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珠穆朗玛教育：让学生达到自己人生的珠峰！珠穆朗玛数学教案2014-07 数学高三函数的单调性与最大(小)值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3) 若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f(x)0时,f(x)为增函数;当f(x)0时,f(x)为减函数. 2. 函数的最值1.(2010福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是( ) A. f(x)=1/x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1) 答案:A 答案:B 类型一 函数单调性的判定与证明 解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法直接法图象法. 1.用定义法证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x10; (2)作差变形:作差y=f(x2)-f(x1),并通过因式分解配方有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形; (3)定号:确定差值y的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)判断:根据定义作出结论. 2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数二次函数反比例函数的单调性均可直接说出. 3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调性的方法. 例1.判断函数f（x)= （a不为零）在区间（-1,1）上的单调性.类型二 函数的奇偶性与单调性 解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反. 例2.已知f(x)=是奇函数，（1） 求a,b的值（2） 求f(x)的单调区间（3） 求f(x)（x0)的最值 x21+10,x22+10,x2-x10, 而x1,x20,1时,x1x2-10, 当x1,x20,1时,f(x1)-f(x2)0, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数, f(x)在-1,0上是增函数,在(-,-1上是减函数. 又x0,1,u-1,0时,恒有f(x)f(u),等号只在x=u=0时取到,故f(x)在-1,1上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在1,+)上递减,则f(x)在x=1处可取得最大值. f(1)=1/2y， 函数的最大值为1/2,无最小值. 类型三 求函数的最值 解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法. (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值. (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法. (4)导数法:当函数较复杂(如指对数函数与多项式结合)时,一般采用此法. (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围. 例3.已知函数f(x）= 定义域为1,+)（1） 当a=4时，求f(x)的最小值（2） 当a=0.5时，求f(x)的最小值（3） 当a为正数时，求f(x)的最小值类型四 抽象函数的单调性与最值 解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配凑. 【典例4】 函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b