数学人教版七年级下册三元一次方程组.docx

*8.4三元一次方程组的解法掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.培养学生类比学习、敢于创新的精神.【重点】三元一次方程组的解法.【难点】三元一次方程组的解法的选择.【教师准备】教材例1、例2演示过程图片.【学生准备】总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.导入一:小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗?设计意图不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.导入二:某学校的篮球数比排球数的2倍少3个,足球数与排球数的比是23,三种球共41个,那么这三种球各有多少个?这里三种球的个数都是未知的,可设篮球有x个,排球有y个,足球有z个,根据等量关系,可列方程组x=2y- 3,2y=3z,x+y+z=41.前面学习了二元一次方程组的解法,如何把这个方程组转化成二元一次方程组,进而求解呢?设计意图通过生活情境,帮助学生感知三元一次方程组的存在.同时引导性地提出了解三元一次方程组的方法.一、三元一次方程组的定义过渡语(针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢?师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢?生:(思考后回答)x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.问题1怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?(把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.问题2观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同?(方程组中含有三个未知数.)设计意图通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.问题3什么是三元一次方程组?含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.知识拓展本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a0这个条件.二、三元一次方程组的解法(1)思路提示:我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?(2)消元过程:让我们看前面列出的三元一次方程组:x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.仿照前面学过的代入法,我们可以把分别代入,得到两个只含y,z的方程:4y+y+z=12.4y+2y+5x=22.它们组成方程组:5y+z=12,6y+5z=22.得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.(3)思路总结:从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.设计意图主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.三、解方程组解三元一次方程组:3x+4z=7,2x+3y+z=9,5x- 9y+7z=8.解析方程只含x,z,因此,可以由消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程组成一个二元一次方程组.解:3+,得11x+10z=35.与组成方程组3x+4z=7,11x+10z=35.解这个方程组,得x=5,z=- 2.把x=5,z=- 2代入,得25+3y- 2=9,所以y=13.因此,这个三元一次方程组的解为x=5,y=13,z=- 2.知识拓展解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.追问:你还有其他解法吗?设计意图单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.过渡语学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.解析把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.解:根据题意,得三元一次方程组:a- b+c=0,4a+2b+c=3,25a+5b+c=60.- ,得a+b=1.- ,得4a+b=10.与组成二元一次方程组a+b=1,4a+b=10.解这个方程组,得a=3,b=- 2.把a=3b=- 2代入,得c=- 5.因此a=3,b=- 2,c=- 5.即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.知识拓展(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.用消元法解三元一次方程组的步骤:利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组;解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.1.以x=3,y=1,z=- 1为解建立一个三元一次方程,不正确的是()A.3x- 4y+2z=3B.13x- y+z=- 1C.x+y- z=- 2D.x2- 23y- z=156解析:将x=3,y=1,z=- 1分别代入四个选项,只有C选项的方程两边不相等.故选C.2.若方程x+y+m=4,x- y- 2m=- 1和x- 2m+2y=2有公共解,则x+y+m的值为.解析:根据题意得x+y+m=4,x- y- 2m=- 1,x- 2m+2y=2.解得x=2,y=1,m=1.x+y+m=4.故填4.3.如图所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与个砝码C的质量相等.解析:此题可以分别设砝码A,B,C的质量是x,y,z.然后根据两个天平平衡列方程组,消去y,得到x和z之间的关系即可.设砝码A,B,C的质量是x,y,z.根据题意,得x=y+z,x+y=3z.+,得2x=4z,x=2z.即1个砝码A与2个砝码C的质量相等.故填2.4.解方程组3x+2y+z=13,x+y+2z=7,2x+3y- z=12.解:+,得5x+5y=25.+2,得5x+7y=31.与组成方程组5x+