第三章 1.3可线性化的回归分析.doc

1.3可线性化的回归分析学习目标1进一步体会回归分析的基本思想2通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度知识链接1有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型2如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程预习导引1非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型2非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数yaxbcln a vln x uln yucbvyaebxcln a uln yucbxyaecln a v uln yucbvyab ln xvln x uyuabv要点一线性回归分析例1某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954(1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b9.4，求线性回归方程yabx；(2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额解(1)3.5，42，ab 429.43.59.1回归直线方程为y9.19.4x.(2)当x4时，y9.19.4446.7，故广告费用为6万元时销售额为46.7万元跟踪演练1为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：年份200620072008200920102011x/24.429.632.928.730.328.9y/日19611018(1)对变量x，y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天解制表.i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi1961101829.13，y2563，7.5，x5 130.92，xiyi1 222.6(1)r0.949 8.由|r|0.75，可知变量y和x存在很强的线性相关关系(2)b2.3，ab74.5.所以，线性回归方程为y74.52.3x.当x27时，y74.52.32712.4.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日要点二可线性化的回归分析例2在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g1518212427303336化学物质的反应速度y(gmin1)6830277020565350解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数yc1ec2x的周围，其中c1和c2是待定的参数令zln y，则zln yln c1c2x，即变换后的样本点应该分布在直线zabx(aln c1，bc2)的周围由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图(如图)由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合由z与x的数据表，可得线性回归方程：z0.8480.81x，所以y与x之间的非线性回归方程为ye0.8480.81x.规律方法可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合跟踪演练2电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式UAebt(b0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055试求：电压U对时间t的回归方程(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解对UAebt两边取对数得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，则yabx，得y与x的数据如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得5，3.045，进而可以求得b0.313，ab4.61，所以y对x的线性回归方程为y4.610.313x.由yln U，得Uey，Ue4.610.313xe4.16e0.313x，因此电压U对时间t的回归方程为Ue4.61e0.313x.要点三非线性回归模型的综合应用例3某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程解根据题干表中数据画出散点图如图所示由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线yc1ec2x的周围，于是令zln y.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z0.6930.020x，则有ye0.6930.020x.规律方法根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系跟踪演练3对两个变量x，y取得4组数据(1，1)，(2，1.2)，(3，1.3)，(4，1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y0.1x1，乙y0.05x20.35x0.7，丙y0.80.5x1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际解甲模型，当x1时，y1.1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.4.乙模型，当x1时，y1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.3.丙模型，当x1时，y1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.35.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.1在一次试验中，当变量x的取值分别为1，时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与的回归方程为()Ay1 By3Cy2x1 Dyx1答案A解析由数据可得，四个点都在曲线y1上2某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：广告费24568销售额3040605070则广告费与销售额间的相关系数为()A0.819 B0.919 C0.923 D0.95答案B3根据统计资料，我国能源生产发展迅速下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1996200120062011产量12.916.119.322.3根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种()Ayaxb(a0) Byax2bxc(a0)Cyax(a0且a1) Dylogax(a0且a1)答案A4某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是_.x/万元24568y/万元3040605070答案(6，50)一、基础达标1下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y0.7x0.35，那么表中t的值是()x3456y2.5t44.5A.4.5 B4 C3 D3.15答案C2下列数据x，y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y2x By2exCy2e Dy2ln x答案D解析取x1，2，10分别代入各解析式判断3指数曲线yaebx的图像为()答案B解析yaebx，a0时y0，排除A、C，且xR，排除D，选B.4为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：广告费用x/千元1.04.06.010.014.0销售额y/千元19.044.040.052.053.0在同一坐标系中画散点图，直线L：y242.5x，曲线C：y，如图所示更能表现这组数据之间的关系的是()A直线L B曲线CC直线L和曲线C都一样 D无法确定答案B5已知线性回归方程的斜率的估计值是0.5，样本点的中心为(4.5，5)，则线性回归方程是_答案y2.750.5x解析在回归方程中，已知b0.5，则ab2.75.6对于回归方程y2574.75x，当x28时，y的估计值是_答案390解析当x28时，y2574.7528390，y的估计值为390.7某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数读数结果如下.尿汞含量(xi)246810消光系数(yi)64138205285360(1)画出对应数据的散点图；(2)求线性回归方程；(3)根据(2)的结果，估计当xi为12 mg/L时的消光系数yi.解(1)(2)y11.336.95x.(3)当xi12时代入y11.336.95x，得yi432.二、能力提升8观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A B C D答案B解析在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用9下表是某厂14月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x1234用水量y4.5432.5由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y0.7xa，则a_答案5.25解析2.5，3.5，b0.7，a3.50.72.55.25.10已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r0，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第_象限答案二、四解析r0时b0，大多数点落在第二、四象限11在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程解根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y，令t，则ykt，原数据变为t4210.50.25y1612521由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系列表如下：序号tiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062 517.753694.2521.312 54301.55，7.2.b4.134 4.ab0.8.y0.84.134t.y与x的回归方程是y0.8.12某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.气温/2618131041杯数202434385064画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系解画出散点图如图所示(2618131041)11.7，(202434385064)38.3，xiyi26201824133410384501641 910，x26218213210242(1)21 286，y20224234238250264210 172，由r可得r0.97.由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系三、探究与创新13某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生体重是否正常？