小学四年级奥数教程——第十二讲.ppt

小学四年级奥数教程 第十二讲相遇问题 在小学数学的解决问题部分 行程问题是其中的一大主要学习内容 而且在各种数学竞赛中都离不开这类问题 它内容丰富 形式多样 变化多端 贴近生活 同学们学起来饶有兴趣 是数学学习中的一大快餐 行程问题所涉及的基本数量关系式是 速度 时间 路程 路程 时间 速度 路程 速度 时间相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型 这一讲我们先来学习相遇问题 相遇问题有两种情况 相向相遇和反向相离 一般情况 相向相遇的形式多一些 作为主要学习内容 它的特点是 两个运动着的物体从两地出发 相向运动 越行越接近 到一定时候二者可以相遇 两个运动物体同时起行 相遇时所用时间相同 例1 小秋和小冬分别住在一条街东西两头 两家相距810米 两人同时从家中出发相向而行 小秋每分钟走40米 小冬每分钟走50米 问 他们经过多长时是相遇 5分钟时 他们还相距多少米 15分钟时他们相距多少米 分析 如图 小秋和小冬家相距810米 称为总路程 小秋每分走40米 小冬每分走50米 可知小秋和小冬同时走1分钟共行路程是40 50 90 米 我们把它称为速度和 810米里有几个90米就是走了几分钟 解 810 40 50 810 90 9 分 这个时间既是小秋到相遇处时用的时间 也是小冬到相遇处时用的时间 我们称它为相遇时间 例1 小秋和小冬分别住在一条街东西两头 两家相距810米 两人同时从家中出发相向而行 小秋每分钟走40米 小冬每分钟走50米 问 他们经过多长时是相遇 5分钟时 他们还相距多少米 15分钟时他们相距多少米 分析 根据题意 小秋和小冬每分钟共行40 50 90 米 5分钟可以行90 5 450 米 用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程 也就是他们还相距多少米 解 810 40 50 5 810 90 5 810 450 360 米 例1 小秋和小冬分别住在一条街东西两头 两家相距810米 两人同时从家中出发相向而行 小秋每分钟走40米 小冬每分钟走50米 问 他们经过多长时是相遇 5分钟时 他们还相距多少米 15分钟时他们相距多少米 分析 根据题意 15分钟时他们相距多少米 就是他们相向走了9分钟相遇 这时他们相距为0 然后相背 反向 而行 又走了15 9 6 分 这时两人反向相离的路程 解 40 50 15 9 90 6 540 米 根据以上例子 我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是 速度和 相遇时间 总路程总路程 速度和 相遇时间总路程 相遇时间 速度和总路程 相遇时间 一个速度 另一个速度解相遇问题时 我们必须熟练掌握有关的数量关系式 此外 应借助于线段图来直观地分析和理解题意 以突破题意的难点 例2 甲 乙两人骑自行车同时从A B两地出发 相向而行 甲每分钟行200米 乙每分钟行220米 15分钟后两人相遇 求A B两地的距离 分析 此题根据数量关系就能直接求出 求A B两地的距离就用速度和 相遇时间 总路程 解 200 220 15 420 15 6300 米 例3 一辆客车和一辆货车同时从630千米的两地相向而行 客车的速度是每小时50千米 货车的速度是每小时55千米 问几小时后两车相距105千米 分析 两车在相距630千米的两地相向而行 距离逐渐缩短 在相遇前某一时刻两车相距105千米 这时两车共行的路程是630 105 525 千米 然后根据总路程 速度和 相遇时间 便可求出所用的时间 另外 还有一种情况 当两车相遇后继续行驶时 两车之间的距离会从零逐渐增大 到某一时刻 两车再一次相距105千米 这时两车共行的路程为630 105 735 千米 同样 利用总路程 速度和 相遇时间 便可求出所用的时间 解 第一种 两车相遇前的情况 630 105 50 55 525 105 5 小时 第二种 两车相遇后的情况 630 105 50 55 735 105 7 小时 例4 慢车从甲地开往乙地 开出1小时后 离甲地40千米 这时 快车从乙地开往甲地 快车开出3小时后两车相遇 已知甲 乙两地相距340千米 求快车的速度 分析 如图 慢车开出1小时后 离甲地40千米 说明慢车的速度为每小时40千米 也说明慢车比快车先出发1小时 行了40千米后 快车才出发 那么快车用了3小时与慢车相遇 这个3小时是两车共同用的时间 共同行的路程为340 40 300 千米 然后用共同路程 相遇时间 一个速度 另一个速度 从而求出快车的速度 解法一 340 40 3 40 300 3 40 100 40 60 千米 解法二 340 40 3 1 3 340 40 4 3 340 160 3 180 3 60 千米 例5 甲 乙两列火车从相距770千米的两地相向而行 甲车每小时行41千米 乙车每小时行45千米 甲车先出发2小时后 乙车才出发 乙车行几小时后与甲车相遇 分析 如图 甲车先出发2小时 所行的路程是41 2 82 千米 这时乙车才出发 那么甲 乙同时相向而行的路程是770 82 688 千米 然后用共同路程 速度和 相遇时间 便可求出快车的时间 解 770 41 2 41 45 770 82 86 688 86 8 小时 例6 甲 乙两城之间的公路长840千米 两辆汽车同时从甲城开往乙城 每一辆汽车每小时行28千米 第二辆汽车每小时行42千米 第二辆汽车到达乙城后立即返回 两辆汽车从开出到相遇共用了几小时 分析一 从图可知 两辆车开始时是同向行走 第二辆车开得快 当第二辆车从甲到乙后 所用的时间是840 42 20 小时 当第二辆车从乙城返回时 与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行 只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间 然后与20相加 便可得出所求问题 解 第二辆车到达乙城所用的时间 840 42 20 小时 第一辆车用20小时所行的路程是 28 20 560 千米 第一辆车和第二辆车相对而行的路程是 840 560 280 千米 第一辆车和第二辆车相对而行的时间是280 42 28 4 小时 从出发点到相遇时用的时间是 20 4 24 小时 例6 甲 乙两城之间的公路长840千米 两辆汽车同时从甲城开往乙城 每一辆汽车每小时行28千米 第二辆汽车每小时行42千米 第二辆汽车到达乙城后立即返回 两辆汽车从开出到相遇共用了几小时 分析二 我们用转化的思想 让第二辆车由与第一辆车同向而行变成从另一城丙出发 与第一辆车相向而行 那么两车从开出到相遇所行的路程 正好是两城间公路长的2倍 因此 两车从开出到相遇所用的时间相当于两车从相距840 2 1680 千米 的两地同时出发 相向而行 直到相遇所用的时间 如图 解 第一辆车和第二辆车共行的路程是 840 2 1680 千米 两辆车从出发到相遇所用的时间 1680 42 28 1680 70 24 小时 例7 小陈和小王两人同时分别从两地骑车相向而行 小陈每分钟行320米 小王每分钟行310米 两人相遇距全程中点50米 求全程长多少米 分析 从图上可以看出 两人相遇的地点距离中点50米 也就是小陈走了全程的一半后又走了50米 小王走了全程的一半减50米的地方 小陈比小王多走了50 50 100 米 已知小陈每分钟行320米 小王每分钟行310米 小陈每分钟比小王多行320 310 10 米 多少分钟小陈比小王多行100米 用100 10 10 分 这就是相遇的时间 再速度和 相遇时间 总路程 解 相遇时小陈比小王多行的路程是 50 50 100 米 相遇时间 100 320 310 10 分钟 全程 320 310 10 6300 米 例8 甲 乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠 甲队每天修80米 乙队每天修65米 两队人各从一端同时相向施工 相遇时 甲队超过中点多少米 分析一 这道题与例7的运动方向是相同的 只是把条件和问题换了换 可以用以下思路来解决问题 要求甲队超过中点多少米 只要求出甲队修的米数 再减去小渠的一半便可得出 要求甲队修的米数 必须知道甲队的速度和甲队用的时间 速度已知是每天修80米 时间就是两队相遇的时间 用总路程除以速度和便可以求出 解 相遇时间 2900 80 65 2900 145 20 天 甲队修的米数 80 20 1600 米 甲队超过中点的米数 1600 2900 2 1600 1450 150 米 例8 甲 乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠 甲队每天修80米 乙队每天修65米 两队人各从一端同时相向施工 相遇时 甲队超过中点多少米 分析二 甲队超过中点的米数 也是乙队距中点的米数 用甲队修的米数减去乙队修的米数再除以2 就求出甲队超过中点的米数 所以用第一种思路先求出相遇时间 再分别求出甲队和乙队修的米数 解 相遇时间 2900 80 65 2900 145 20 天 甲队修的米数 80 20 1600 米 乙队修的米数 65 20 1300 米 甲队超过中点的米数 1600 1300 2 300 2 150 米 例9 甲 乙两车站相距8250米 A公交车速度为每分钟280米 B公交车速度为每分钟270米 A B两车分别从甲 乙两站相向开出 两车到站后都要停留5分钟 然后返回 它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇 分析 从图中可以看出 A B两车从出发到第一次相遇经过的总路程是甲 乙两站的长8250米 A B两车从出发到第二次相遇经过的总路程是甲 乙两站8250米的3倍 也就是第一次相遇到第二次相遇时 两车经过的总路程是8250米的2倍 又已知两车的速度 可求得两车行这两个全程共用的时间 最后加上停站时间 就求出了最后结果 解 从第一次相遇到第二次相遇经过的总路程 8500 2 16500 米 从第一次相遇到第二次相遇所用的时间 16500 280 270 30 分钟 30 5 35 分钟 例10 小春 小夏两人同时从A B两地出发相向而行 两人在离A地50米处第一次相遇 相遇后两人仍以原速继续前行 并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回 途中两人在距B地25米处第二次相遇 问A B两地相距多少米 分析 从图上看 小春和小夏运行的情况与例9题两辆汽车运行的情况相似 只是小春 小夏到对方出发点时没有停 返回即走 那么我们可以用例9思路来想 小春 小夏第一次相遇时 合行的路程是A B之间的距离 此时 小春行了50米 从图中可以看出 他们到第二次相遇时共行了A B之间的距离的3倍 也就是小春和小夏各行了从出发到第一次相遇时自己所行路程的3倍 即小春共行了3个50米 用小春共行的路减去他返回时又行的25米 就得到A B两地间的距离 解 50 3 25 150 25 125 米 例11 甲 乙 丙3人做走路游戏 甲每分钟走40米 乙每分钟走50米 丙每分钟走60米 甲 乙两人从A地 丙从B地 3人同时相向出发 丙先遇见乙 再经过2分钟遇到甲 问A B两地相距多远 分析 从图上看出 乙 丙相遇时 甲 乙相差的路程正好是丙再行2分钟与甲相遇时 甲 丙2分钟共走的路程 这个路程可以求出 40 60 2 200 米 即乙比甲多行了200米 而乙每分钟比甲每分钟快50 40 10 米 那么200米里有几个10米就是在几分钟内行出来的 用200 10 20 分 这个时间是乙与丙相遇时 甲 乙 丙各用的时间 也可以看成是乙 丙相遇的时间 用乙 丙速度和 相遇时间 总路程 便可求出A B两地相距多远 解 乙 丙相遇时 甲 乙的路程差 40 60 2 200 米 乙 丙的相遇时间 200 50 40 20 分 A B两地的距离 50 60 20 2200 米 例12 丁丁和带着小狗的冬冬同时分别从相距1400米的两地相向而行 丁丁每分钟行65米 冬冬每分钟行75米 小狗每分钟跑200米 冬冬的小狗遇到丁丁后立即返回向冬冬这边跑 遇到冬冬后再向丁丁这边跑 当丁丁和冬冬相遇时 小狗一共跑了多少米 A地 B地 返回 分析 按照常规 要求狗一共走了多少米 就得把狗与甲相遇走的路程 与乙相遇走的路程 再与甲相遇走的路程 都求出 然后再相加 算出结果 但是 仔细想来 狗在甲 乙之间要跑多少个来回 每次来回所用的时间是多少 这些