高三立体几何一轮复习修改教案.doc

第九模块 立体几何3平面基本性质与空间两直线的位置关系一、空间点与线，点与面，线与线，线与面，面与面位置关系二、平面基本性质定理及推论性质一：若直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内符号表示：性质二：经过不在同一直线上的三点有唯一一个平面推论1：直线和直线外一点确定唯一平面推论2：平行直线确定唯一平面推论3：相交直线确定唯一平面性质三：两个不重合的平面有一个公共点，那么有唯一一条通过公共点的公共交线该性质符号表示:nmO三、异面直线所成的角1、求异面直线a与b所成角的方法aOb在空间中任取一点O，过O作a与b的平行线，则2、线线角的范围线线角的范围 异面直线所成角的范围四、平行：空间中平行于同一条直线的两条直线平行典例一、 三线共点问题解题思路：先证明其中两条直线共点，再证明该点在第三条直线上例空间四边形ABCD中，E，F,G分别在AB，BC，CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2:1，CG：GD=AH：HD=3:1，过E，F,G的平面交AD于H求证：EH，FG，BD三线共点CFGHDBEA练习：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条直线也经过这一点二、三点共线解题思路：证明这三个点是两个平面的公共点例如图，在在四面体ABCD中作截面PQR，PQ，CB的延长线交于M。RQ，DB的延长线交于N.RP,DC的延长线交于K。求证：M，N，K三点共线ARPQMNBDCK三、三线共面问题证空间中三条平行线共面四、求异面直线所成角问题注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角正方体中，E，F分别是中点，则直线AE和BF所成角的余弦值补形法例：在直三棱柱中，点分别是中点，BC=CA=，则所成角的余弦值A、 B、 C、 D、练习：在四面体ABCD中，E,F分别是AC，BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于A、 B、 C、 D、正方体中，E，F分别是正方形和ABCD的中心，G是的中点，设GF，与AB所成的角分别为五、作空间两个已知平面的交线如图所示，在棱长为a的正方体中，M，N分别是上中点，过D，M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l,画出直线l设，求线段的长DABCNEPM综合练习：1、 在空间中，下列命题正确的是A、对边相等的四边形一定是平面图形 B、四边相等的四边形一定是平面图形C、有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D、有一组对角相等的四边形一定是平面图形2、下列说法一定正确的是三角形一定是平面图形若四边形的两条对角线相交于一点，则四边形一定是平面图形圆心和圆上两点可以确定一个平面 三条平行线最多可以确定三个平面3、下列命题正确的有若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R则P，Q，R共线若三条直线a,b,c互相平行，且分别交直线l于A，B，C三点，则这四直线共面空间中不共线的五个点最多可以确定10个平面平面相交，在内各取两点，所取的四个点都不在交线上，这四个点能确定多少个平面4空间平行关系一、 空间平行关系转化图及相关定理 线线平行线线平行线面平行面面平行 面面平行判定定理推论面面平行性质定理平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行线面平行的判定定理：1、文字语言：平面外直线与平面内直线平行则线面平行2、图形语言：ml3、符号语言：先面平行的性质定理1、 文字语言：线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则线面平行2、 图形语言l3、 符号语言：面面平行性质定理1、 文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、 图形语言ml3、符号语言：面面平行的性质定理:1、 文字语言：面面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行2、 图形语言：m3、 符号语言：面面平行判定定理的推论1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行2、图形语言ml3、符号语言：面面平行性质定理1、 文字语言：如果两个平行平面和第三个平面相交，则交线平行2、 图形语言：ml3、符号语言注：应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形判断一个四边形是平面图形的方法补充结论：1、平行于同一平面的两个平面平行2、垂直于同一平面的两条直线平行3、垂直于同一直线的两个平面平行典例：一、线面平行的判定与性质线面平行判定线面平行，面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题，线面平行的判定方法平行关系转画图向量法线面平行定义:直线与平面没有公共点其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键，常见的线线平行的判断方法有平行关系转画图三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质利用平行线分线段成比例定理推论找平行线平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例ABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推得DEBCABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推知DEBC注该定理常和合分比定理结合向量法（后面讲）垂直于同一平面的两条直线平行例如图所示：已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM|面EFGNGENACMB设计说明：可以通过面面平行证线面平行例已知正方体ABCD-，棱长为a,E,F分别在，BD上，且求证：EF|平面练习：已知有公共边的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ求证：PQ|平面CBE线面平行的性质例1、如图四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC中点，在DM上取一点G，过G和AM做平面交平面BDM于GH，求证:AP|GHCDMHGBPA利用线线平行证明线面平行，再利用线面平行证线线平行利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分的性质找中点，连中位线 ，创造线线平行条件例2、直三棱柱中，M为AC中点求证：222CBA设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。直棱柱的结构特征 正棱柱的结构特征正棱锥结构特征正棱锥的判定：底面是正三角形，侧棱长都相等的棱锥是正棱锥练习：如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点求证：MN|面CDEF求多面体ACDEF的体积MNCBFAED222答案：例3、如图在三棱锥ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时截面面积最大？CAHGFEBD分析：由已知可证EF|CD，EG|AB设FG=x,FE=y,AB=a,CD=b，显然为定值FG|ABEF|CD由合分比定理截面EFGH的面积时截面面积最大二、 面面平行的判定与性质面面平行关系的判定面面平行判定方法平行关系转画图向量法（后面讲）垂直于同一直线的两个平面平行面面平行的定义：两个平面没有公共点例三棱柱ABC-，D是BC上一点，且|平面，是中点，求证：平面|平面练习：B为所在平面外一点，M，N，G分别是，的重心求证:平面MNG|平面ABC面面平行的性质例1如图所示正方体ABCD-的棱长都是a,M,N分别是下底面棱的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于P，Q，Q在CD上，则PQ=DCBAPNMQ答案：例2如图直线AC，DF被三个平行平面所截是否一定有AD|BE|CF若，试判断的大小解当AC与DF共面时由面面平行性质定理结论成立，但当AC与DF不共面时结论不成立当AC与DF共面时现在讨论AC与DF不共面时的情况FCEBDA法一:如图，过A作|DF，交于，交于以下略也可以从B或C处引平行线法二:连AF练习：已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN|平面综合练习：1、下列说法正确的是A、 直线l平行于平面内无数条直线，则l|B、 若直线a在外，则a|C、 若直线，则a|D、 若直线a|b, ,那么直线a平行于面内无数条直线2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线位置关系A、异面 B、相交 C、平行 D、不能确定答案:C3、a,b,c为三条不重合直线，为三个不重合平面，现给出六个命题 其中正确的是A、 B、 C、 D、答案:B4、若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是A、面内所有直线与a异面B、面内不存在与a平行的直线C、面内直线与a都相交D、直线a与有公共点答案：D5、平面的一个充要条件是A、 存在一条直线a,B、 存在一条直线a,C、 存在两条平行线a,b,D、 存在两条异面直线a,b,答案：D6、若平面，直线，点，则在平面内，与过B点的所有直线中A、 不一定存在与a平行的直线B、 只有两条与a平行的直线C、 存在无数条与a平行的直线D、 存在唯一一条与a平行的直线答案：A7、对于平面和共面的直线m,n下列命题中是真命题的是A、 若B、 若C、 若D、 若m,n与所成的角相等，则m|n答案：C8、a,b是两条不重合的直线，给出以下四个命题1) 若a|b,2)3) 若4) 若其中真命题的个数是A、0 B、1 C、2 D、3答案：A9、考查下列三个命题，在（）内补全条件 答案：都是5空间垂直关系一、 空间垂直关系转化图及相关定理线线垂直线面垂直面面垂直线面垂直的判定定理1、 文字语言：如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，则线面垂直2、 图形语言：nmOl3、 符号语言：线面垂直定义1、 文字语言：线面垂直，直线与平面内所有直线垂直2、 图形语言：nm3、 符号语言：面面垂直的判定定理1、 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直2、 图形语言：l3、 符号语言：面面垂直性质定理：1、 文字语言：面面垂直，在一个平面內作交线的垂线垂直于另一个平面2、 图形语言：ml3、符号语言：补充性质：1、 线面垂直性质定理：两条平行线中有一条平行线与一个平面垂直，则另一条直线与这个平面也垂直2、 两个平行平面中有一个平面与一条直线垂直，则另一个平面与这条直线也垂直3、三垂线定理与逆定理mBOA如图所示AO为面的垂线，O为垂足；AB为面的斜线，B为斜足；BO为斜线AB在面内的射影线面垂直，在一个平面内与斜线垂直的直线与这条直线在这个平面上的射影垂直线面垂直，在一个平面内与射影垂直的直线与这条射影对应的斜线垂直三垂线定理推论：若平面的两条斜线相等，则这两条斜线对应的射影也相等，反之也对例点P是等腰所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，在中，AB=AC=5，BC=6，则点P到BC的距离答案：典型例题一、线面垂直的判定与性质线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。线线垂直的判定方法空间线面垂直证线线垂直利用三垂线定理向量法利用勾股定理算垂直线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图向量法例1如图所示，AB圆O的直径，C为圆O上一点，于E，于F，求证：CFEOBAP本题通过线线垂直证明线面垂直，在找线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质练习：如图已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若求证：DCQNMBAP提示：取PD中点Q，证AQ与面PCD垂直，从而利用“线面垂直的性质定理”证MN与面PCD垂直例2、直三棱柱中，M为AC中点求证：222CBA设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点练习：如图所示，直三棱柱ABC-中，M，N是，AB的中点，求证:求证：求证：平面NMCBA练习：如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=，D为AC的中点求证:若求证：在的条件下，设AB=1，求三棱锥B-的体积例3：在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，G是的重心，则在平面PAD中经过点G且和直线PM垂直的直线有 条答案：无数条分析：本题利用线线垂直的方法证明PMPAD。在寻找线线垂直条件时采用算垂直的方法二、面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法例1如图，为正三角形，BD|CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：DE=DA平面BDM平面ECA平面DEA面ECACEABDM取AC中点N,证明DN|BN再证BN面ECA，利用线面垂直的性质定理知DM面ECA最后利用线面垂直证面面垂直例2已知中，BC=CD=1，E，F分别是AC，AD上动点，且求证：不论为何值时，总有平面BEF面ABC当为何值时，平面BEF面ACDCBFEAD第二问是存在性问题当BEF面ACD时由一问可知又BEF面ACD，利用射影定理求AE从而求设计说明：本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP面ABCD求证：DP面EPC问在EP上是否存在F，使平面AFD面BFCQCDPBAE问题利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件时采用“算垂直”的方法2、如图所示在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD若G为AD的中点，求证：求证：若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面，并证明你的结论分析：问题是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论3、 如图所示，在四棱柱ABCD-中，已知DC=2AD=2AB，ADDC，AB|DC求证:设E是DC上一点，试确定E的位置，使，并说明理由CBAD二、 折叠问题例如图，四边形ABCD中，AC|BC，AD=AB，将沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD面BCDCDBFEPEDCBA求证：平面在折叠前的正方形ABCD中，做AE于E，过E作于F，求在折起后的图形中的正切值设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件综合练习：1、a,b是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是A、 B、C、 D、答案：C2、已知是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D3、已知是两个不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D4、已知平面，和直线m 当满足条件 时，有当满足条件 时，有答案：5、设l,m,n均为直线，其中其中m,n在平面内，则“”是“”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件答案：A6、PA垂直正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是面PAB面PBC 面PAB面PAD 面PAB面PCD 面PAB面PACA、 B、 C、 D、答案：A7、已知平面，点，直线AB|l,直线，直线，则下面四种位置关系不一定成立的是A、AB|m B、 C、 D、AC答案：D8、已知是两个不同平面，m,n是两条不同直线，则下列命题正确的是A、 B、C、 D、答案：D9、如图在正四棱柱ABCD-中，E，F分别是的中点，则下列结论不成立的是A、EF与垂直B、EF与BD垂直C、EF与CD异面D、EF与异面答案：D10、已知，是三个两两不同平面，a,b是两条不同直线，则下列命题正确的是 答案：6空间直角坐标系及空间向量一、 空间直角坐标系1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为x轴，手掌向里的方向为y轴，大拇指的方向为z轴，三轴的公共点为z轴2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x轴，y轴把平面分成四个象限，在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限yzx注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好二、 空间直角坐标系上点的坐标：求一个点的坐标就是找该点在x轴，y轴，z轴上的坐标分量已知正方体棱长为2，如图所示以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系yzxPMKHGLJOIDCFENBA师生活动：利用图形求空间点的坐标并归纳1、 在轴上点的坐标：P（x,0,0）P（0,y,0）p（0,0，z）2、 在坐标平面上点的坐标，P（x,y,0）,P（0,y,z）,P（x,0,z）3、已知,则AB中点4、与P（x,y,z）关于定点A（a,b,c）对称点的5、关于坐标平面对称点的坐标与P（x,y,z）关于xoy平面对称点的坐标与P（x,y,z）关于xoz平面对称点的坐标6、若P点在xoy面的射影为L点，则P点与A点的x,y轴分量相同，P点z轴分量为P点到面xoy的距离例：如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP的正方向为坐标轴建系，若E，F分别为PA，PB中点求：A，B，C，D，E，F坐标NMDCBAOE设计说明：本题用对称性求点的坐标很方便，例只需求出点B坐标，A，C，D的坐标可用对称性求出来三、 空间向量的坐标运算注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式与平面向量完全相同空间向量的坐标运算公式若则若已知，加减法:数乘：内积：模其它一些常用公式设直线a的方向向量为，直线b的方向向量为四、 直线的方向向量与平面的法向量注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量下面介绍平面法向量的求法例：已知：已知，求设由于x每给一个值，就各有一个与之对应的y值和z值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量即可令x=1,y=-1,z=17空间向量的应用一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系，分别为直线l,m的方向向量;分别为平面的法向量线线平行：1、 文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行师生活动：在这里强调但反之不对,当时，这是不可以的这样写正确：2、 图形语言：ml3、符号语言：线面平行：1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行2、 图形语言：l3、 符号语言：面面平行：1、 文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行2、 图形语言：3、 符号语言：线线垂直：1、 文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂直2、 图形语言：ml3、 符号语言：线面垂直：1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直2、 图形语言：l3、 符号语言：面面垂直：1、 文字语言：如果两个平面的法向量垂直则面面垂直2、 图形语言：3、 符号语言：二、空间角空间角的范围1、线线角的范围2、异面直线所成角的范围3、线面角的范围4、斜线与平面所成的角范围5、二面角的范围6、向量夹角范围7、直线的倾斜角范围空间角的定义：1、 异面直线所成角的定义：略2、 斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成的角nml如图l为平面的垂线，m为平面的斜线，n为斜线m在平面上的射影注：求线面角关键找与斜线有交点的平面的垂线注：在用定义法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直性质定理），三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法例：已知正三棱柱ABC的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值练习：在长方体ABCD-中，AB=BC=2，则与平面所成角的正弦值正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为3、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线，这两条垂线所成的角就是这两个平面所成的二面角的平面角nml二面角的求法：）定义法：在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法利用定义计算二面角常常使用余弦定理。例1已知已知正四棱锥的体积是12，底面对角线长，则侧面与底面所成的二面角等于）平移交线法，截面法与截面法例2已知正三棱柱ABC-的底面边长是2，高为1，过顶点A做一平面，与侧面交于EF，且EF|BC，若平面与底面ABC所成二面角大小为x,四边形BCEF的面积为y,则函数y=f（x）的图象大致是： ABCDACACNBBGFFMMEE图2图1三、向量法求空间角向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补mlml综上：向量法求线面角：空间直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互余，或比向量角小ll综上：空间向量的方法求二面角，方法一：内积法如图所示，在两个平面内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量l例：已知直角中，AB=4，D为AB的中点，沿中线将折起使得AB=，则二面角A-CD-B的大小为BFDECBDFEAA对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件注：求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角，零角或平角二面角的性质可以直观观察得到四、空间向量方法求空间点到平面的距离BA典例一、向量法确定空间线线，线面，面面位置关系，求空间角及空间点到平面的距离注：应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标，在建系时最好建立右手系（在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标轴），在坐标平面上的点越多越好，关于原点或坐标平面对称的点越多越好在建系时会用到空间垂直关系相关定理（线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直的性质定理），线面角的定义，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空间点的坐标，但参数用得越少越好如轴上点的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数表示;已知线段两端点的坐标，只需一个参数就可以表示该线段上任意点坐标（利用向量共线条件）如下图CBA若已知A，B坐标设C（x,y,z）可求点C坐标注：为实参数例在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为，底面ABCD为直角梯形，PA=BC=求证：面PAC面PCD在棱PD上是否存在一点E，使CE|面PAB？若存在