符号 表述下列命题 并判断真假 1 所有的实数x都能使x2 x 1 0成立 x R x2 x 1 0 真命题 2 对所有实数a b 方程ax b 0恰有一个解 a b R ax b 0恰有一解 假命题 解析 解析 1 2 3 4 5 3 一定有整数x y 使得3x 2y 10成立 x y Z 3x 2y 10 真命题 解析 解