线性代数与解析几何..ppt

1 线性代数与解析几何 第二十讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 5 3线性方程组的几何应用及习题课 第五章线性方程组 2 矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨论几何空间中的平面 直线的位置关系 1 两个平面的位置关系 不全为0 3 此时方程组有无穷多解 有一个自由未知量 可求出通解为 即 t为任意常数 为直线的参数方程 注特解代表交线上的一个点 导出组的基础解系代表交线的方向向量 4 2 三个平面的位置关系 三平面重合 方程组有无穷多解 三平面交于一条直线 方程组有无穷多解 不全为0 5 三平面交于一点 方程组有唯一解 三平面平行 方程组无解 6 三个法向量共面 方程组无解 交成2或3条平行直线 7 3 空间四点Mi xi yi zi i 1 2 3 4 共面 8 4 平面三点Mi xi yi i 1 2 3 共线 例P14817题 9 例1已知 1 a b为何值时 不能表为 的线性组合 2 a b为何值时 可唯一表为 的线性组合 10 解 无解 有唯一解 11 12 已知线性方程组A4 4X 0有基础解系 则该方程的一个特解是 例2 解设 13 解系线性表示 所以不是解 应选 B 故可由线性表示 所以是该 方程组的一个解 不能由基础 14 例3 时仅有零解 时必有非零解 时必有非零解 时仅有零解 解 只有零解 有非零解 这时即可 故应选 D 15 设矩阵An n且 A 0 记A的前n 1列形成的矩阵为A1 A的第n列为b 问 线性方程组A1X b是否有解 为什么 解1 无解 因为r A1 n 1r A1 b r A n系数矩阵与增广矩阵的秩不等 解2 因为A可逆 A的n个列向量组线性无关 所以b不能由前n 1个向量线性表示 即原方程组A1X b无解 例4 16 例5 设矩阵An n为可逆阵 则方程组 是否有解 说明理由 无解 证明同例4完全一致 17 例6 已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零 且R A n 1 求线性方程组AX 0的通解 解由R A n 1知AX 0的基础解系有一个非零解向量 又 即 为所求通解 k为任意常数 18 已知向量组 1 2 3是齐次线性方程组AX 0的基础解系 则下列向量组中也可以作为AX 0的基础解系的是 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 C 1 1 2 1 2 D 1 1 2 1 3解法1 利用前面学习的结论 把这些向量组用 1 2 3表示出来 观察相应的矩阵 例7 19 解法2 初等变换法 A 将第1列 1倍加到第2列 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 3 1 线性相关 不可能是基础解系 类似方法可以知道 B C 中的向量组也线性相关 不可能是基础解系 只有 D 中的向量组与原向量组等价 从而是基础解系 20 例8 已知为的两个不同解 为AX 0的基础解系 k1 k2是两个 任意常数 则的通解为 21 例9 解系 则的基础解系还可以表示成 的一个等价向量组 B 的一个等秩向量组 解 A 错 个数可能 n B 错 可能不是解 C 错 可能不是解 22 D 对 的基础解系含有n r个解向量 又 是 的n r个线性无关的解向量 即为基础解系 23 例10已知 是线性方程组 的非零解向量 试判断的线性相关性 解 线性无关 不共面 线性无关 24 例11设 是线性方程组的基础解系 求线性方程组的基础解系 解 即 是 的基础解系 又线性无关 25 设 是非齐次线性方程组AX b 0的解 1 2 n r是导出组AX 0的基础解系 证明 1 1 2 n r线性无关 2 1 2 n r 是AX b的n r 1个线性无关的解向量 例12 左乘A得 故 1 2 n r线性无关 线性无关 证 1 26 2 再证它们线性无关 由 1 知 线性无关 故 1 2 n r 是 若有 AX b的n r 1个线性无关的解向量 27 例13 设非齐次线性方程组AX b b 0 是它的 个线性无关的解向量 证明它的 任一个解向量都可以表示为 其中 证 AX 0的基础解系含n r个线性无关的解向量 而由解的性质知 是AX 0的解 下证他们线性无关 28 线性无关 是AX 0的基础解系 所以 AX b的通解为 线性无关 29 30 证因为 如果AX 0 则AT AX 0 所以 I 的解都是 II 的解 反之 若X是ATAX 0的任一解 则有 AX TAX XT ATAX 0设向量AX b1 b2 bn T Rn 则 AX AX AX TAX AX 2 b12 b22 bn2 0得b1 b2 bn 0故AX 0 即 II 的解也是 I 的解 结论成立 设A为n阶实矩阵 则方程组 I AX 0 II ATAX 0为同解方程组 例14 31 本题可进一步得出 r A r ATA 因为AX 0与ATAX 0同解 故基础解系相同 也即基础解系所含无关的解向量的个数相同 即n r A n r ATA 所以r A r ATA 32 预习6 1 Bye 33 设A为n阶实矩阵 则r A r ATA 证明同刚才的例子完全一致 例14 例15若A为m n实矩阵 r A n m 下式成立的是 A ATA 0 B AAT 0 C 秩 AAT m D 秩 ATA n 34 例16 设A是m n矩阵 B是n l矩阵 则ABX 0与BX 0是同解方程组的 R AB R B 已知BX 0和ABX 0是同解方程组 证 ABX 0与BX 0有相同的基础 解系 即l R AB l R B 所以R AB R B 已知R AB R B ABX 0与BX 0 的基础解系所含解向量的个数相同 又BX 0 的解都是ABX 0的解 所以BX 0的基础解系 也是ABX 0的基础解系 故BX 0和ABX 0有 相同的基础解系 所以是同解方程组 35 36 方程组的各种表示形式