广东省汕头市潮阳区高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市潮阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xr，ex”的否定是（）axr，exxbxr，exxcxr，exxdxr，exx2（5分）若向量=（1，2），=（x，1）满足，则|=（）abcd53（5分）设函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为t，最大值为a，则（）at=2，a=2bt=2，a=ct=，a=2dt=，a=4（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的体积为（）a2bcd5（5分）某校2015届高三年级100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100，这100名学生数学成绩在70，100分数段内的人数为（）a60b55c50d456（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）a若mn，m，则nb若，则c若m，n，则mnd若m，n，则mn7（5分）如图，在rtabc中，ab=4，ac=3，cab=90，以点b为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在ac边上，且这个椭圆过a、c两点，则椭圆的离心率为（）abcd8（5分）若直角坐标平面内的两不同点p、q满足条件：p、q都在函数y=f（x）的图象上；p、q关于原点对称，则称点对p，q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对p，q与q，p看作同一对“友好点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对a0b1c2d3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）不等式|x3|2x|0的解集为10（5分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1l2，则实数a的值是11（5分）设x、yr且满足，则z=x2y的最大值等于12（5分）已知正方体a1b1c1d1abcd的内切球的体积为，则这个正方体的外接球的表面积为13（5分）已知双曲线=1的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为14（5分）设直线3x+4y5=0与圆c1：x2+y2=4交于a，b两点，若圆c2的圆心在线段ab上，且圆c2与圆c1相切，切点在圆c1的劣弧上，则圆c2的半径的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，（）求cosb的值；（）若a=3，b=2，求c的值16（12分）已知命题p：对x1，2，不等式x2k恒成立，命题q：关于x的方程x2x+k=0有实数根，如果命题“p”为假，命题“pq”为假，求k的取值范围17（14分）已知圆c经过点a（0，3）和b（3，2），且圆心c在直线y=x上（） 求圆c的方程；（）若直线y=2x+m被圆c所截得的弦长为4，求实数m的值18（14分）如图，在四棱锥pabcd，pa平面abcd，pa=ab=bc=ad，四边形abcd是直角梯形中，abc=bad=90（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角apdc的余弦值19（14分）等比数列cn满足的前n项和为sn，且an=log2cn（i）求an，sn；（ii）数列的前n项和，是否存在正整数m，（m1），使得t1，tm，t6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由20（14分）已知椭圆c的焦点为f1（1，0）、f2（1，0），点p（1，）在椭圆上（1）求椭圆c的方程；（2）若抛物线e：y2=2px（p0）与椭圆c相交于点m、n，当omn（o是坐标原点）的面积取得最大值时，求p的值（3）在（2）的条件下，过点f2作任意直线l与抛物线e相交于点a、b两点，则直线af1与直线bf1的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由广东省汕头市潮阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“xr，ex”的否定是（）axr，exxbxr，exxcxr，exxdxr，exx考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xr，ex”的否定是：xr，exx故选：d点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）若向量=（1，2），=（x，1）满足，则|=（）abcd5考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：根据，得=0，求出x的值，计算|即可解答：解：向量=（1，2），=（x，1）满足，=0，即1x+21=0；解得x=2，=（2，1）；|=故选：c点评：本题考查了平面向量的数量积以及平面向量的坐标运算、向量垂直的应用问题，是基础题目3（5分）设函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为t，最大值为a，则（）at=2，a=2bt=2，a=ct=，a=2dt=，a=考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值分析：由和差角的公式化简可得y=2sin（2x+），易得周期和最大值解答：解：化简可得y=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2（cossin2x+sincos2x）=2sin（2x+），周期t=，最大值a=2，故选：c点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期和最值，属基础题4（5分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60的扇形，则该几何体的体积为（）a2bcd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为60，求出圆柱的体积乘以可得答案解答：解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60，几何体的体积v=223=2，故选：a点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量5（5分）某校2015届高三年级100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100，这100名学生数学成绩在70，100分数段内的人数为（）a60b55c50d45考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据频率分布直方图，利用频率和为1，求出a的值，再计算数学成绩在70，100分数段内的频率与频数解答：解：根据频率分布直方图，得；数学成绩在90，100分数段内的频率为10a，由频率和等于1，得（2a+0.02+0.03+0.04）10=1，解得a=0.005；数学成绩在70，100分数段内的频率为1（0.005+0.04）10=0.55，对应的人数为1000.55=55故选：b点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的关系，是基础题目6（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）a若mn，m，则nb若，则c若m，n，则mnd若m，n，则mn考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，结合线面、面面垂直或平行的有关性质、判定定理，依次对选项进行判断，可得答案解答：解：根据题意，分析选项可得：a、平行于同一条直线的直线和平面，不一定平行，它们也可能是直线就在此平面内，故错；b、垂直于同一个平面的两个平面相交或平行，即与可能相交，错误；c、平行于同一个平面的两条直线，不一定平行，它们也可能是相交或异面，故错；d、若m，n，则mn符合线面垂直的性质，正确；故选d点评：本题考查空间的线线、线面、面面的关系，注意解题与常见的空间几何体相联系，尽可能的举出反例7（5分）如图，在rtabc中，ab=4，ac=3，cab=90，以点b为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在ac边上，且这个椭圆过a、c两点，则椭圆的离心率为（）abcd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过记另一个焦点为d，易得abd也是直角三角形，利用勾股定理及椭圆定义可得a=3、c=，进而可得结论解答：解：如图，记另一个焦点为d，则abd也是直角三角形ab=4，ac=3，cab=90，bc=5，由椭圆定义可知：ab+ad=cb+cd=（ab+bc+ca）=6，椭圆的长轴长2a=6，a=3，设椭圆的焦距为2c，即bd=2c，由椭圆定义可知：ad=2aab=64=2，又ad=，2=，解得c=，离心率e=，故选：a点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题8（5分）若直角坐标平面内的两不同点p、q满足条件：p、q都在函数y=f（x）的图象上；p、q关于原点对称，则称点对p，q是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对p，q与q，p看作同一对“友好点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对a0b1c2d3考点：函数的图象；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：根据题意可知只须作出函数（x0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=x24x（x0）交点个数即可解答：解：由题意得：函数f（x）=“友好点对”的对数，等于函数（x0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=x24x（x0）交点个数在同一坐标系中做出函数（x0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=x24x（x0）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点故选b点评：本题考查的知识点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9（5分）不等式|x3|2x|0的解集为3，1考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由不等式可得 ，或，或分别求得、的解集，再取并集，即得所求解答：解：由不等式可得 ，或，或解求得3x0，解求得0x1，解求得x综上可得，不等式的解集为3，1，故答案为：3，1点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化及分类讨论的数学思想，属于中档题10（5分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1l2，则实数a的值是3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：根据l1l2，列出方程a（a+1）23=0，求出a的值，讨论a是否满足l1l2即可解答：解：l1l2，a（a+1）23=0，即a2+a6=0，解得a=3，或a=2；当a=3时，l1为：3x+3y+1=0，l2为：2x2y+1=0，满足l1l2；当a=2时，l1为：2x+3y+1=0，l2为：2x+3y+1=0，l1与l2重合；所以，实数a的值是3故答案为：3点评：本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目11（5分）设x、yr且满足，则z=x2y的最大值等于1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，再将z=x2y变形为：y=xz，显然，直线过a（1，1）时，z最大，代入求出即可解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x2y得：y=xz，显然，直线过a（1，1）时，z最大，z最大值=1，故答案为：1点评：本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题12（5分）已知正方体a1b1c1d1abcd的内切球的体积为，则这个正方体的外接球的表面积为12考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，求出直径，即可求正方体的边长，外接球的直径就是正方体的体对角线的长，求出正方体的对角线长，可求球的表面积：解答：解：正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以r3=，球的直径为：2，即正方体的边长为：2，外接球的直径就是正方体的体对角线的长，正方体的对角线长为：2，球的表面积：4=12故答案为：12点评：本题考查球的内接体，多面体的外接球，球的表面积、体积知识，考查计算能力，是基础题13（5分）已知双曲线=1的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线y2=8x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，得到b的值，可得到双曲线的渐近线的方程解答：解：抛物线y2=8x的焦点为（2， 0），曲线的焦点坐标为：（2，0），（2，0）；故双曲线中的c=2，且满足=2，故a=1，b=，所以双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查14（5分）设直线3x+4y5=0与圆c1：x2+y2=4交于a，b两点，若圆c2的圆心在线段ab上，且圆c2与圆c1相切，切点在圆c1的劣弧上，则圆c2的半径的最大值是1考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：综合题；压轴题；数形结合分析：先根据圆c1的方程找出圆心坐标与半径r的值，找出圆c2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心q为线段ab的中点时，圆c2与圆c1相切，切点在圆c1的劣弧上，设切点为p，此时圆c2的半径r的最大求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出q的横坐标，把q的横坐标代入直线方程即可求出q的纵坐标，得到q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离oq等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆c2的半径最大值解答：解：由圆c1：x2+y2=4，可得圆心o（0，0），半径r=2如图，当圆c2的圆心q为线段ab的中点时，圆c2与圆c1相切，切点在圆c1的劣弧上，设切点为p，此时圆c2的半径r的最大联立直线与圆的方程得，消去y得到25x230x39=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=，所以线段ab的中点q的横坐标为，把x=代入直线方程中解得y=，所以q（，），则两圆心之间的距离oq=d=1，因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=rd=21=1故答案为：1点评：此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤15（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，（）求cosb的值；（）若a=3，b=2，求c的值考点：余弦定理；二倍角的余弦 专题：计算题；三角函数的求值分析：（i）根据，结合cosb=12sin2，可求cosb的值；（ii由余弦定理可得c的值解答：解：（i），sin=cosb=12sin2=；（ii）a=3，b=2，cosb=由余弦定理可得8=9+c22cc22c+1=0c=1点评：本题考查二倍角公式，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16（12分）已知命题p：对x1，2，不等式x2k恒成立，命题q：关于x的方程x2x+k=0有实数根，如果命题“p”为假，命题“pq”为假，求k的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：首先，判断出p，q的真假，求解所给命题都是真命题时，k的取值情况，然后，结合条件求解即可解答：解：因为命题“p”为假，所以命题p是真命题，又因为命题“pq”为假，所以命题q是假命题，要使对任意x1，2，不等式x2k恒成立，只需k（x2）min=1，所以命题p是真命题的条件是：k1关于x的方程x2x+k=0有实数根，则只需=14k0，即k命题q是真命题的条件是：k，所以命题q是假命题的条件是k综上所述，使命题“p”为假，命题“pq”为假的条件是k的取值范围为 点评：本题重点考查了不等式恒成立问题、命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题17（14分）已知圆c经过点a（0，3）和b（3，2），且圆心c在直线y=x上（） 求圆c的方程；（）若直线y=2x+m被圆c所截得的弦长为4，求实数m的值考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：（）设圆c的圆心坐标为c（a，a），再由圆c经过a（0，3）、b（3，2）两点，可得|ca|2=|cb|2，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆c的方程（）通过圆心距、半径、半弦长满足的勾股定理，即可求实数m的值解答：解：（）由于圆心在直线y=x上，故可设圆c的圆心坐标为c（a，a） 再由圆c经过a（0，3）、b（3，2）两点，可得|ca|=|cb|，|ca|2=|cb|2，（a0）2+（a3）2=（a3）2+（a2）2解得 a=1，故圆心c（1，1），半径r=，故圆c的方程为 （x1）2+（y1）2=5，（）圆心c（1，1），半径r=，圆心到直线y=2x+m的距离为：=直线被圆c所截得的弦长为4，所以半弦长为：2；所以（）2=22+（）2，所以实数m的值为1点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题18（14分）如图，在四棱锥pabcd，pa平面abcd，pa=ab=bc=ad，四边形abcd是直角梯形中，abc=bad=90（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角apdc的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间角分析：（1）过c作ceab，交ad于e，由已知条件利用勾股定理求出cdac，由此能证明cd平面pac（2）由已知条件求出ce平面pad，过e作efpd于f，连结cf，得到ghc是二面角apdc的平面角，同此能求出二面角apdc的余弦值解答：（1）证明：pa平面abcd，cdpa（1分）又ab=bc，abc=90，ac=，（2分）过c作ceab，交ad于e，则ce=ab=bc=de，ced=90，（3分）cd=，（4分）在acd中，ac2+cd2=4ab2=ad2，cdac（5分）又paac=a，cd平面pac（6分）（2）解：cead，cepa，ce平面pad（7分）过e作efpd于f，连结cf，得cfpd（8分）ghc是二面角apdc的平面角（9分）设ad=2，则pa=ab=ce=de=1，dp=paddef，ef=（11分）cf=，（12分）cos二面角apdc的余弦值为（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）等比数列cn满足的前n项和为sn，且an=log2cn（i）求an，sn；（ii）数列的前n项和，是否存在正整数m，（m1），使得t1，tm，t6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）由已知结合等比数列的性质可求q=，然后利用已知递推公式，令n=1可求c1，从而可求cn，进而可求an，由等差数列的求和公式可求sn（）由（）知，利用裂项求和可求tn，然后假设存在正整数m（m1）满足题意，则由等比数列的 性质可建立关于m的方程，求解即可解答：解：（）c1+c2=10，c2+c3=40，所以公比q=4（2分）由c2+c1=c1+4c1=10得c1=2所以（4分）所以（5分）由等差数列的求和公式可得，（6分）（）由（）知于是（8分）假设存在正整数m（m1），使得t1，tm，t6m成等比数列，则，（10分）整理得4m27m2=0，解得或 m=2由mn*，m1，得m=2，因此，存在正整数m=2，使得t1，tm，t6m成等比数列 （12分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的求解，等差数列的求和公式及数列的裂项求和方法的应用20（14分）已知椭圆c的焦点为f1（1，0）、f2（1，0），点p（1，）在椭