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1 一 函数 二 极限 三 连续 一 函数 二 极限 三 连续 一 主要内容一 主要内容 第一章 习题课第一章 习题课 函 数 的定义 函 数 的定义 反函数反函数 反函数与直接 函数之间关系 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 初等函数初等函数 函 数 的性质 奇偶性 函 数 的性质 奇偶性 单调性单调性 有界性有界性 周期性周期性双曲函数与 反双曲函数 双曲函数与 反双曲函数 一 函数 一 函数 1 函数的定义1 函数的定义 记为函数 上的为定义在则称映射设数集 记为函数 上的为定义在则称映射设数集 DRDfRD 定义定义 Dxxfy 因变量因变量自变量自变量定义域定义域DDf 000 处的函数值为函数在点称时当处的函数值为函数在点称时当xxfDx 称为函数的值域 函数值全体组成的数集 称为函数的值域 函数值全体组成的数集 DxxfyyDfRf 函数的分类 函数 函数的分类 函数 初等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 初等函数 非初等函数 分段函数 有无穷多项等函数 代数函数 超越函数 代数函数 超越函数 有理函数 无理函数 有理函数 无理函数 有理整函数 多项式函数 有理分函数 分式函数 有理整函数 多项式函数 有理分函数 分式函数 1 单值性与多值性单值性与多值性 若对于每一个若对于每一个Dx 仅有一个值仅有一个值 xfy 与之对 应 与之对 应 则称则称 xf为单值函数为单值函数 否则就是多值函数否则就是多值函数 x y o x ey x y o 1 1 22 yx 2 函数的性质2 函数的性质 2 函数的奇偶性函数的奇偶性 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 有对于关于原点对称设有对于关于原点对称设 DxD 为偶函数称为偶函数称xfxfxf 为奇函数称为奇函数称xfxfxf y xo x y o xy 3 xy 2 3 函数的单调性函数的单调性 设函数设函数f x 的定义域为的定义域为D 区间 区间I D 如果对于区间 如果对于区间I上 任意两点及 当时 恒有 上 任意两点及 当时 恒有 1 则称函数在区间则称函数在区间I上是单调增加的上是单调增加的 或 或 2 则称函数在区间则称函数在区间I上是单调递减的上是单调递减的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 1 x 2 x 21 xx 4 函数的有界性函数的有界性 0 0 上无界及在 上无界及在 1 1 上有界及在上有界及在 x y o x y 1 11 设函数设函数 f x 的定义域为的定义域为D 如果存在一个不为零的 数 如果存在一个不为零的 数l 使得对于任一使得对于任一 有有 且且 f x l f x 恒成立恒成立 则称则称f x 为周期函数为周期函数 l 称为称为 f x 的周期的周期 通常 说周期函数的周期是指其最小正周期 通常 说周期函数的周期是指其最小正周期 Dx Dlx 5 函数的周期性函数的周期性 o y x 1 1 xxy 1 T xfy x y o xxf xfx 1 xfy 4 反函数与直接函数之间的关系 反函数与直接函数之间的关系 则函数 是一一对应设函数 则函数 是一一对应设函数 xf f Dxx xffxff 1 11 2 1 xy xfyxfy 图象对称于直线 的与 图象对称于直线 的与 3 反函数3 反函数 1 称为反函数确定的由称为反函数确定的由xfyxfy xysinh 1 xfy sinhar x 5 基本初等函数5 基本初等函数 2 幂函数幂函数 是常数 是常数 xy 3 指数函数 指数函数 1 0 aaay x 4 对数函数 对数函数 1 0 log aaxy a 5 三角函数 三角函数 cosxy sinxy 6 反三角函数 反三角函数 arccosxy arcsinxy cot xy tan xy arctan xy ycotarcx 1 常数函数常数函数 Cy 6 复合函数 7 初等函数 6 复合函数 7 初等函数 构成的复合函数和称为由 则且 上有定义在的定义域为设 构成的复合函数和称为由 则且 上有定义在的定义域为设 ufyxgu Dxxgfy DDg DxguDufy f f 定义定义 初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示 由基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数的函数 称为初等函数称为初等函数 3 8 双曲函数与反双曲函数8 双曲函数与反双曲函数 2 sinh xx ee x 双曲正弦 双曲正弦 2 cosh xx ee x 双曲余弦 双曲余弦 xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh双曲正切双曲正切 双曲函数常用公式双曲函数常用公式 sinhxy 反双曲正弦反双曲正弦ar tanxy 反双曲正切反双曲正切ar coshxy 反双曲余弦反双曲余弦ar sinhsinhcoshcosh cosh yxyxyx 1sinhcosh 22 xx coshsinh22sinhxxx sinhcosh2cosh 22 xxx sinhcoshcoshsinh sinh yxyxyx 左右极限左右极限 两个重要 极限 两个重要 极限 求极限的常用方法求极限的常用方法 无穷小 的性质 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 判定极限 存在的准则 无穷小的比较无穷小的比较 极限的运算极限的运算 数列极限函数极限数列极限函数极限 axn n limAxf xx lim 0 Axf x lim 等价无穷小 及其性质 等价无穷小 及其性质 极限 的性质 极限 的性质 无穷小无穷小 0 lim xf 两者的 关系 两者的 关系 无穷大无穷大 limxf 二 极限 二 极限 1 极限的定义1 极限的定义 定义定义 N 定义定义 如果对于任意给定的正数 如果对于任意给定的正数 不论它多么 小 总存在正整数 不论它多么 小 总存在正整数N 使得对于 使得对于 Nn 时的一切时的一切 n x 不等式 不等式 axn都成立 那末就称常数 都成立 那末就称常数 a是 数列 是 数列 n x 的极限 或者称数列 的极限 或者称数列 n x 收敛于 收敛于 a 记为 记为 limaxn n 或 或 naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限 就说数列是就说数列是发散发散的的 axn n lim 0 axNnN n 恒有时当恒有时当 定义定义 如果对于任意给定的正数 如果对于任意给定的正数 不论它多 么小 总存在正数 不论它多 么小 总存在正数 使得对于适合不等式 使得对于适合不等式 0 0 xx的一切 的一切 x 对应的函数值 对应的函数值 xf都 满足不等式 都 满足不等式 Axf xx lim 0 0 0 0 时当时当 xx Axf恒有恒有 左极限左极限 0 0 00 Axfxxx恒有时当恒有时当 右极限右极限 0 0 00 Axfxxx恒有时当恒有时当 AxfAxf xx lim 0 0 或或 AxfAxf xx lim 0 0 或或 lim 00 0 AxfxfAxf xx 定理定理 4 无穷小 极限为零的变量称为无穷小无穷小 极限为零的变量称为无穷小 0 lim 0 lim 0 xfxf xxx 或记作或记作 绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大 无穷大 无穷大 lim lim 0 xfxf xxx 或记作或记作 在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小与无穷大的关系 在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大 无穷小与无穷大的关系 2 无穷小与无穷大2 无穷小与无穷大 定理定理1 在同一过程中在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小 定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论1 在同一过程中在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小 无穷小的运算性质无穷小的运算性质 定理定理 0 lim 3 lim 2 lim 1 lim lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中 则设 其中 则设 推论1推论1 lim lim lim xfcxcf cxf 则为常数而存在如果 则为常数而存在如果 lim lim lim nn xfxf nxf 则是正整数而存在如果 则是正整数而存在如果推论2推论2 3 极限的运算法则3 极限的运算法则 4 求极限的常用方法4 求极限的常用方法 a 消去零因子法求极限消去零因子法求极限 b 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限 c 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限 d 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限 e 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限 f 利用连续函数的性质求极限利用连续函数的性质求极限 准则 准则 如果当如果当 0 0 rxUx 或或Mx 时时 有有 lim lim 2 1 00 AxhAxg xhxfxg x xx x xx 那末那末 lim 0 xf x xx 存在存在 且等于且等于A 5 判定极限存在的准则5 判定极限存在的准则 准则 准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 夹逼准则夹逼准则 1 1 sin lim 0 x x x 2 e x x x 1 1 lim ex x x 1 0 1 lim 1 sin lim 某过程某过程 1 lim 1 e 某过程某过程 6 两个重要极限6 两个重要极限 5 7 无穷小的比较7 无穷小的比较 记作 高阶的无穷小是比 就说如果 记作 高阶的无穷小是比 就说如果 0lim 1 o 定义 定义 0 且穷小是同一过程中的两个无设且穷小是同一过程中的两个无设 0lim 3 是同阶的无穷小与就说如果是同阶的无穷小与就说如果 C 1lim 记作 是等价的无穷小与则称如果特殊地 记作 是等价的无穷小与则称如果特殊地 低阶的无穷小 是比 就说如果 低阶的无穷小 是比 就说如果 lim O 记作 记作 定理定理 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理 limlim lim 则存在且设则存在且设 8 等价无穷小的性质 等价无穷小的性质 0 0lim 4 无穷小 阶的的是就说如果 无穷小 阶的的是就说如果kkC k k O 记作 记作 1 1 1ln 1 0 xxxxxe x x 时 时 2 1 cos1 arctan arcsin tan sin 2 xx xxxxx 9 极限的性质 极限的性质 局部 有界性 局部 有界性 定理2定理2 若在某个过程下 若在某个过程下 xf有极限 则存在 过程的一个时刻 在此时刻以后 有极限 则存在 过程的一个时刻 在此时刻以后 xf有界 唯一性 有界 唯一性定理定理 1 若若 limxf存在存在 则极限唯一则极限唯一 0 0 0 0 0 lim 0 0 xfxfxUx AAAxf o xx 或时当则 或且若 或时当则 或且若 定理3定理3 0 0 0 0 0 lim 0 0 AAxfxf xUxAxf o xx 或则或 时当且若 或则或 时当且若 推论 局部 保号性 推论 局部 保号性 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 子列收敛性子列收敛性 lim lim 0 0 Axf xxxfxfAxf n n n xx 则有时的任一子列 当是数列若 则有时的任一子列 当是数列若定理定理4 左右连续左右连续 在区间 a b 上连续 在区间 a b 上连续 闭区间上 连续函数的性质 闭区间上 连续函数的性质 初等函数 的连续性 初等函数 的连续性 间断点定义间断点定义 连续定义连续定义 0lim 0 y x lim 0 0 xfxf xx 连续的 充要条件 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 连续函数的 运算性质 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类第二类 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类第二类 三 连续 三 连续 1 连续的定义1 连续的定义 定义1定义1 0lim 0 y x 若若 则称函数则称函数y f x 在点在点x0连续连续 0 lim 00 0 xfxxf x 或或 定义2定义2 lim 0 0 xfxf xx 若若 则称函数则称函数y f x 在点在点x0连续连续 定义3定义3 0 0 0 0 xfxf xx时 有当时 有当 则称函数则称函数y f x 在点在点x0连续连续 注意 注意 6 3 连续的充要条件 2 单侧连续 3 连续的充要条件 2 单侧连续 0 000 处左连续在点则称 且内有定义在若函数 处左连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfxaxf 0 000 处右连续在点则称 且内有定义在若函数 处右连续在点则称 且内有定义在若函数 xxf xfxfbxxf 定理定理 00 左连续又右连续 处既在处连续在 左连续又右连续 处既在处连续在xxfxxf 4 间断点的定义4 间断点的定义 0 条件处连续必须满足的三个在点函数条件处连续必须满足的三个在点函数xxf 1 0处有定义 在点处有定义在点xxf lim 2 0 存在存在xf xx lim 3 0 0 xfxf xx 00 或间断点的不连续点 为并称点或间断处不连续在点函数 则称少有一个不满足如果上述三个条件中至 或间断点的不连续点 为并称点或间断处不连续在点函数 则称少有一个不满足如果上述三个条件中至 xf xxxf 5 间断点的分类5 间断点的分类 第一类间断点 第二类间断点 间断点 第一类间断点 第二类间断点 间断点 见下图见下图 存在 存在 00 xfxf 一个不存在 至少 一个不存在 至少 00 xfxf 可去间断点 跳跃间断点 可去间断点 跳跃间断点 00 xfxf 00 xfxf 无穷间断点 振荡间断点 无穷间断点 振荡间断点 上连续在闭区间函数 则称处左连续在右端点处右连续 并且在左端点内连续如果函数在开区间 上连续在闭区间函数 则称处左连续在右端点处右连续 并且在左端点内连续如果函数在开区间 baxf bxax ba 6 闭区间上连续 7 连续性的运算性质 6 闭区间上连续 7 连续性的运算性质 定理定理 0 0 0 0 处也连续在点 则处连续在点若函数 处也连续在点 则处连续在点若函数 x xg xg xf xgxfxgxf xxgxf 定理1定理1严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 定理2定理2 lim lim lim 00 0 xfafxf aufax xxxx xx 则有连续在点函数若则有连续在点函数若 0 00 00 也连续在点 则复合函数连续在点而函数 且连续在点设函数 也连续在点 则复合函数连续在点而函数 且连续在点设函数 xxxfy uuufyu xxxxu 定理3定理3 定理4定理4基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的 定理5定理5一切初等函数在其定义区间一切初等函数在其定义区间内都是连续的内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间 9 闭区间上连续函数的性质9 闭区间上连续函数的性质 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 8 初等函数的连续性8 初等函数的连续性 7 定理 3 零点定理 设函数定理 3 零点定理 设函数 xf在闭区间 在闭区间 ba 上连续 且上连续 且 af与与 bf异号 即异号 即0 bfaf 那末在开区间 那末在开区间 ba 内至少有函数内至少有函数 xf的一个零 点 即至少有一点 的一个零 点 即至少有一点 ba 使 使0 f 定理2 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 定理2 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值 定理 4 介值定理 设函数定理 4 介值定理 设函数 xf在闭区间 在闭区间 ba 上 连续 且在这区间的端点取不同的函数值 上 连续 且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf 及 及 Bbf 那末 对于 那末 对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C 在开区间 在开区间 ba 内至少有一点内至少有一点 使得 使得cf ba x 01 x 11 x 2 1 4 x x x 4221 的周期是先证 令证明的周期是先证 令证明xg a T baxfxg xg 的正周期 也是设是最小周期再证 xgT a T a T xg b a T xaf baxfTbaxf 8 bT a bx af a T TTTaxfTa 即的周期 也是 即的周期 也是 的正周期 也是设是最小周期再证 xgT a T Taxf 则 baxfxg 令 令 xf T a bx g a bx g b a bx af TTa a T T 即要证 的周期即可也是只要证明xfT a 例4例4 1 1 1 1 lim 1 242 n xxxx x n L求 时当 求 时当 解解 将分子 分母同乘以因子将分子 分母同乘以因子 1 x 则则 x xxxxx n n 1 1 1 1 1 1 lim 242 L 原式原式 x xxxx n n 1 1 1 1 1 lim 2422 L x xx nn n 1 1 1 lim 22 x x n n 1 1 lim 1 2 1 1 x 0lim 1 1 2 n xx n 时当时当Q 例5例5 sin1 tan1 lim 3 1 0 x x x x 求求 解解 3 1 0 1 sin1 tan1 1 lim x x x x 原式原式 3 1 0 sin1 sintan 1 lim x x x xx 3 0 1 sin1 sintan lim xx xx x Q 3 0 1 cos sin1 cos1 sin lim xxx xx x 3 2 0 cos sin1 2 1 lim xxx xx x 2 1 1 3 1 sin1 sintan sintan sin1 0 sin1 sintan 1lim x x xx xx x x x xx 思考题思考题 求极限求极限 x xx x 1 93lim 思考题解答思考题解答 x xx x 1 93lim x x x x x 1 1 1 3 1 9lim x x x x x 3 1 3 3 1 1lim999 0 e 1 例6例6 1 lim 2 lim 0 2 3 xp x xp x xxp xp x x 求 且是多项式设 求 且是多项式设 解解 2 lim 2 3 x xxp x Q 2 23 为待定系数其中可设为待定系数其中可设babaxxxxp 1 lim 0 x xp x Q又又 0 0 xxp 1 0 ab从而得从而得 2 23 xxxxp 故 故 0 2 23 xxbaxxxxp且且 小结 小结 为非负整数时有和当为非负整数时有和当nmba 0 0 00 lim 1 10 1 10 mn mn mn bxbxb axaxa n nn m mm x 当 当 当 当 当 当 L L 0 0 b a 0 9 例7例7 1 2 cos 1 1 的连续性讨论 的连续性讨论 x x xx xf 解解 改写成将改写成将 xf 1 1 11 2 cos 1 1 xx x x xx xf 例8例8 2 1 2 1 0 1 0 1 0 ff ffxf 使得证明必有一点 且上连续在闭区间设 使得证明必有一点 且上连续在闭区间设 证明证明 2 1 xfxfxF 令 令 2 1 0 上连续在则上连续在则xF 0 2 1 0 ffF Q 2 1 1 2 1 ffF 讨论讨论 则若则若 0 2 1 0 0 FF 2 1 0 FF 2 0 2 1 ff 0 则若则若 0 2 1 0 0 FF 2 1 0 FF 2 0 2 1 ff 0 由零点定理知由零点定理知 0 2 1 0 F使使 2 1 成立即成立即 ff 综上综上 2 1 0 必有一点必有一点 2 1 成立使成立使 ff 0 0 F若若 0 取则取则 0 2 1 0 ff 有 有 0 2 1 F若若 2 1 取则取则 2 1 2 1 2 1 ff 有 有 例例9 设设xxfsgn 2 1 xxg 试研 究复合函数 试研 究复合函数 xgf与与 xfg的连续性的连续性 2 1 xxg Q 1sgn 2 xxgf 1 2 sgn1 xxfg 0 1 0 2 x x 在在 上处处连续上处处连续 xgf 在在 0 0 上处处连续上处处连续 xfg 0 x 是它的第一类可去间断点是它的第一类可去间断点 0 1 0 0 0 1 x x x xf 解解 说明 内 外函数 连续是复合 函数连续的 充分条件 说明 内 外函数 连续是复合 函数连续的 充分条件 10 思考题思考题在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为 什么 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为 什么 xf xg xgxf 思考题解答思考题解答 没有极限 假设有极限 没有极限 假设有极限 xgxf xfQ 有极限 由极限运算法则可知 有极限 由极限运算法则可知 xfxgxfxg 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 思考题解答思考题解答 Q xf在在 0 x连续 连续 lim 0 0 xfxf xx 0 00 xfxfxfxf 且且 lim 0 0 xfxf xx lim lim lim 000 2 xfxfxf xxxxxx 0 2 xf 故故 xf 2 xf在在 0 x都连续都连续 思考题思考题 若若 xf在在 0 x连续 则连续 则 xf 2 xf在在 0 x是 否连续 又若 是 否连续 又若 xf 2 xf在在 0 x连续 连续 xf在在 0 x是否连续 是否连续 但反之不成立但反之不成立 例例 0 1 0 1 x x xf在在0 0 x不连续不连续 但但 xf 2 xf在在0 0 x连续连续 思考题思考题 若若 xf在在 0 x连续 则连续 则 xf 2 xf在在 0 x是 否连续 又若 是 否连续 又若 xf 2 xf在在 0 x连续 连续 xf在在 0 x是否连续 是否连续 思考题解答思考题解答 一 选择题 1 函数 一 选择题 1 函数 2 1 arccos1 x xy的定义域是 A 的定义域是 A 1 x B B 13 x C C 1 3 D D 131 xxxx 2 函数 2 函数 30 1 04 3 2 xx xx xf的定义域是 A 的定义域是