《一元函数微积分》习题解答第一章.doc

一元函数微积分习题111确定下列函数的定义域：（1）；解：要使函数有意义，则： 即 或.所以函数定义域：.（2）；解：要使函数有意义，则，即.所以函数定义域：(0,1.（3）；解：，即.所以函数定义域：(-1,1.（4）；解：，即.所以函数定义域：.（5）；解：，则。所以函数定义域：（6）.解：,则.(其中是Z整数集),函数定义域：或.2.求函数的定义域和值域,并求和.解:定义域:.当时,故. 所以值域:-1,1.,.3.下列各题中,函数和是否相同,为什么?(1) ;解: 不同因为,即的值域是全体非负实数,而的值域是全体实数.(2) ;解: 相同因为和的定义域均为实数R,值域为-1,1,且(3);解: 不同因为.两函数的定义域不同.(4).解: 相同因为定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设, 证明:.证明: 由三角函数知:.5.设且,试确定a, b的值.解: 因为 故由题设所以有:且得:.6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) ;解: 定义域:所以函数是偶函数.(2);解: 定义域:,且.所以函数既非奇函数又非偶函数.(3);解: 定义域:所以函数是偶函数.(4)解: 定义域:,.所以函数是奇函数.(5);解: 定义域:,则且所以函数既非奇函数又非偶函数.(6).解: 定义域:所以函数是偶函数.7.设为定义在上的任意函数,证明:(1)为偶函数; (2) 为奇函数.证明: 由题设为定义在的函数, 则的定义域也为(1) ,. 故是偶函数.(2) ,.故为奇函数.8. 证明: 定义在上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和.证明: 设是定义在上的任意函数. 由7题知 为偶函数,为奇函数.且 .故命题成立.9. 设为定义在上的奇函数,若在上单增, 证明: 在上也单增.证明: 由题设知对于任意有:不妨设任意的,满足, 则.在上单增, 则 ，奇函数即 所以在上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) ; 解:, 函数是周期函数且周期.(2) ;解: , 函数是周期函数且周期.(3) ;解: ,函数是周期函数且周期.(4) ;解: 非周期函数(5) ;解: , 函数是周期函数且周期.(6) 解: , ,故原函数的周期为两函数的周期和最小公倍数. 所以周期为.11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) ,;解: 构成复合函数, 定义域: .(2) ,;解: 构成复合函数, 定义域: .(3) ,;解: 构成复合函数, 定义域: .(4) ,;解: 不构成复合函数要求, 但是的值域:.(5) ,;解: 构成复合函数, 定义域: .(6) , .解: 构成复合函数, 定义域: .12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1) ;解: ,.(2) ;解: , , .(3) ;解: , , .(4) .解: , , , .13. 求下列函数的反函数:(1) ;解: 原函数的定义域:, 值域:. 反解: . 得反函数: .(2) ;解: 原函数的定义域: , 值域:. 反解: .得反函数: 反函数的定义域:, 值域: .(3) .解: 由于, 则. 原函数的定义域: , 值域:. 反解: , .得反函数: 反函数的定义域: , 值域: .14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x是销售量, y是总价, 试建立总价y和销售量x之间的函数关系式,并作出它的图形.解: 由题知: 当时, ; 当时, ;当时, ;当时, 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数, 其中Q为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L与市场价格p的函数关系式.解: 供应函数则总利润.16. 用p代表单价, 某商品的需求函数为, 当Q超过1 000时成本函数为, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当时 则价格.达到损益平衡, 则 即: 得又因为价格, 故答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足圆柱的体积: .定义域: 18. 已知华氏温度F与摄氏温度的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F或0, 水的沸点温度为212F或100.(1) 写出华氏温度F与摄氏温度的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F与摄氏温度的线性关系, 设当摄氏温度为x时, 华氏温度为y F , 则有关系式 其中a , b为常数. 由题知: 函数关系: (其中x的度量单位是, y的度量单位是F)(2) 函数图形(略) (3) 摄氏20时, y=1.820+32=68(F)习题121（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2（1）证明：，要使，即。只须取N=, 则当时，有因此 。 （2）证明：，要使，即。只须取N=, 则当时，有 因此 。（3）证明：，要使， 只须取，则当 时，有成立 因此 （4）证明：，要使， 只须取，则当 时，有成立 因此 （5）证明：，要使即 只须取，则当时，有成立 因此 （6）证明：，要使，即 只须取，则当时，有成立 因此 3（1）略 （2）解： （3）解： 当 时，没有极限。4（1）解： （2）解： （3）解5（1）是周期函数，不存在。 （2） （3）是周期函数，不存在 （4）不存在 （5）不存在 （6）习题13 1、（1）在时是无穷小 （2）在时是无穷小 （3）在时不是无穷小 （4） n分别为奇数、偶数的结果所以，在时是无穷小2、（1），是无穷小；是无穷大 （2）是无穷小；是无穷大 （3）是无穷小不确切，应该当时，它是无穷小3、证明： 当时，有4、总有，使 从而在内无界又因为总有，使，从而所以不是当时的无穷大5、极限不存在，（无穷大），（无穷小）习题1-41、求下列极限（1）解：= =（2）解：= =（3）解：=-9（4）解：=（5）解：=（6）解：= =（7）解：=（8）解：因为=0，所以=（9）解：=0（10）解：=（11）解：=（12）解：= =2、求下列极根（1）解：=（2）解：=1（3）解：=（4）解：=（5）（6）解： =43、求下列极限：（1）解：=（2）解：（当时，为无穷小量，为有界量）（3）解：（当时，为无穷小量，为有界量）（4）解：（5）解：因， 所以不存在（6）解：4、下列各题的做法是否正确？为什么？（1）错。因为分式分母的极限为零，故不能利用极限的商的运算。正确做法：因，所以（2）错。因为差式中与都不存在，故不能利用差的运算求极限。正确做法：=， 因= 所以（3）错误。因为不存在，故不能利用乘积的根限运算。正确做法：因当时，为无穷小时，为有界量，利用无穷小量与有界量乘积是无穷小量。所以习题151（1）解： （2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解： （11）解：（12）2（1）证明：又 ， 根据夹逼准则知 （2）证明：设 显然。 当， 假定时， 当时，由归纳法知，则有上界； 又 由 知 ， 则单调增加； 根据单调有界准则知数列的极限存在。3解： 由已知 解得 。4解：5年后价值（万元）习题1-61证明： 即即 。2（1）；（2）（3）；（4）3当时，xsinx是x的2阶无穷小。4当时，cosx-cos2x是x的2阶无穷小5（1）d; (2) b; (3) c; (4) a习题1-71（1）的连续区间为； （2） ； -1是间断点连续区间为；2（1），x=0为第1类间断点中的可去型间断点。（2）x=-1为第一类间断点中的跳跃型间断点。3当时，tanx无意义，故为间断点而，故为可去型间断点（第一类）；当x=0时，tanx=0，无意义，故为间断点而，故x=0为可去型间断点（第一类）；当时，tanx=0, 无意义，故为间断点而，故为第二类间断点（无穷间断点）。4 故A=e-15. 所以但f(0)=0,所以f(x)在x=0不连续，x=0是f(x)的可去型间断点。习题181在上连续，又，故则在上连续。2（1）； （2） （3）