解决含参数不等式恒成立问题的基本方法.doc

解决“含参数不等式恒成立问题”的基本方法河南省平顶山市一高 王建设在近几年的高考数学试题中，常常出现“含参数的不等式恒成立问题”。请看下面几则例子：例1(2007安徽理科)若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a-1 (B)1 (C) 1 （D）a1 例2（2007福建文）设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围例3（2009重庆卷理）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D例4（2009江西卷文）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 这些题目都是直接以“含参数不等式恒成立问题”的面目出现。再看下面几则例子：例5（2008全国一）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围例6（2008全国二）设，函数（）若是函数的极值点，求的值；（）若函数，在处取得最大值，求的取值范围例7(2009山东卷文)已知函数,其中 （1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.这几则题目都可以转化为“含参数不等式恒成立问题”。 例5可以转化为对于任意的恒成立问题。例6可以转化为对于任意的恒成立问题。例7可以转化为对于任意的恒成立问题。类似这样的和“含参数不等式恒成立问题”有关的题目在高考中经常出现，它们常常与函数，导数，方程等知识综合在一起，演变出一道道的题目。这些试题猛一看往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，但若能把这些问题转化为“含参数不等式恒成立问题”的这一基本题型的话，处理起来就胸有成竹了。下面通过一个例子来说明这一题型的处理思路。例8 已知，若时，恒成立，求的取值范围。思路一：若时，恒成立，就意味不等式的解集必包含解：（1）当即时，不等式的解集为不等式,满足条件（2）当即时，不等式的解集为：，此时需满足：或解得综合（1）、（2）可知的取值范围为：当给出的不等式比较易于解出时可以考虑运用思路一的方法。思路二：若时，恒成立解：令，则（1） 当，即时 ，得，又，故此时不存在（2） 当，即时 ，得，又，故（3） 当，即时 ，得，又，故综合（1）、（2）、（3）可知的取值范围为：思路二是处理这一题型经常采用的典型方法。思路三：（分离变量）恒成立解：恒成立，令（1） 当时，（2） 当时，（3） 当时，综合（1）、（2）、（3）可知的取值范围为：思路三的关键是把变量和参数分离到不等式的的两边，之后处理起来就方便多了。思路四：（数形结合）恒成立解：恒成立，令，当，的图像总在的图像上方观察图形结合计算可得：数形结合是高中生必须掌握的基本思想方法之一，很多问题如能采用这一方法会出现出人意料的效果。思路五：（特殊到一般）因为对于任意恒成立，所以当取特殊值时仍然成立，找出不等式恒成立的必要条件后进一步研究解：因为对于任意恒成立，所以，解得：令，则（1）当时，得，所以有（2）当时，得，又，故综合（1）、（2）可知的取值范围为：尤其在遇到一些和“含参数不等式恒成立问题”有关的选择题、证明题时，运用思路五往往会取得出奇制胜的效果。思路五经常和思路二结合运用。所选的这道例题可以说基本概括了解决含参数不等式恒成立问题的常用的基本方法。但在某些含参数不等式恒成立问题中，会给出参数的范围而求变量的范围，在这种情况下只需把参数视为变量，变量视为参数来处理就可以了。处理这一类问题的原则就是已知谁的范围就把谁视为变量，另一个是为参数。下面的例9就是这样的一道题目。例9（2007辽宁文）已知函数，且对任意的实数均有，（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识。在遇到含参数不等式的恒成立的数学问题时经常利用转化、数形结合、