排列组合与概率初步ppt.ppt

11级15班雷寅 排列组合与概率初步 引入 两个基本原理 分类计数原理 亦称加法原理 做一件事 完成它可以有n类方案 在第一类方案中有m1种不同的方法 在第二类方案中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1十m2十 十mn种不同的方法 那么从A地到B地的方法有a b c种 分步计数原理 亦称乘法原理 做一件事 需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法 那么从A地到B地的方法有a b种 从A地到B地须经由C地转车 有何区别 o 备选方案中选哪一种方案都行 方案中的每一种方法都能实现目的 任何一步的一种方法都不能完成此任务 必须且只须连续完成这n步才能完成此任务 各步计数相互独立 只要有一步中所采取的方法不同 则对应的完成此事的方法也不同 Example 书架上层放有6本不同的数学书 下层放有5本不同的语文书 1 从中任取一本 取法种数有 A 5B 6C 10D 112 从中任取数学书与语文书各一本 有多少的取法 A 5B 6C 10D 30 排列组合 排列 所谓排列 就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中 任取m m n 个元素按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号A n m 表示 A n m n n 1 n 2 n m 1 n n m 此外规定0 1 Example 有0 1 2 8这9个数字用这9个数字组成4位位数互不相同的密码 共有多少个不同的密码 A 9 4 9 5 Example 有0 1 2 8这9个数字用这9个数字组成位数互不相同的四位数 共有多少个不同的密码 8 A 8 3 A 9 4 A 8 3 组合 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素 不考虑排序从n个不同元素中 任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号C n m 表示 C n m A n m m n n m m C n m C n n m Example 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会 则不同的选法有多少种 C 4 2 C 3 2 二项式定理 a b n C n 0 a nb 0 C n 1 a n 1 b 1 C n n a 0b n 二项式定理 a b n的二项展开式共有n 1项 其中各项的系数C n r r 0 1 2 n 叫做二项式系数 二项式定理 二项展开式的通项公式 简称通项 为C n r a n r b r 用Tr 1表示 其中 r 1 为角标 即通项为展开式的第r 1项 二项式定理与杨辉三角 杨辉三角的第n行就是n项二项式展开式的系数列 Example x 2 10 x 2 1 的展开式中x 10的系数为 2 2 C 10 2 1 179 排列组合综合例题 打包法 插空法 反面法 打包法 在解决某几个元素要求相邻问题时 可整体考虑将相邻元素视为一个大元素 Example 有8个不同的球 其中红球3个 黑球2个 白球3个 若将这些球排成一列 则红球恰好排在一起 黑球也恰好排在一起的排法共有多少种 A 3 3 A 2 2 A 5 5 2020 3 18 27 可编辑 Example 若有A B C D E五个人排成一排照相 A和B不能相邻 则不同的排法有多少种 C 3 1 A 2 2 A 3 3 A 3 2 A 2 2 A 2 2 A 3 3 A 2 2 插空法 插空法一般用于解决间隔问题 要求某些元素不能相邻 由其他元素将其隔开的问题 解决此类问题 可以先将其他的元素排号 再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置 Example 若有A B C D E五个人排成一排照相 A和B不能相邻 则不同的排法有多少种 A 3 3 A 4 2 反面法 含 至多 至少 的排列组合问题是需要分类的 有时从反面思考 能够简化运算 Example 在一批共100件产品中 有3件次品 97件正品 某次质检过程中须从这批产品中抽检3件 则抽到次品的抽法有多少种 C 100 3 A 97 3 组合中的分组问题 非平均分组与分配平均分组与分配部分平均分组与分配 非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 1 若将9位评委老师分成三组进行打分 使一组2人 一组3人 一组4人的不同分法共有多少种 C 9 2 C 7 3 C 4 4 非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 2 若将9位评委老师分到赛场周围的东 南 西三个位置进行打分 使一处2人 一处3人 一处4人的不同分法有多少种 C 9 2 C 7 3 C 4 4 A 3 3 非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 3 若将9位评委老师分到赛场周围的东 南 西三个位置进行打分 使东边2人 南边3人 西边4人的不同分法有多少种 C 9 2 C 7 3 C 4 4 非平均分组与分配 总结 若n个元素分成m组 m1 m2 mm为各组的元素个数且各不相等 则非平均非组的方法种数N C n m1 C n m1 m2 C n m1 m2 m3 C mm mm 不定向分配的分法种数M N A m m 定向的非平均分配问题与非平均分组一样 平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 1 若将9位评委老师平均分成三组打分 则不同分法有多少种 C 9 3 C 6 3 C 3 3 A 3 3 平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 2 若将9位评委老师平均分成三组 并分到东 西 南三个位置打分 则不同分法有多少种 C 9 3 C 6 3 C 3 3 平均分组与分配 总结 1 问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题 而实际中不含排列问题 故要除以组数的全排列数 而第二问则直接得出了答案 也可以理解为 2 问的答案为 1 问的答案乘以组数的全排列数 部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 1 若将9位评委老师平均分成四组打分 一组3人 其余每组2人 则不同分法有多少种 C 9 3 C 6 2 C 4 2 C 2 2 A 3 3 部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 2 若将9位评委老师分到东 南 西 北四处打分 一处3人 其余每处2人 则不同分法有多少种 C 9 3 C 6 2 C 4 2 C 2 2 A 3 3 A 4 4 部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师 3 若将9位评委老师分到四处打分 使东边3人 其余每处2人 则不同分法有多少种 C 9 3 C 6 2 C 4 2 C 2 2 部分平均分组与分配 总结 部分平均分组问题先按 非平均分组 列式后再除以等分组的阶乘 部分均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则 概 率 相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 则称两个事件A B相互独立 二项分布 用 表示随机试验的结果如果事件发生的概率是P 则不发生的概率q 1 p N次独立重复实验中发生K次的概率是P K C n k p k 1 p n k Example 随机抛掷100次硬币 恰有50次正面朝上的概率是多少 C 100 50 1 2 50 1 1 2 50 几何分布 几何分布 Geometricdistributi