方程思想想-专题训练(含解答)-.doc

方程思想 在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。 1. 要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。 2. 要具备用方程思想解题的意识。 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。例题分析 例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20的收益，求k的值。 分析：可以设商店第一次购进x盘录音带，则第二次购进2x盘录音带。根据题意，列出方程： 答：k的值是19。 小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x以后可以方便我们解题。 例2：以AB为直径的圆交BC于D，交AC于F，DE切半圆于D，交AC于E，若AB：BC5：6，且AF7，求CE的长。 解：连结AD、FD。 是直径 例3：已知方程两根为a、b，方程两根为c、d，求的值. 解：由根系关系得： 例4：已知方程有两个根的积等于2，解这个方程。 分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。 解：设 小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。易错题分析 例1. 已知关于x的方程有两个正整数根，求整数m。 分析：本题关于x的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，如果用根系关系来解，即，。列出关于m的不等式，再由正整数根的条件求出m的值，方法比较繁。一般来说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便。 解：将方程分解因式： 检验：当m1时，方程为 当m2时，方程为 点证：本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好。另外求出以后，变形为以后，便于讨论m的值。最后，求出m的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等。 例2. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值。 分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。 解：关于x的方程有两个不同的正整数根 ，将方程的左边分解因式： 点评：本题容易错在k3没有舍。所以一定要注意检验。 例3. 已知抛物线在x轴上方，关于x的方程两个不等实数根是，当m是整数时，求的值。 分析：本题是二次函数和方程的综合题，要用限定m的范围，由已知m是整数确定m的值。然后用根系关系求出的值。 解：在x轴上方 但方程有两个不等实根是一元二次方程 点评：本题容易错的地方是求出以后，没有舍去m3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零。 以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错。练习一. 选择题：1. 已知，其内切圆半径为，则三角形三边的长是（ ） A. 8，7，13 B. 8，5，12 C. 6，7，14 D. 8，7，142. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根，若这样的三角形只有一个时，a的取值范围是（ ） A. a8 B. 0a8 C. 0abc，(2)2bac，(3)b是正整数，(4)，则b的值是_。2. 已知a为自然数，二次方程有一正整数根p，那么a=_，方程的另一极是_。3. 已知m是整数，二次方程有两个正整数根，则m的值是_。三. 解答题：1. 某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数字是1，如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的5倍少49，求这个考生的准考证号码。2. 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为且，求PB的长。3. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，的两个实根，且求m、n的值。4. 如图，EB是直径，O是圆心，CB、CD切半圆于B、D、CD交BE延长线于A点，若BC=6，AD=2AE，求半圆的面积。 5. 已知抛物线与x轴有两个交点A、B，且A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，设OA长为a，OB长为b。 (1)求m的取值范围。 (2)若a、b满足a：b3：1，求m的值。 (3)由(2)所得的抛物线与y轴交于C，问在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求P点的坐标；如果不存在，请说明理由。疑难解析 A. 教师自己设计的问题： 1. 解答题的第4小题怎样用方程的思想解决问题？ 2. 解答题的第5小题的解题思路是什么？ B. 对问题的解答： 1. 答：这个题也是方程思想的应用，关键在于理解AD=2AE在条件中的作用。因为有倍半关系，所以AE：AD=1：2，这是方程思想应用最明显的知识特征。再利用勾股定理和成比例线段的知识，就可以转化为方程求解了。 略解：连结CO、DE、BD，设DB交OC于F点。 2. 答由于抛物线与x轴有两个交点A、B，可知方程有两个不等实根，即判别式大于零，由已知A在x轴正半轴，B在x轴负半轴，可进一步确定上面方程有一个正根，一个负根，从而将函数图形问题转化为方程根的判定去解决。 略解：（1）由题意： 即，m可取任意实数。 、B两点在y轴两侧，即方程有一正根，一负根。 即 解得 （2）由题意，得A(a，0)，B(b，0) 解得，经检验不合题意舍去。 （3）由抛物线，令x=0，得y=3， 由m=0，求出a=3，b=1。 为等腰直角三角形。 若存在点P，使时，与关于AC为轴对称图形，P点坐标(3，3)，将x=3代入中，得y=0，说明P(3，3)不在抛物线上，即不存在抛物线上的点P，使。试题答案一. 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A二. 1. 5 2. 4 3. m=1或m=2三. 1.