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1 固体物理补充习题固体物理补充习题 十四系用 十四系用 1 将半径为 R 的刚性球分别排成简单立方 简单立方 sc 体心立方 体心立方 bcc 和面心立方 面心立方 fcc 三种 三种 结构 在这三种结构的间隙中分别填入半径为 rp rb和 rf的小刚球 试分别求出分别求出 rp R rb R 和 rf R 的最大值最大值 提示提示 每一种每一种晶体结构中都有多种多种不同的间隙位置间隙位置 要比较不同间隙位置的填充情况 2 格常数为 a 的简单二维密排晶格二维密排晶格的基矢可以表为 1 a ai 2 13 22 aa aij 1 求出其倒格子基矢 1 b和 2 b 证明倒格子仍为二维密排二维密排格子 2 求出其倒格子原胞的面积 b 3 由N个原子 或离子 所组成的晶体的体积V可以写为V Nv N r3 其中v为平均一 个 一 个原子 或离子 所占的体积 r为最近邻原子 或离子 间的距离 是依赖于晶体结构 的常数 试求下列各种晶体结构的 值 1 sc结构 2 fcc结构 3 bcc结构 4 金刚石金刚石结构 5 NaCl结构 4 设两原子间的相互作用能可表示为 mn u r rr 其中 第一项为吸引能 第二项为排斥能 n和m均为大于零的常数 证明 要 使这个两原子系统处于稳定平衡稳定平衡状态 必须满足必须满足n m 5 设晶体的总相互作用能可表示为 mn AB U r rr 其中 A B m和n均为大于零的常数 r为最近邻原子间的距离 根据平衡条件求 1 平衡时平衡时 晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0 2 设晶体的体积可表为V N r3 其中N为晶体的原子总数 为体积因子 若平衡时 晶体的体积为V0 证明证明 平衡时晶体的体积压缩模量体积压缩模量K为 0 0 9 mnU K V 6 设有一由2N个离子组成的离子晶体 若只计入只计入作近邻离子近邻离子间的排斥排斥作用 设两个离子间 的势能具有如下的形式 式中 和 为参数 R为最近邻离子间距 若晶体的Madelung常数为 最近邻的离子 数为Z 求平衡时平衡时晶体总相互作用势能总相互作用势能的表达式 7 由N个原子组成的一维一维单原子晶体 格波方程为 cos n xAtnaq 若其端点固定端点固定 1 证明所形成的格波具有驻波驻波性质 格波方程可表为 sinsin n xAnaqt 最近邻间 最近邻以外 e r 2 e e R R 2 u r 2 2 利用边界条件xN 0 求q的分布密度分布密度和波数的总数波数的总数 3 将所得结果与周期性边界条件周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之 8 由2N个 设N很大 带电荷 q的正负离子相间排列相间排列的一维晶体链 最近邻之间的排斥 能为B Rn 1 试证在平衡时 晶体链的互作用能为 2 0 00 2ln21 1 4 Nq U R Rn 2 若晶体被压缩 使 00 1RR 设 1 证明在晶体被压缩过程中 外力对 每一个一个离子所做的功的主项主项平均为 2 1 2c 其中 2 00 1ln2 4 nq c R 9 由N个原子组成的一维单原子链 近邻原子间的相互作用能可表为 126 4u r xx 其中x为近邻原子间距 试求 1 平衡时的近邻原子间距x0与相互作用能u0 2 若只考虑近邻原子间近邻原子间的相互作用 求原子链的弹性模量K 10 若一维单原子链的格波方程取为 n xAcontnaq 证明 1 格波的总能量为 2 2 1 11 Em 22 n nn nn dx xx dt 这里m为原子质量 为恢复力 系数 求和指标n遍及所有原子 2 每个原子每个原子的时间平均时间平均总能量 22 1 1 2 EmA 11 质量分别为M和m 设M m 的两种原子以a和 1 3a相间排成如图所示的一维晶体链 若只考虑近邻原子间的弹性相互作用 设相 邻原子间的恢复力系数同为 1 写出每种原子的动力学方程式 2 写出格波方程式 3 导出色散关系式 12 在坐标纸上画出二维正方晶格二维正方晶格的前五个前五个布里 渊区图形 13 由N个原子组成的一维一维 链长为L 二维二维 面积为S 和三维三维 体积为V 简单晶格晶体 设格 波的平均传播速度为c 应用 Debye 模型分别分别计算 1 晶格振动的模式密度g 2 截止频率 m 3 Debye温度 D 4 晶格热容CV 5 晶体的零点振动能E0 用N和 m表示 14 由N个质量为m的原子组成的一维单原子链一维单原子链 近邻原子间距为a 相互作用的力常数为 用格波模型格波模型求 1 晶格振动的模式密度g 2 晶体的零点能E0 a a 3 1 m M n 1 n 1 n n n 1 n 1 3 3 晶格的热容量CV 15 在高温下 kBT m 试用 Debye 模型模型求三维简单晶格频率从0到 m中总总的平均声 子数 已知晶体体积为V 格波的传播速度为c 16 在高温下 T D 根据 Debye 理论理论证明由N个原子组成的d维晶体的晶格热容为 1 一维 CV NkB 1 1 36 2 D T 2 二维 CV 2NkB 1 1 24 2 D T 3 三维 CV 3NkB 1 1 20 2 D T 17 Gr neisen常数 1 证明频率为 i的声子模式的自由能为 ln 2 2 i B B k Tsh k T 2 以 表示体积相对改变 那么单位体积晶体的自由能可以表为 2 1 E ln 2 22 i B i B TBk Tsh k T 其中B为体积弹性模量 假设 i q 与体积的依赖关系为 其中 为Gr neisen 常数 如果将 看作与模式无关 证明当 1 22 i i i B Bcth k T 时 F相对于 为极小 18 已知三维晶体在q 0附近一支光学波一支光学波的色散关系为 222 0 xxyyzz qA qA qA q 其中Ax Ay Az为大于零的常数 试求这支光学波这支光学波的模式密度g 的表达式 19 在 Debye 近似近似下证明T 0时 三维晶体中一个原子的均方位移均方位移为 2 2 23 3 8 D R c 其中 为晶体的质量密度 c为声速 D为Debye截止频率 提示 提示 一个格波的平均能量可参考补充题10 2 及T 0时一个格波的能量 1 2 E 20 对于Cu 形成一个Schottky空位所需的能量为1 2 eV 形成一个间隙原子的能量为4 eV 在接近熔点时 1300 K 试估算晶体中空位的浓度和间隙原子的浓度 并比较这两种浓度 的数量级差数量级差 21 若晶体中原子的总数为N 间隙位置的总数为N 形成一个Frenkel缺陷所需的能量为 uf 在一定的温度下 平衡时晶体中有nf个Frenkel缺陷 试由 F nf T 0 导出平衡时 Frenkel缺陷数目的表达式 设nf N N 22 已知1100 C时 碳在 Fe中的扩散系数D 6 7 10 7 cm2 s 若保持表面表面处碳的浓度不变浓度不变 要得到d 1 mm厚的渗碳层 碳的浓度为表面处的一半 问在此温度下需要扩散多长时 间 erf 0 500 0 52050 erf 0 477 0 50005 4 23 设有某种简单立方晶体 熔点为800 C 由熔点结晶后 晶粒大小为L 1 m的立方体 晶格常数a 4 10 10 m 求结晶后每个晶粒中的空位数 已知空位的形成能为1 eV 若 晶体在高温形成的空位 降到室温后聚集到一个晶面上 形成一个空位园片 以致引起晶 体内部的崩塌 结果将转变为何种形式的晶格缺陷 求出此时每个晶粒中的位错密度位错密度 24 证明在T 0 K时 金属中自由电子气的状态方程为 PV5 3 const 这里P为电子气的 压强 V为金属的体积 已知Cu的电子密度n 8 45 1022 cm 3 计算Cu中电子气的压 强为多少个大气压 提示提示 利用热力学第一定律 25 证明T 0时自由电子气的体积弹性模量 10 9 U K V 这里U为自由电子的总能量 V为 金属的体积 若已知钾的电子密度为1 4 1022 cm 3 求钾的体积弹性模量 26 在长为L的一维金属链中共有N个自由电子 在T 0 K时 求 1 电子的能态密度N E 2 晶体链的费米能级EF0 3 一个电子的平均能量E 27 假设每个铜原子贡献一个一个自由电子 试计算室温 300 K 下电子气体电子气体的热容量 并将所 得结果与铜的总热容量总热容量24 J mol K的数值进行比较 已知铜的原子量为63 5 密度为 8 9 g cm3 28 证明电子密度为n的二维自由电子气的化学势可由下式给出 Tk T n m k T B B l n expl n exp 2 1 其中m为电子质量 29 在低温下 金属钾摩尔热容量的实验结果可表为 C 2 08T 2 57T3 10 3 J mol K 试求 1 钾的Debye温度 D 2 Fermi温度TF 3 在Fermi面上一摩尔金属的电子能态密度N EF0 30 已知Cu的电子密度为n 8 45 1022 cm 3 Debye温度 D 315 K 1 求当T为何值时 电子热容等于晶格热容 2 计算T 300 K时一摩尔Cu的电子顺磁磁化率 31 利用Sommerfeld展开式证明 在kBT EF0时一个一个自由电子的平均动能平均动能近似为 2 20 12 5 1 5 3 F F T T EE 32 已知Na为bcc结构 晶格常数为a 4 28 10 10 m 1 用自由电子模型计算其Hall系数RH 2 设有一长方形Na晶片 长为 宽为5 mm 厚为1 mm 若沿晶片长边方向通以100 mA 的电流 并将其置于0 1 T的磁场中 磁场方向垂直于晶片 求Hall电压VH的大小 33 若一维晶体势为 其中a 2d 用近自由电子近似求前两个不为零不为零的能隙能隙 V x 0 na x n 1 a d U0 n 1 a d x n 1 a 5 34 一维周期场中电子波函数 k x 应当满足Bloch定理 若晶格常数为a 电子波函数为 1 sin k x x a 2 3 cos k x xi a 3 k xf xa 4 k xif xa 试求电子在这些状态中的简约波矢简约波矢和广延波矢广延波矢 35 分别分别求出二维正方晶格二维正方晶格简约区中沿 M 和 XZM 轴自由电子能量函数En k 能量最低能量最低的 前四条曲线前四条曲线的表达式表达式 画出其示意图示意图并给出各曲线的简并度各曲线的简并度 36 分别分别求出简单立方晶格简单立方晶格简约区中沿 X 轴 即方向 和 R 轴 即方向 自由电子能量函数En k 能量最低能量最低的前五条曲线前五条曲线的表达式表达式 画出其示意图示意图并给出各曲线的 简并度 各曲线的 简并度 37 由同种原子组成的二维密排结构二维密排结构晶体 原子间距为a 作图画出其前三个布里渊区前三个布里渊区图形 并求 1 每个原子有一个价电子时的费米半径kF 2 第一布里渊区的内切圆半径k1 3 内切圆为费米圆时的电子浓度 1 即平均每个原子的价电子数 4 每个原子有两个两个价电子时的费米半径 画出简约区中近自由电子近似的费米面图形 38 分别求fcc和bcc结构中第一布里渊区的外接球外接球为费米球时各自各自所对应的电子浓度电子浓度 平均 每个原子的自由电子数 若分别有一fcc和bcc结构的三价三价金属 那么 其第一布里渊区 的电子是否已完全填满 39 设有晶格常数为a 2a和3a的简单正交晶体 求 1 第一布里渊区体积 b并画出其图形 2 在自由电子近似下 费米面费米面与第一布里渊区边界面分别相切分别相切时所对应的各电子浓度各电子浓度 即 电子 原子比 1 2和 3 3 费米面费米面为与第一布里渊区各边界面同时相切同时相切的椭球面时所对应的电子浓度电子浓度 即电子 原 子比 123 40 分别求出晶格常数为a的面心立方面心立方和体心立方体心立方第一布里渊区内切球内切球所对应的饱和电子浓 度 饱和电子浓 度 f和 b 41 分别分别求出体心立方晶格体心立方晶格简约区中沿 H 即轴 和 P 即轴 自由电子能量 函数En k 能量最低的前五条曲线前五条曲线的表达式表达式 画出其示意图示意图并给出