人教A版必修2 1.3.2　球的体积和表面积 学案.DOC

1.3.2球的体积和表面积学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知1球的体积设球的半径为r，则球的体积vr3.2球的表面积设球的半径为r，则球的表面积s4r2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍 基础自测1思考辨析(1)球的体积之比等于半径比的平方()(2)长方体既有外接球又有内切球()(3)球面展开一定是平面的圆面()(4)球的三视图都是圆()提示(1)体积比应为半径比的立方(2)长方体不一定有内切球(3)球面展不成平面(4)2若球的过球心的圆面的周长是c，则这个球的表面积是()a bc d2c2c由2rc，得r，所以s球面4r2.3若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()a2倍 b4倍 c8倍 d16倍c设气球原来的半径为r，体积为v，则vr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为(2r)38r3.4一个球的外切正方体的表面积为6 cm2，则此球的体积为()a cm3b cm3c cm3d cm3c设球的直径为2r cm，则正方体的棱长为2r cm，所以64r26，解得r，所以球的体积为(cm3)合 作 探 究攻 重 难球的表面积与体积(1)已知球的表面积为64，求它的体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积 【导学号：07742066】解(1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：vr3.(2)设球的半径为r，由已知得r3，所以r5，所以球的表面积为：s4r2452100.规律方法求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)关键：把握住球的表面积公式s球4r2，球的体积公式v球r3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.跟踪训练1过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48 cm2，则球的表面积为_cm2.256易知截面为一圆面，如图所示，圆o是球的过已知半径的大圆，ab是截面圆的直径，作oc垂直ab于点c，连接oa.由截面面积为48 cm2，可得ac4 cm.设oar，则ocr，所以r2(4)2，解得r8 cm.故球的表面积s4r2256(cm2)2一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是 ()a cm3b cm3c cm3d cm3c根据球的截面的性质，得球的半径r5(cm)，所以v球r3(cm3)球的表面积及体积的应用一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决解设pab所在平面为轴截面，ab为水平面，设球未取出时，水面高pch，球取出后水面高phx，如图所示acr，pc3r，以ab为底面直径的圆锥的容积为v圆锥ac2pc(r)23r3r3，v球r3.球取出后水面下降到ef，水的体积为v水eh2ph(phtan 30)2phx3.而v水v圆锥v球，即x33r3r3，xr.故球取出后水面的高为r.规律方法1画出截面图是解答本题的关键2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算跟踪训练2圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为v球23，此体积即等于它们在容器中排出水的体积v52h，所以52h，所以h(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.与球有关的切、接问题探究问题1若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径r与三条棱长有何关系？提示2r.2棱长为a的正方体的外接球，其半径r与棱长a有何数量关系？其内切球呢？提示外接球半径ra；内接球半径ra.3若一球与正方体的12条棱相切，则球半径r与棱长a有何数量关系？提示ra.(1)平面截球o的球面所得圆的半径为1，球心o到平面的距离为，则此球的体积为()【导学号：07742068】ab4c4d6(2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球o的球面上，则球o的表面积为_思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径r，进而求出其体积(2)先求出球半径，再求球的表面积(1)b(2)14(1)画出截面图，如图：r.其体积vr34.故选b.(2)球的直径是长方体的体对角线，2r，s4r214.母题探究：1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积解正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2r，所以r，所以v球()34.2若把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为r的球面上”，求球的表面积解把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意2rxa，所以ra，所以s球4r2a2.3若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a”，求球的表面积和体积解以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2ra，ra，所以s球4r26a2，v球r3a3.规律方法球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.(2)几个常用结论球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用v棱锥s底hs表r，求球的半径r.当 堂 达 标固 双 基1直径为6的球的表面积和体积分别是()a144，144b144，36c36，144d36，36d半径r3.所以s表4r236，vr32736.故选d.2正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为() 【导学号：07742069】a27bc36da设正方体的棱长为a，则s6a254，a3.其外接球半径为ra.外接球表面积为s4r2427.3表面积为q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切，则这个多面体的体积为()a.qbq c.qd2qc4r264r4，vqrq，故选c.4两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_. 【导学号：07742070】设大球的半径为r，则有r3213，r32，所以r.5圆柱、圆锥的底面半径和