（教师用书）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何.doc

第七章立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图考情展望1.以三视图为命题背景，考查空间几何体的结构特征.2.利用空间几何体的展开，考查空间想象能力.3.以选择题、填空题的形式考查一、多面体的结构特征1棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形2棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形3棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形侧棱垂直于底面，侧面是矩形(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反之，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、空间几何体的三视图1三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图2三视图的画法在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图四、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是1原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为1.45或135，z轴与x轴和y轴所在平面垂直2原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：s直观图s原图形，s原图形2s直观图1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()a棱柱的侧棱长都相等b棱锥的侧棱长都相等c三棱台的上、下底面是相似三角形d有的棱台的侧棱长都相等【答案】b2如图711，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()图711abcd【答案】c3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图712所示的一个正方形，则原来的图形是() 图712【答案】a4若某几何体的三视图如图713所示，则这个几何体的直观图可以是()图713【答案】b5(2013四川高考)一个几何体的三视图如图714所示，则该几何体的直观图可以是()图714【答案】d6(2013湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()a.b1c. d.【答案】d考向一 111空间几何体的结构特征下列结论中正确的是()a各个面都是三角形的几何体是三棱锥b以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥d圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】d规律方法11.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可2圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系3既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略考向二 112几何体的三视图(1)(2014湖北高考)在如图715所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()a和b和c和d和(2)(2014课标全国卷)如图716，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()a三棱锥b三棱柱c四棱锥d四棱柱(3)(2014北京高考)某三棱锥的三视图如图717所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 图717【答案】(1)d(2)b(3)2规律方法21.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据对点训练(1)如图718是一几何体的直观图、正视图和俯视图在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()图718abcd(2)(2014江西高考)一几何体的直观图如图719，下列给出的四个俯视图中正确的是()图719【答案】(1)b(2)b考向三 113空间几何体的直观图如图7110所示，四边形abcd是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形abcd是一直角梯形，abcd，adcd，且bc与y轴平行，若ab6，dc4，ad2，求这个平面图形的实际面积图7110【尝试解答】根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且ab6，cd4保持不变由于cbad2.所以cb4.故平面图形的实际面积为(64)420.规律方法3由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可对点训练(1)已知正abc的边长为a，则abc水平放置的直观图abc的面积为 图7111(2)如图7111所示，正方形oabc的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()a6b8c23d22【答案】(1)a2(2)b易错易误之十二画三视图忽视边界线及其实虚1个示范例(2012陕西高考)将正方体(如图7112(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7112(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()图7112【解析】还原正方体后，将d1，d，a三点分别向正方体右侧面作垂线d1a的射影为c1b，且为实线，b1c被遮挡应为虚线此处易出现两种错误：是忽视b1c也是边界而误选d；是虽然注意了b1c也是边界线，但忽视了其不可视而误选c.【防范措施】(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚1个防错练一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图7113所示，则其俯视图为()正(主)视图侧(左)视图图7113a bc d【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选c.【答案】c课时限时检测(三十八)空间几何体的结构、三视图和直观图(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1(2013四川高考)一个几何体的三视图7114图如图7114所示，则该几何体可以是()a棱柱 b棱台c圆柱d圆台【答案】d2下列命题中正确的个数是()由五个面围成的多面体只能是四棱锥；用一个平面去截棱锥便可得到棱台；仅有一组对面平行的五面体是棱台；有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥a0个b1个c2个d3个【答案】a3给出下列三个命题：相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥其中正确的命题有()a1个 b2个 c3个 d0个【答案】d4已知某一几何体的正视图与侧视图如图7115所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()图7115a b c d【答案】a5将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7116所示，则该几何体的侧视图为()图7116【答案】d6一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7117所示)，abc45，abad1，dcbc，则这个平面图形的面积为()图7117a.b2c. d.【答案】b二、填空题(每小题5分，共15分)7如图7118所示正三棱柱abca1b1c1的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为 图7118【答案】88如图7119是水平放置的abc(ad为bc边上的中线)的直观图，试按此图判定原abc中的四条线段ab，bc，ac，ad，其中最长的线段是 ，最短的线段是 图7119【答案】acbc9已知一几何体的三视图如图7120所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) 图7120矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)如图7121所示，abc是abc的直观图，且abc是边长为a的正三角形，求abc的面积图7121【解】如图所示，abc是边长为a的正三角形，作cdab交y轴于点d，则c，d到x轴的距离为a.dab45，ada，由斜二测画法的法则知，在abc中，ababa，ab边上的高是ad的二倍，即为a，sabcaaa2.11(12分)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，从两个角度观察得到的图形如图，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是多少？图7122【解】搭成该几何体最少需要小正方体6块，按如图所示摆放12(13分)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)图7123(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；【解】(1)如图(2)所求多面体的体积，vv长方体v正三棱锥4462(cm3)第二节空间几何体的表面积与体积考情展望1.与三视图相结合考查柱、锥、台、球的体积和表面积.2.以选择题与填空题形式考查一、旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2rl2r(lr)圆锥(底面半径r，母线长l)rlr(lr)圆台(上、下底面半径r，母线长l)(r1r2)l(r1r2)l(rr)球(半径为r)4r2二、空间几何体的体积(h为高，s为下底面积，s为上底面积)1v柱体sh.2v锥体sh.3v台体h(ss)4v球r3(球半径是r)求几何体体积的两种重要方法1割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决2等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值1正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()a48(3)b48(32)c24()d144【答案】a2若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图721所示，则其侧面积等于() 图721a.b2c2d6【答案】d3圆柱的一个底面积为s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()a4sb2scsd.s【答案】a4母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是，则该圆锥的体积为()a. b. c. d.【答案】c5(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图722所示，则此几何体的表面积是()图722a90 cm2b129 cm2 c132 cm2d138 cm2【答案】d6(2013辽宁高考)某几何体的三视图如图723所示，则该几何体的体积是 图723【答案】1616考向一 114空间几何体的表面积(1)(2014重庆高考)某几何体的三视图如图724所示，则该几何体的表面积为()图724a54 b60 c66 d72(2)(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 【答案】(1)b(2)12规律方法11.解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，弄清几何体的组成2在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理3以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系对点训练(2013重庆高考)某几何体的三视图如图725所示，则该几何体的表面积为()图725a180b200c220d240【答案】d考向二 115空间几何体的体积(1)(2013课标全国卷)某几何体的三视图如图726所示，则该几何体的体积为()图726a168b88c1616d816 (2)(2012山东高考)如图727，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1edf的体积为 图727【答案】(1)a(2)规律方法21.解答本题(2)的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”对点训练(1)(2014辽宁高考)某几何体三视图如图728所示，则该几何体的体积为()图728a82b8c8d8(2)(2014山东高考)三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，则 .【答案】(1)b(2)考向三 116球与多面体已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 【答案】规律方法31.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题对点训练(2013课标全国卷)如图729，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()a. cm3b. cm3c. cm3 d. cm3【答案】a思想方法之十七补形法破译体积问题某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略补形法常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题1个示范例已知某几何体的三视图如图7210所示，则该几何体的体积为()图7210a.b3c.d6【解析】由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以v1243.1个对点练已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa平面abcd，四边形abcd是边长为2的正方形若pa2，则oab的面积为 【解析】如图所示，线段pc就是球的直径，设球的半径为r，因为abbc2，所以ac2.又pa2，所以pc2pa2ac2242448，所以pc4，所以oaob2，所以aob是正三角形，所以s223.【答案】3课时限时检测(三十九)空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1如图7211，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为()图7211a.b.c.d.【答案】b2长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为()a.b56c14d64【答案】c3下图7212是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是()图7212a203b243c204d244【答案】a4如图7213所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为()图7213a. b.c. d.【答案】a5点a、b、c、d在同一球面上，其中abc是正三角形，ad平面abc，ad2ab6，则该球的体积为()a32 b48 c64d16【答案】a6(2013湖北高考)一个几何体的三视图如图7214所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为v1，v2，v3，v4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()图7214av1v2v4v3bv1v3v2v4cv2v1v3v4dv2v3v1v4【答案】c二、填空题(每小题5分，共15分)7一个几何体的三视图如图7215所示，则该几何体的表面积为 图7215【答案】388(2013福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图7216所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 图7216【答案】129圆锥的全面积为15 cm2，侧面展开图的圆心角为60，则该圆锥的体积为 cm3.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积【解】在底面正六边形abcdef中，连接be、ad交于o，连接be1，则be2oe2de，be，在rtbee1中，be12，2r2，则r，球的体积v球r34，球的表面积s球4r212.11(12分)如图7217，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)图7217(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积【解】(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱b1c1qa1d1p的组合体由pa1pd1，a1d1ad2，可得pa1pd1.故所求几何体的表面积s522222()2(224)(cm2)，所求几何体的体积v23()2210(cm3)12(13分)如图7218，已知平行四边形abcd中，bc2，bdcd，四边形adef为正方形，平面adef平面abcd，g，h分别是df，be的中点记cdx，v(x)表示四棱锥fabcd的体积图7218(1)求v(x)的表达式；(2)求v(x)的最大值【解】(1)平面adef平面abcd，交线为ad且faad，fa平面abcd.bdcd，bc2，cdx，fa2，bd(0x2)，sabcdcdbdx，v(x)sabcdfax(0x2)(2)v(x)x.0x2，0x24，当x22，即x时，v(x)取得最大值，且v(x)max.第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考情展望1.本节以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内al，bl，且a，bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线p，且pl，且pl三个公理的应用1公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内2公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法3公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线二、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abaaal独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a三、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.1下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合a0b1c2d3【答案】c2已知a、b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()a一定是异面直线b一定是相交直线c不可能是平行直线d不可能是相交直线【答案】c3若直线l不平行于平面，且l，则()a内的所有直线与l异面b内不存在与l平行的直线c内存在唯一的直线与l平行d内的直线与l都相交【答案】b4l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()al1l2，l2l3l1l3bl1l2，l2l3l1l3cl1l2l3l1，l2，l3共面dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【答案】b5(2013课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()a且lb且lc与相交，且交线垂直于ld与相交，且交线平行于l【答案】d6如图731，在正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是棱cd、cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 图731【答案】90考向一 117平面的基本性质及应用如图732，空间四边形abcd中，e、f分别是ab、ad的中点，g、h分别在bc、cd上，且bggcdhhc12.图732(1)求证：e、f、g、h四点共面；(2)设eg与fh交于点p.求证：p、a、c三点共线【尝试解答】(1)e、f分别为ab、ad的中点，efbd.在bcd中，ghbd.efgh.e、f、g、h四点共面(2)egfhp，peg，eg平面abc，p共面abc.同理p平面adc.p为平面abc与平面adc的公共点又平面abc平面adcac，pac，p、a、c三点共线规律方法1证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合(3)反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论. 对点训练如图733，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab和aa1的中点，求证：图733(1)e，c，d1，f四点共面；(2)ce，d1f，da三线共点【证明】(1)如图，连结cd1，ef，a1b，e，f分别是ab和aa1的中点，efa1b且efa1b.又a1d1綊bc，四边形a1bcd1是平行四边形a1bcd1，efcd1，ef与cd1确定一个平面，设为平面.e，f，c，d1，即e，c，d1，f四点共面(2)由(1)知，efcd1，且efcd1，四边形cd1fe是梯形ce与d1f必相交，设交点为p，如图所示，则pce平面abcd，且pd1f平面a1add1，p平面abcd且p平面a1add1.又平面abcd平面a1add1ad，pad，ce，d1f，da三线共点考向二 118空间两条直线的位置关系(1)如图734，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行(2)在图735中，g、n、m、h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有 (填上所有正确答案的序号)图735【答案】(1)d(2)规律方法21.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面2对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直3画出图形进行判断，可化抽象为直观对点训练如图736所示，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别为棱c1d1、c1c的中点，有以下四个结论：图736直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线mn与ac所成的角为60.其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论序号都填上)【答案】考向三 119异面直线所成的角(1)(2015宁波模拟)在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为a1b1，bb1的中点，则异面直线am与cn所成角的余弦值为()a.b.c.d.【答案】d(2)(2015镇江模拟)已知三棱锥abcd中，abcd，且直线ab与cd成60角，点m，n分别是bc，ad的中点，求直线ab和mn所成的角【尝试解答】如图，取ac的中点p.连结pm，pn，又点m，n分别是bc，ad的中点，则pmab，且pmab，pncd，且pncd，所以mpn为ab与cd所成的角(或其补角)则mpn60或mpn120，若mpn60，因为pmab，所以pmn是ab与mn所成的角(或其补角)又因为abcd，所以pmpn，则pmn是等边三角形，所以pmn60，即ab和mn所成的角为60.若mpn120，则易知pmn是等腰三角形所以pmn30，即ab和mn所成的角为30.综上，直线ab和mn所成的角为60或30.规律方法31.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解3异面直线所成的角范围是.对点训练直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于()a30b45c60d90【答案】c思想方法之十八构造模型判断空间线面位置关系由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断减少了抽象性与空间想象，构造时注意其灵活性1个示范例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是()abcd【解析】借助于长方体模型来解决本题对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn.【答案】a1个对点练 (2014广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()al1l4bl1l4cl1与l4既不垂直也不平行dl1与l4的位置关系不确定【答案】d课时限时检测(四十)空间点、直线、平面之间的位置关系(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a、b、c、d共面，点a、b、c、e共面，则点a、b、c、d、e共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()a0b1c2d3【答案】b2已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()a与a，b都相交b只能与a，b中的一条相交c至少与a，b中的一条相交d与a，b都平行【答案】c3如图737所示，abcda1b1c1d1是长方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确的是() 图737aa，m，o三点共线ba，m，o，a1不共面ca，m，c，o不共面db，b1，o，m共面【答案】a4如图738，正方体abcda1b1c1d1，棱长为1，黑白二蚁都从点a出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”白蚁爬行的路线是aa1a1d1，黑蚁爬行的路线是abbb1，它们都遵循如下规则：所爬行的第i2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中in*)设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是() 图738a1 b. c.d0【答案】b5如图739，正三棱柱abca1b1c1的各棱长(包括底面边长)都是2，e，f分别是ab，a1c1的中点，则ef与侧棱c1c所成的角的余弦值是() 图739a. b.c.d2【答案】b6设a，b，c，d是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()a若ac与bd共面，则ad与bc共面b若ac与bd是异面直线，则ad与bc是异面直线c若abac，dbdc，则adbcd若abac，dbdc，则adbc【答案】c二、填空题(每小题5分，共15分)7下列命题中，不正确的是 没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它不可能和另一条直线平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面【答案】8如图7310所示，在正三棱柱abca1b1c1中，d是ac的中点，aa1ab1，则异面直线ab1与bd所成的角为 图7310【答案】609如图7311是正四面体的平面展开图，g、h、m、n分别为de、be、ef、ec的中点，图7311在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)如图7312所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为cc1，aa1的中点，画出平面bed1f与平面abcd的交线图7312【解】在平面aa1d1d内，延长d1f，d1f与da不平行，d1f与da必相交于一点，设为p，则pd1f，pda.又d1f平面bed1f，ad平面abcd，p平面bed1f，p平面abcd.又b为平面abcd与平面bed1f的公共点，连接pb，pb即为平面bed1f与平面abcd的交线如图所示11(12分)如图7313所示，等腰直角三角形abc中，bac90，bc，daac，daab，若da1，且e为da的中点，求异面直线be与cd所成角的余弦值图7313【解】取ac中点f，连ef，bf，则efdc，bef即为异面直线be与cd所成的角(或其补角)da1，bc，abac.dc，ef.在bef中，bebf ，由余弦定理得cosbef，异面直线be与cd所成角的余弦值为.12(13分)已知正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为d1c1、c1b1的中点，acbdp，a1c1efq.求证：(1)d、b、f、e四点共面；(2)若a1c交平面dbfe于r点，则p、q、r三点共线【证明】(1)如图所示，因为ef是d1b1c1的中位线，所以efb1d1.在正方体ac1中，b1d1bd，所以efbd.所以ef，bd确定一个平面，即d、b、f、e四点共面(2)在正方体ac1中，设平面a1acc1确定的平面为，又设平面bdef为.因为qa1c1，所以q.又qef，所以q.则q是与的公共点，同理，p点也是与的公共点所以pq.又a1cr，所以ra1c，r且r.则rpq，故p、q、r三点共线第四节直线、平面平行的判定及其性质考情展望1.以多面体为载体，考查空间线面平行、面面平行的判定与性质.2.以解答题的形式考查线面的平行关系.3.考查空间中平行关系的探索性问题一、直线与平面平行判定定理性质定理图形条件la，l，aa，a，b结论lab(1)证线面平行若a，ab，b，则b.若a，a，则a.(2)线面平行的性质若a，a，b，则ab若a，a，则.二、面面平行的判定与性质判定性质图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a结论aba1若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()a内的所有直线都与直线a异面b内可能存在与a平行的直线c内的直线都与a相交d直线a与平面没有公共点【答案】b2空间中，下列命题正确的是()a若a，ba，则bb若a，b，a，b，则c若，b，则bd若，a，则a【答案】d3在正方体abcda1b1c1d1中，e是dd1的中点，则bd1与平面ace的位置关系是 【答案】平行4如图741，正方体abcda1b1c1d1中，ab2，点e为ad的中点，点f在cd上若ef平面ab1c，则线段ef的长度等于 图741【答案】考向一 120直线与平面平行的判定与性质如图742，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直于底面，abbc，aa1ac2，bc1，e，f分别是a1c1，bc的中点图742(1)求证：c1f平面abe；(2)求三棱锥eabc的体积【尝试解答】(1)证明：取ab的中点g，连接eg，fg. 因为e，f分别是a1c1，bc的中点，所以fgac，且fgac.因为aca1c1，且aca1c1，所以fgec1，且fgec1，所以四边形fgec1为平行四边形所以c1feg.又因为eg平面abe，c1f平面abe，所以c1f平面abe.(2)