安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期线下考试自测卷（五）理（PDF）.pdf

1 六安一中六安一中 2020 届高三年级自测试卷 理科数学 五 届高三年级自测试卷 理科数学 五 命题人 命题人 时间 时间 120 分钟满分 分钟满分 150 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知集合 a x x 2 x 3 0 b x y 则 a rb a 2 1 b 1 3 c 2 d 2 1 2 在复平面内 复数对应的点位于直线 y x 的左上方 则实数 a 的取值范围是 a 0 b 1 c 0 d 1 3 若实数 x y 满足不等式组 则 z 2x y 的最大值为 a 4b c 6d 6 4 已知等比数列 an 满足 a1 a2 36 a1 a3 24 则使得 a1a2 an取得最大值的 n 为 a 3b 4c 5d 6 5 已知命题 p 函数的定义域为 r 命题 q 存在实数 x 满足 ax lnx 若 p q 为真 则实数 a 的取值范围是 a 2 b 2 c 2 d 2 6 函数 f x asin x 其中 a 0 的图象如图所示 为了得到 g x asin x 的图象 则只要将 f x 的图象 a 向右平移个单位长度b 向右平移个单位长度 c 向左平移个单位长度d 向左平移个单位长度 7 若函数 f x x2 ax blnx 在区间 1 2 上有两个极值点 则 b 的可能取值为 2 a 3b 4c 5d 6 8 已知函数 若 f x kx 在 x 0 时总成立 则实数 k 的取值范围 是 a 1 b e c 2e d e2 9 已知双曲线 c 1 a 0 b 0 的两条渐近线分别为直线 l1与 l2 若点 a b 为 直线 l1上关于原点对称的不同两点 点 m 为直线 l2上一点 且 kam kbm 则双曲线 c 的离心率为 a 1b c 2d 10 已知圆 c x2 y2 6x 8y 9 0 点 m n 在圆 c 上 平面上一动点 p 满足 pm pn 且 pm pn 则 pc 的最大值为 a 8b 8c 4d 4 11 小明与另外 2 名同学进行 手心手背 游戏 规则是 3 人同时随机等可能选择手心或手背 中的一种手势 规定相同手势人数多者每人得 1 分 其余每人得 0 分 现 3 人共进行了 4 次游戏 记小明 4 次游戏得分之和为 x 则 x 的期望为 a 1b 2c 3d 4 12 已知正方体的棱长为 1 平面 过正方体的一个顶点 且与正方体每条棱所在直线所成的角 相等 则该正方体在平面 内的正投影面积是 a b c d 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 已知的展开式中的常数项为 用数字答 14 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn 且 a1 a3 10 s9 72 数列 bn 中 b1 2 bnbn 1 2 则 a7b2020 15 在 abc 中 ab 2 ac 3 p 是边 bc 的垂直平分线上一点 则 16 设函数 若f x 3 ax恒成立 则实数a的取值范围是 3 三 解答题三 解答题 解答题写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题本小题满分满分 12 分分 在等差数列 an 和正项等比数列 bn 中 a1 1 b1 2 且 b1 a2 b2成等差数列 数列 bn 的 前 n 项和为 sn 且 s3 14 1 求数列 an bn 的通项公式 2 令 1 ndn ncn n 求数列 dn 的前 n 项和为 tn 18 本小题 本小题满分满分 12 分 分 为落实习近平同志关于 绿水青山就是金山银山 的重要讲话精神 某地大力加强生态综合治 理 治理之初该地某项污染物指标迅速下降 后随季节气候变化 这项指标在一定范围内波动 如 图是治理开始后 12 个月内该地该项污类物指标随时间 x 单位 月 变化的大致曲线 其近似满足 函数 f x 其中 e 2 71828 a 0 0 1 求 f x 的表达式 2 若该项污染物指标不超过 2 5 则可认为环境良好 求治理开始以来的 12 个月内 该地环境良 好的时间长度大约有几个月 精确到整数 参考数据 ln2 0 69 ln3 1 10 19 本小题 本小题满分满分 12 分 分 如图 三棱锥 p abc 中 平面 pab 平面 abc pa pb apb acb 90 点 e f 分别是棱 ab pb 的中点 点 g 是 bce 的重心 1 证明 gf 平面 pac 2 若 gf 与平面 abc 所成的角为 60 求二面角 b ap c 的余弦值 4 20 本小题 本小题满分满分 12 分 分 已知椭圆 c 的离心率为 且与双曲线有相同的焦点 1 求椭圆 c 的方程 2 直线 l 与椭圆 c 相交于 a b 两点 点 m 满足 点 p 1 若直线 mp 斜率为 求 abp 面积的最大值及此时直线 l 的方程 21 本小题 本小题满分满分 12 分 分 已知函数 f x eax b a b r 的图象与直线 l y x 1 相切 f x 是 f x 的导函数 且 f 1 e 1 求 f x 2 函数 g x 的图象与曲线 y kf x k r 关于 y 轴对称 若直线 l 与函数 g x 的图象有 两个不同的交点 a x1 g x1 b x2 g x2 求证 x1 x2 4 从 22 23 题中任选一题作答 22 本小题 本小题满分满分 10 分 分 在直角坐标系中 以原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 c 4cos 直线 l 的参数方程为 t 为参数 直线 l 与曲线 c 分别交于 m n 两点 1 写出曲线 c 和直线 l 的普通方程 2 若点 p 3 1 求的值 23 本小题 本小题满分满分 10 分 分 已知函数 f x 2 x 1 x 2 f x 的最小值为 m 1 求 m 2 若 a 0 b 0 且 a b m 求的最小值 5 六安一中六安一中 2020 届届高三年级自测试卷高三年级自测试卷 理科数学理科数学 五五 参考答案参考答案 1 d2 a3 a4 b 5 解答 解 当 p 为真时 x2 ax 1 0 恒成立 即 a2 4 0 解得 2 a 2 当 q 为真时 存在实数 x 满足 ax lnx 即 a max 令 y y 当 x 0 e y 0 函数单调递增 当 x e y 0 函数 单调递减 故当 x e 时 函数有最大值 解得 a p q 是真命题 故命题是 p q 都是真命题 则 2 a 2 且 a 实数 a 的取值范围为 2 故选 a 6b 7 解答 解 令 g x x2 ax b 依题意 函数 g x 在 1 2 上有两个零点 则 则必有 4b a2 16 即 b 4 故选 a 8 解答 解 当 x 0 时 f x kx 显然恒成立 当 x 0 时 f x kx 即为 设 则 g x ex x k g x ex 1 0 函数 g x 在 0 上为增函数 当 k 1 时 g x g 0 1 k 0 故函数 g x 在 0 上为增函数 g x g 0 0 即 f x kx 成立 当 k 1 时 g 0 1 k 0 g k ek 2k 0 故存在 x0 0 k 使得 g x0 0 当 x 0 x0 时 g x 0 g x 单调递减 则 g x g 0 0 即 f x kx 不符题意 综上所述 实数 k 的取值范围为 1 故选 a 6 9c 10 解答 解 根据题意 若平面上一动点 p 满足 pm pn 又由 cm cn 则 pc 为线段 mn 的垂直平分线 设 mn 的中点为 g ng n cg m 又由 pm pn 且 pm pn 则 pmn 为等腰直角三角形 故 pg ng n 圆 c x2 y2 6x 8y 9 0 即 x 3 2 y 4 2 16 则 m2 n2 16 则 pc m n 4 当且仅当 m n 时等号成立 故 pc 的最大值为 4 故选 d 11 有 8 种情况 小明得 1 分结果有 6 种情况 小明每局每得分的概率 p x b 4 e x 4 3 故选 c 12 解答 解 正方体的所有棱中 实际上是 3 组平行的棱 每条棱所在直线与平面 所成的角都 相等 如图 所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面 时 满足平面 与正方体每条棱所成 的角均相等 并且如图所示的正三角形 为平面 截正方体所形成的三角形截面中 截面面积最大者 因为正三角形的边长为 正方体 abcd a1b1c1d1的三个面 在平面 内的正投影是三个全等的菱形 如图所示 可以看成两个边长为的等边三角形 所以正方体在平面 内的正投影面积是 s 2 故选 b 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 小题 13 解答 解 的通项是 c5rx15 5r 7 要求展开式中的常数项 15 5r 0 r 3 展开式中的常数项是 c53 10 故答案为 10 14 10 15 解答 解 取 bc 的中点 d 由条件得 0 故答案为 16 解答 解 当 x 2 时 要使得 4x 2 3 ax 恒成立 当 a 0 时 4x 2 40 1 3 恒成立 当 a 0 时 由图象可知 0 a 1 综上 0 a 1 当 2 a 3 时 要使得 log2 x 2 3 ax 恒成立 当 a 0 时 0 x 2 1 log2 x 2 0 3 恒成立 当 a 0 时 有图象可知 0 a 1 综上 0 a 1 故答案为 0 1 三 解答题 共三 解答题 共 7 小题 小题 17 解答 解 1 等差数列 an 的公差设为 d 正项等比数列 bn 的公比设为 q q 0 a1 1 b1 2 且 b1 a2 b2成等差数列 可得 2a2 b1 b2 即 2 1 d 2 2q 即 d q 数列 bn 的前 n 项和为 sn 且 s3 14 可得 2 2q 2q2 14 解得 q 2 d 2 则 an 2n 1 bn 2n 2 2n 1 1 1 ndn ncn n n 2n 1 则 dn 2n 2 n 前项和为 tn 2 2 4 4 6 8 2n 2 n 2tn 2 4 4 8 6 16 2n 2 n 1 相减可得 3tn 4 2 4 8 2 n 2n 2 n 1 4 2 2n 2 n 1 化简可得 tn 2 n 1 18 解答 解 1 由 f 0 eb a 9 f 2 e2k b a 3 f 3 e3k b a 2 联立解方程组得 故当 0 x 3 时 f x 当 3 x 12 时 由 得 a 1 b 2 t 2 9 5 8 所以 8 由 f 50 sin 2 1 得 综上 f x 2 令 f x 2 5 当 0 x 3 时 2 5 得 4 log23 x 3 当 3 x 12 时 当 sin 2 2 5 时 得 x 8k 或者 8k k z 又当 3 x 12 时 x 结合函数图象 故不等式的解集为 故所求的时间长度为 12 故地环境良好的时间长度大约有 7 个月 19 解答 解 1 证明 连结 ef 连结 eg 并延长 交 bc 于点 d 由点 d 是 bc 的中点 d e f 分别是棱 cb ab pb 的中点 de ac ef ap de ef 平面 pac ac ap 平面 pac de 平面 pac ef 平面 pac de ef 平面 efg de ef e 平面 efg 平面 pac gf 平面 efg gf 平面 pac 2 解 连结 pe pa pb e 是 ab 的中点 pe ab 平面 pab 平面 abc 平面 pab 平面 abc ab pe 平面 pab pe 平面 abc 连结 cg 并延长交 be 于点 o 则 o 为 be 的中点 连结 of 则 of pe of 平面 abc fgo 是 gf 与平面 abc 所成角 fgo 60 在 rt fgo 中 设 gf 2 则 og 1 of oc 3 pe 2 ab 4 ce 2 oe oe2 oc2 ce2 oc ab 以 o 为原点 oc 为 x 轴 ob 为 y 轴 of 为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 a 0 3 0 c 3 0 0 p 0 2 3 3 0 0 2 设平面 pac 的一个法向量 x y z 则 取 z 1 得 9 平面 pab 的法向量 1 0 0 设二面角 b ap c 的平面角为 则 cos 二面角 b ap c 的余弦值为 20 解答 解 1 由题意 双曲线的焦点 1 0 所以由题意知椭圆中 c 1 e b2 a2 c2 解得 a2 4 b2 3 所以椭圆的方程为 2 m 为线段 ab 的中点 又 kmp kpo 1 当 m 为坐标原点时 当 ab 的斜率不存在时 此时 a b 为短轴的两个端点 s abp 2b xp 当 ab 的斜率存在时 设的斜率为 k 设 a x y b x y 则直线 ab y kx k 代入椭圆方程整理 3 4k2 x2 12 0 x x 0 xx ab 4 p 到直线 ab 的距离 d 所以 sabp ab d 2 令 t 6 12k 要得面积 s abp的最大值 则 t 0 t 24 3 这时 t 即 t 12 6 12k 12 k 时等号成立 10 s abp max 2 直线方程为 y x 2 当 m 不为原点时 由 kmp kop m o p 三点共线 kmo 设 a x y b x y m x0 y0 lab的斜率为 kab x x 2x0 y y 2y0 因为 a b 在椭圆上 0 1 0 1 kab 0 即 1 0 kab 设直线 lab y x m 代入椭圆整理得 x2 mx m2 3 0 m2 4 m2 3 0 m2 4 x x m xx m2 3 ab p 到直线 ab 的距离为 d 2 s abp 2 令 g m 2 m 3 2 m 2 m 2 g m 4 2 m 2 m 1 m 2 1 g m 0 g m 单调递增 m 1 2 g m 0 g m 单调递减 所以 g 1 max 27 s abp max 直线 ab 的 方程 y 1 综上所述 面积的最大值为 直线 ab 的方程 y 1 21 解答 解 1 设直线 l 与函数 f x 的图象相切的切点为 m n 函数 f x eax b的导数为 f x aeax b 由题意可得 aeam b 1 eam b m 1 且 aea b e 解得 a