第三节 空间向量在立体几何中的应用1.doc

第三节第三节 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所 在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 直线上取一点 分别作垂直于于则 分别作 垂足分别为 M N Q 连 PM PN PQ 由三垂线 定理可得 PN PM PQ AB 由于正方体中各个表面 对等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件 故选 D 2 2 20102010 辽宁理 辽宁理 12 12 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 62 B 1 2 2 C 62 62 D 0 2 2 答案 A 命题立意 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力 解析 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可知 AD 3 SD 2 1a 则有 2 1a 2 3 即 22 84 3 62 a 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的 距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D D 解析解析 本题考查了空间想象能力 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 三个圆柱面有无数个交点 三个圆柱面有无数个交点 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 8 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角 形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 答案 D D 解析解析 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E 连结 连结 SESE 过 过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F 连 连 BFBF 正三角形正三角形 ABCABC E E 为为 BCBC 中点 中点 BC AEBC AE SA BCSA BC BC BC 面面 SAESAE BC AFBC AF AF SEAF SE AF AF 面面 SBCSBC ABF ABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角 由正三角形边长所成角 由正三角形边长 3 3 3AE AS 3AS 3 SE SE 2 3 AF AF 3 2 A B C S E F A B C D A1 B1 C1 D1 O 3 sin 4 ABF 5 5 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 9 正方体ABCD 1111 ABC D中 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦 值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求 法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的 具体体现 解析 1 因为 BB1 DD1 所以 B 1 B与平面 AC 1 D所成角和 DD1与平面 AC 1 D所成角相等 设 DO 平面 AC 1 D 由等体积法得 11 D ACDDACD VV 即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 设 DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 记 DD1与平面 AC 1 D所成角为 则 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 解析 2 设上下底面的中心分别为 1 OO 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 6 6 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 7 7 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 7 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面AC 1 D所成角的余弦值 为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 8 8 20102010 四川文 四川文 12 半径为R的球O的直径AB垂直于平面a 垂足为B BCD 是平面a内边长为R的正三角形 线段AC AD分别与球面交于点M N 那么M N两点间 的球面距离是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 答案 A 解析 由已知 AB 2R BC R 故tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 连结OM 则 OAM为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理AN 4 5 5 R 且MN CD 而AC 5R CD R 故MN CD AN AC MN 4 5 R 连结OM ON 有OM ON R 于是cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以M N两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 江西理 江西理 16 如图 在三棱锥OABC 中 三条棱OA OB OC两两垂直 且OA OB OC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S的大小关系为 答案 321 SSS 解析 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长方体验证结论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 2 2 20102010 北京文 北京文 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的纵坐标与横坐标的函数关系是 yf x 则 f x的最小正周期为 yf x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 答案 4 1 说明 正方形 PABC 沿 x 轴滚动 包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动 沿 x 轴正方向 滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在 x 轴上时 再以顶点 B 为中心顺时针 旋转 如此继续 类似地 正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动 3 3 20102010 北京理 北京理 14 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的轨迹方程是 yf x 则 A B f x的最小正周期为 yf x 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域 的面积为 答案 4 1 说明 说明 正方形PABC沿 轴滚动 包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动 沿 轴正方 向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转 当顶点B落在 轴上时 再以顶点 B 为中心 顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形PABC可以沿 轴负方向滚动 4 4 20102010 四川文 四川文 15 如图 二面角l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 答案 3 4 解析 过点A作平面 的垂线 垂足为C 在 内过C作l的垂线 垂足为D 连结AD 有三垂线定理可知AD l 故 ADC为二面角l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结CB 则 ABC为AB与平面 所成的角 设AD 2 则AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 5 5 20102010 湖北文数 湖北文数 14 圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水 若放入三个相 同的珠 球的半么与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如 图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr 解 得 r 4 6 6 20102010 湖南理数 湖南理数 13 图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 3 cm的几何体的三视 图 则h cm A B C D 7 7 20102010 湖北理数 湖北理数 13 圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水 若放入三 个相同的球 球的半径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的 球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由3VVV 和和和 可得3 322 4 86 3 rrrr 解得 r 4 8 8 20102010 福建理数 福建理数 12 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积等于 答案 6 2 3 解析 由正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面积为3 2 16 所以其表面积为6 2 3 命题意图 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基 本能力 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 辽宁文 辽宁文 19 本小题满分 12 分 如图 棱柱 111 ABCABC 的侧面 11 BCC B是菱形 11 BCAB 证明 平面 1 ABC 平面 11 ABC 设D是 11 AC上的点 且 1 AB平面 1 BCD 求 11 AD DC的值 解 因为侧面 BCC1B1是菱形 所以 11 BCCB 又已知BBCBABACB 1111 且 所又 CB1平面 A1BC1 又 CB1平面 AB1C 所以平面 CAB1平面 A1BC1 设 BC1交 B1C 于点 E 连结 DE 则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线 因为 A1B 平面 B1CD 所以 A1B DE 又 E 是 BC1的中点 所以 D 为 A1C1的中点 即 A1D DC1 1 2 2 20102010 辽宁理 辽宁理 19 本小题满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 证明 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为 x y z 轴正向建立空间直角坐标系 如图 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 4 分 111 1 1 0 222 CMSN 因为 11 00 22 CMSN 所以 CM SN 6 分 1 1 0 2 NC 设 a x y z 为平面 CMN 的一个法向量 则 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 9 分 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45 12 分 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1 中 AC BC AA1 AB D 为 BB1的中点 E 为 AB1上的一点 AE 3 EB1 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45 求二面角 A1 AC1 B1的大小 解析解析 本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识 础知识 1 1 要证明 要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线 即证明的公垂线 即证明 DEDE 与它们都垂直 由与它们都垂直 由 AE 3EB1AE 3EB1 有 有 DEDE 与与 BA1BA1 平行 由平行 由 A1ABB1A1ABB1 为正方形 可证得 证明为正方形 可证得 证明 CDCD 与与 DEDE 垂直 取垂直 取 ABAB 中点中点 F F 连结 连结 DFDF FCFC 证明 证明 DEDE 与平面与平面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直 垂直 2 2 由条件将异面直线 由条件将异面直线 AB1AB1 CDCD 所成角找出即为所成角找出即为 FDCFDC 设出 设出 ABAB 连长 求出所有能求出连长 求出所有能求出 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 4 4 20102010 江西理 江西理 20 本小题满分 12 分 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面 BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求点 A 到平面 MBC 的距离 2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 解析 本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感 点到直线的距离 二 面角 空间向量 二面角平面角的判断有关知识 同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一 1 取CD中点O 连OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 所以 MO AB A B O M共面 延长AM BO相交于E 则 AEB就是 AM与平面BCD所成的角 OB MO 3 MO AB MO 面 ABC M O 到平面 ABC 的距离相等 作 OH BC 于 H 连 MH 则 MH BC 求得 OH OCsin600 3 2 MH 15 2 利用体积相等得 2 15 5 A MBCMABC VVd 2 CE是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O是BE的中点 则BCED是菱形 作BF EC于F 连AF 则AF EC AFB就是二面角A EC B的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 点评点评 传统方法在处理时要注意到辅助线的处理 一般采用射影 传统方法在处理时要注意到辅助线的处理 一般采用射影 垂线 平行线等特殊位置的元素解决垂线 平行线等特殊位置的元素解决 解法二 取CD中点O 连OB OM 则OB CD OM CD 又平面 MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 以O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直 y x M D C B O A z 角坐标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 设 nx y z 是平面 MBC 的法向量 则BC 1 3 0 0 3 3 BM 由nBC 得30 xy 由nBM 得330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 则距离 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面ACM的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面BCD的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 点评点评 向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算代替分析 起到简化的作用 但计建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算代替分析 起到简化的作用 但计 算必须慎之又慎算必须慎之又慎 5 5 20102010 重庆文 重庆文 20 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 如题 20 图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 PA 底面ABCD 2PAAB 点E是棱PB的中点 证明 AE 平面PBC 若1AD 求二面角BECD 的平面角的余弦值 z 6 6 20102010 浙江文 浙江文 20 本题满分 14 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 2BC ABC 120 E 为线段 AB 的中点 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE 使平面 A DE 平面 BCD F 为线段 A C 的中点 求证 BF 平面 A DE 设 M 为线段 DE 的中点 求直线 FM 与平 面 A DE 所成角的余弦值 7 7 20102010 重庆理 重庆理 19 本小题满分 12 分 I 小问 5 分 II 小问 7 分 如题 19 图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 底面 ABCD PA AB 6 点 E 是棱 PB 的中点 I 求直线 AD 与平面 PBC 的距离 II 若 AD 3 求二面角 A EC D 的平面角的余弦值 8 8 20102010 北京文 北京文 18 本小题共 14 分 设定函数 32 0 3 a f xxbxcxd a 且方程 90fxx 的两个根分别为 1 4 当 a 3 且曲线 yf x 过原点时 求 f x的解析式 若 f x在 无极值点 求 a 的取值范围 解 由 32 3 a f xxbxcxd 得 2 2fxaxbxc 因为 2 9290fxxaxbxcx 的两个根分别为 1 4 所以 290 168360 abc abc 当3a 时 又由 式得 260 8120 bc bc 解得3 12bc 又因为曲线 yf x 过原点 所以0d 故 32 312f xxxx 由于 a 0 所以 32 3 a f xxbxcxd 在 内无极值点 等价于 2 20fxaxbxc 在 内恒成立 由 式得295 4ba ca 又 2 2 49 1 9 bacaa 解 0 9 1 9 0 a aa 得 1 9a 即a的取值范围 1 9 9 9 20102010 北京理 北京理 16 本小题共 14 分 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂 直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 证明 I 设 AC 与 BD 交与点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF 平面 EG 因为EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 所以 22 1 22 CF 0 2 1 BE 2 0 1 DE 所以0 1 10CF BE A 1 0 10CF DE A 所以CFBE CFDE 所以CF BDE III 由 II 知 22 1 22 CF 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的法向量 nx y z 则0n BA A 0n BE A 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z A A 所以0 x 且2 zy 令1 y 则2z 所以 0 1 2 n 从而 3 cos 2 n CF n CF n CF A 因为二面角ABED 为锐角 所以二面角ABED 的大小为 6 10 10 20102010 广东文 广东文 18 本小题满分 14 分 如图 4 弧 AEC 是半径为a的半圆 AC 为直 径 点 E 为弧 AC 的中点 点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED FB a5 1 证明 EB FD 2 求点 B 到平面 FED 的距离 1 证明 点 E 为弧 AC 的中点 11 11 20102010 福建文 福建文 20 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E H 分别是棱 A1B1 D1C1上的点 点 E 与 B1不重合 且 EH A1D1 过 EH 的平面与棱 BB1 CC1相交 交点分别为 F G I 证明 AD 平面 EFGH II 设 AB 2AA1 2a 在长方体 ABCD A1B1C1D1内随机选取一点 记 该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p 当点 E F 分别在 棱 A1B1 B1B 上运动且满足 EF a 时 求 p 的最小值 12 12 20102010 湖南理 湖南理 13 13 20102010 江苏卷 江苏卷 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几 何体的体积 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 满分 14 分 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 从而 AB 2 BC 1 得ABC 的面积1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得PBC 的面积 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV A 得2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 20092009 年高考题年高考题 一 填空题填空题 1 若等边ABC 的边长为2 3 平面内一点M满足 12 63 CMCBCA 则 MA MB 2 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的坐标是 解析 设 0 0 My由 222 141 3 1yy 可得1y 故 0 1 0 M 答案 0 1 0 二 解答题二 解答题 3 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设 1 AB依题意得 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 0 60 II 证明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 则 的法向量为解 设平面 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由题设 平面ACD的一个法向量为 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 4 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 并求点M到OA OB的距离 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直线FG不在平面BOE内 因此有 FG平面BOE 6 本小题满分 12 分 如图 已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 设正方形 ABCD DCEF 的边长为 2 以 D 为坐标原点 分别以射线 DC DF DA 为 x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图 则 M 1 0 2 N 0 1 0 可得MN 1 1 2 又DA 0 0 2 为平面 DCEF 的法向量 可得 cos MN DA 3 6 DAMN DAMN 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 cos 3 6 DAMN 6 分 假设直线 ME 与 BN 共面 8 分 则 AB 平面 MBEN 且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知 两正方形不共面 故 AB 平面 DCEF 又 AB CD 所以 AB 平面 DCEF 面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线 所以 AB EN 又 AB CD EF 所以 EN EF 这与 EN EF E 矛盾 故假设不成立 所以 ME 与 BN 不共面 它们是异面直线 12 分 7 13 分 如图 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 MDABCD 平面 NBABCD 平面 且 MD NB 1 E 为 BC 的中点 1 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 2 在线段 AN 上是否存在点 S 使得 ES 平面 AMN 若存在 求线段 AS 的长 若不存在 请说明理由 17 解析 1 在如图 以 D 为坐标原点 建立空间直角坐标Dxyz 依题意 得 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 DAMCBNE 1 0 1 1 0 1 2 NEAM 10 cos 10 NE AM NE AM NEAM A 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 10 10 A 2 假设在线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 0 1 1 AN 可设 0 ASAN 又 11 1 0 1 22 EAESEAAS 由ES 平面AMN 得 0 0 ES AM ES AN A A 即 1 0 2 1 0 故 1 2 此时 1 12 0 2 22 ASAS 经检验 当 2 2 AS 时 ES 平面AMN 故线段AN上存在点S 使得ES 平面AMN 此时 2 2 AS 8 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC D E分别为 1 AA 1 BC的中点 DE 平面 1 BCC I 证明 ABAC II 设二面角ABDC 为 60 求 1 BC与平面BCD所成的角的大小 分析一分析一 求 1 BC与平面BCD所成的线面角 只需求点 1 B到面BDC的距离即可 19 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 如题 19 图 在四棱锥SABCD 中 ADBCA且ADCD 平面CSD 平面ABCD 22CSDS CSAD E为BS的中点 2 3CEAS 求 点A到平面BCS的距离 二面角ECDA 的大小 如答 19 图 2 以 S O 为坐标原点 射线 OD OC 分别为 x 轴 y 轴正向 建立空 间坐标系 设 AAA A xyz 因平面 CODABCD ADCDADCOD 平面故平面 即点 A 在 xoz 平面上 因此01 AA yzAD uuu v 又 2 22 13 2 2 01 AA xASx A uuv 从而 因 AD BC 故 BC 平面 CSD 即 BCS 与平面 yOx 重合 从而点 A 到平面 BCS 的距离为2 A x 易知 C 0 2 0 D 0 0 因 E 为 BS 的中点 BCS 为直角三角形 知 22 2BSCE uu vuuv 设 B 0 2 B Z B Z 0 则 A Z 2 故 B 0 2 2 所以 E 0 1 1 在 CD 上取点 G 设 G 11 0 x y 使 GE CD 由 11 2 2 0 1 1 0CDGExyCD GE uuu vuu u vuuu v uu u v 故 11 22 1 0 xy 又点 G 在直线 CD 上 即 CGCD uuu vuuu v 由CG uuu v 11 2 0 x y 则有 11 2 22 xy 联立 解得 G 2 4 0 33 故GE uu u v 22 1 33 又由 AD CD 所以二面角 E CD A 的平面角为向量GE uu u v 与向量 DA uu u v 所成的角 记此角为 因为GE uu u v 2 3 3 0 0 1 1 1DADAGE DA uu u vuu u vuu u v uu u v 所以 3 cos 2 GE DA GEDA uu u v uu u v uu u vuu u v 故所求的二面角的大小为 6 作AGBD 于G 连GC 则GCBD AGC 为二面角ABDC 的平面角 60AGC 不妨设2 3AC 则2 4AGGC 在RT ABD 中 由 AD ABBD AG 易得6AD 设点 1 B到面BDC的距离为h 1 BC与平面BCD所成的角为 利用 1 11 33 B BCBCD SDESh 可求得h 2 3 又可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即 1 BC与平面BCD所成的角为30 分析二分析二 作出 1 BC与平面BCD所成的角再行求解 如图可证得BCAFED 面 所 以面AFEDBDC 面 由分析一易知 四边形AFED为正方形 连AEDF 并设交点为O 则EOBDC 面 OC 为EC在面BDC内的射影 ECO 即为所求 以下略 分析三 分析三 利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n 则 1 BC与平面BCD所成的角 即为 1 BC 与法向量n 的夹角的余角 具体解法详见高考试题参考答案 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半壁 江山的状况 命题人在这里一定会兼顾双方的利益 9 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解法解法 2 2 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 10 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 如题 18 图 在五面体 ABCDEF 中 AB DC BAD 2 CD AD 2 四边形 ABFE 为平行四边形 FA 平面 ABCD FC 3 ED 7 求 直线 AB 到平面 EFCD 的距离 二面角 F AD E 的平面角的正切值 18 本小题满分 12 分 如图 4 在正三棱柱 111 ABCABC 中 2ABAA D 是 11 AB的中点 点 E 在 11 AC上 且DEAE I 证明平面ADE 平面 11 ACC A II 求直线AD和平面ABC所成角的正弦值 解 I 如图所示 由正三棱柱 111 ABCABC 的性质知 1 AA 平面 111 ABC 又 DE 平面 A1B1C1 所以 DE AA1 而 DE AE AA1 AE A 所以 DE 平面 AC C1A1 又 DE 平面 ADE 故平面 ADE 平面 AC C1A1 解法解法 2 2 如图所示 设 O 使 AC 的中点 以 O 为原点建立空间直角坐标系 不妨设 A A1 2 则 AB 2 相关各点的坐标分别是 A 0 1 0 B 3 0 0 C1 0 1 2 D 2 3 2 1 2 易知AB 3 1 0 1 AC 0 2 2 AD 2 3 2 1 2 设平面 ABC1的法向量为 n x y z 则有 022 03 1 zyACn yxABn 解得 x 3 3 y z y2 故可取 n 1 3 6 所以 cos n AD ADn ADn 310 32 5 10 由此即知 直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 5 10 11 本小题满分 12 分 如图 3 在正三棱柱ABC 1 A 1 B 1 C中 AB 4 A 1 A 7 点D是BC的中点 点E在AC 上 且DE 1 AE 证明 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 求直线AD和平面 1 ADE所成角的正弦值 解法 2 2 如图所示 设 O 是 AC 的中点 以 O 为原点建立空间直角坐标系 则相关各 点的坐标分别是 A 2 0 0 1 A 2 0 7 D 1 3 E 1 0 0 易知 1 AB 3 3 7 DE 0 3 0 AD 3 3 0 设 n x y z 是平面 1 ADE 的一个法向量 则 1 30 3370 n DE y n A Dxyz uuu v uuu u v 解得 7 0 3 xz y 故可取 n 7 0 3 于是 3 721 84 2 3 由此即知 直线AD和平面 1 ADE所成的角是正弦为 21 8 12 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于点M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ACM的一 个法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 则 2 1 1 n 设所求角为 则 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 3 由条件可得 ANNC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所以 8 3 PN 则 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距离等于点P到平面CA M距离的 5 9 设点 cos nAD n AD nAD uuu r uuu r uuu r y x z D M C B P A A N A O P到平面CA M距离为h则 2 6 3 AP n h n 所以所求距离为 510 6 h 927 19 本小题满分 12 分 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互 相垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD的中点为P 在直线AE上是否存在一点M 使得PMBCEA平面 若存在 请指出点M的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 III 求二面角FBDA 的大小 因为 ABE 为等腰直角三角形 AB AE 所以 AE AB 又因为平面 ABEF 平面 ABCD AE 平面 ABEF 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 AE 平面 ABCD 所以 AE AD 因此 AD AB AE 两两垂直 以 A 为坐标原点 建立 如图所示的直角坐标系 A xyz 设 AB 1 则 AE 1 B 0 1 0 D 1 0 0 E 0 0 1 C 1 1 0 因为 FA FE AEF 45 所以 AFE 90 从而 1 1 0 2 2 F 所以 1 1 0 2 2 EF 0 1 1 BE 1 0 0 BC 11 00 22 EFBE 0EFBC 所以 EF BE EF BC 因为 BE 平面 BCE BC BE B 所以 EF 平面 BCE 存在点 M 当 M 为 AE 中点时 PM 平面 BCE M 0 0 1 2 P 1 1 2 0 从而PM 1 1 1 2 2 于是PM EF 1 1 1 2 2 11 0 22 0 所以 PM FE 又 EF 平面 BCE 直线 PM 不在平面 BCE 内 故 PMM 平面 BCE 8 分 设平面 BDF 的一个法向量为 1 n 并设 1 n x y z 110BD uuu v 3 1 0 2 2 BF uu u v 1 1 n0 n0 BD BF u v uu u v g u v uu u v g 即 xy0 31 yz0 22 取 y 1 则 x 1 z 3 从而 1 n113 取平面 ABD 的一个法向量为 2 n 0 0 1 12 2 12 n n33 11 cos n n 1111 1 nn 1 uv uu v u u v uu v g uv uu v g 故二面角 F BD A 的大小为 arccos 3 11 11 12 分 14 本题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 2AABCAB ABBC 求二面角 111 BACC 的大小 简答 3 20052005 20082008 年高考题年高考题 解答题解答题 1 1 20082008 全国全国 19 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 正四棱柱如图 正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 中 1 24AAAB 点 点E在在 1 CC上且上且 ECEC3 1 证明 证明 1 AC 平面平面BED 求二面角 求二面角 1 ADEB 的大小 的大小 以D为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示直角坐标系Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 11 2 24 2 0 4 ACDA 证明证明 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又DBDED 所以 1 AC 平面DBE 解解 设向量 xyz n是平面 1 DAE的法向量 则 DE n 1 DA n 故20yz 240 xz 令1y 则2z 4x 412 n 1 AC n等于二面角 1 ADEB 的平面角 A B CD E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z N M A B D C O xy z N M A B D C O P 42 14 cos 1 1 1 CAn CAn CAn 所以二面角 1 ADEB 的大小为 14 arccos 42 2 2 20082008 安徽 安徽 如图 在四棱锥OABCD 中 底面ABCD四边长 为 1 的菱形 4 ABC OAABCD 和和 2OA M为 OA的中点 N为BC的中点 证明 直线MNOCD和和 求异面直线AB与MD所成角的大小 求点 B 到平面OCD的距离 作APCD 于点P 如图 分别以AB AP AO所在直线为 x y z轴建立坐标系 22222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 ABPDOMN 1 1 证明证明 22222 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 设平面OCD的法向量为 nx y z 则0 0n OPn OD AA 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取2z 解得 0 4 2 n 22 1 1 0 4 2 0 44 MN n A A MNOCD 和和 2 2 解解 设AB与MD所成的角为 22 1 0 0 1 22 ABMD 1 cos 23 AB MD ABMD A AB与MD所成角的大小为 3 3 3 解解 设点B到平面OCD的距离为d 则d为OB 在向量 0 4 2 n 上的投影的绝对值 由 1 0 2 OB 得 2 3 OB n d n 所以点B到平面OCD的距离为 2 3 3 3 20082008 湖南湖南 1717 如图所示 四棱锥P ABCD的底面 ABCD是边长为 1 的菱形 BCD 60 E是CD 的中点 PA 底面ABCD PA 2 证明 平面PBE 平面PAB 求平面PAD和平面PBE所成二面角 锐角 的大小 如图所示 以A为原点 建立空间直角坐标系 则相关各点的 坐标分别是A 0 0 0 B 1 0 0 33 0 22 C 13 0 22 DP 0 0 2 3 1 0 2 E 证明证明 因为 3 0 0 2 BE 平面PAB的一个法向量是 0 0 1 0 n 所以 0 BEn和共线 从而BE 平面PAB 又因为BE 平面PBE 故平面PBE 平面PAB 解解 易知 3 1 0 2 0 0 2 PBBE 13 0 0 2 0 22 PAAD 设 1111 nx y z 是平面PBE的一个法向量 则由