2011年三校生高考数学试卷.docx

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1 已知集合 ， ，则 【答案】 2 设复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的模为 【答案】 3 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 【答案】 4 “ ”是“ ”成立的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分5 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】 6 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 【答案】47 从集合 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 【答案】 8 在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点 (2 ， ) ( )，则线段 长度的最小值为 【答案】 9 函数 ， ， 在 上的部分图象如图所示，则 的值为 【答案】 10各项均为正数的等比数列 中， 当 取最小值时，数列 的通项公式an= 【答案】 11已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点 ， ， ， 若 ，则实数 的值为 【答案】 12过点 作曲线 ： 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，过点 再作曲线 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，依次下去，得到第 个切点 则点 的坐标为 【答案】 13在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ， ，CD 若 ，则 的值为 【答案】 14已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值范围是 【答案】 二、解答题15如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，四条侧棱长均相等（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 证明：（1）在矩形 中， ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 6分 （2）如图，连结 ，交 于点 ，连结 ， 在矩形 中，点 为 的中点， 又 ， 故 ， ， 9分 又 ， 平面 ， 所以 平面 ， 12分 又 平面 ， 所以平面 平面 14分16在ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c已知 （1）求角 的大小； （2）设 ，求T的取值范围解：（1）在ABC中， ， 3分 因为 ，所以 ， 所以 ， 5分 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 7分 （2） 11分 因为 ，所以 ， 故 ，因此 ， 所以 14分 17某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为 的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为 的均匀介质，两侧的温度差为 ，单位时间内，在单位面积上通过的热量 ，其中 为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ）（1）设室内，室外温度均分别为 ， ，内层玻璃外侧温度为 ，外层玻璃内侧温度为 ， 且 试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用 ， 及 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？ 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为 ， ， 则 ， 2分 6分 9分（2）由（1）知 ， 当 4%时，解得 （mm） 答：当 mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% 14分 18如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，离心率为 分别过 ， 的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值（1）解：由题意，得 ， ，故 ， 从而 ， 所以椭圆的方程为 5分（2）证明：设直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 7分 由得，点 ， 的横坐标为 ， 由得，点 ， 的横坐标为 ， 9分 记 ， ， ， ， 则直线 ， 的斜率之和为 13分 16分19已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列，数列 是首项为1，公比为 的等比数列 （1）若 ， ，求数列 的前 项和；（2）若存在正整数 ，使得 试比较 与 的大小，并说明理由解：（1）依题意， ， 故 ， 所以 ， 3分 令 ， 则 ， 得， ， ， 所以 7分 （2）因为 ， 所以 ，即 ， 故 ， 又 ， 9分 所以 综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时， 16分（注：仅给出“ 时， ； 时， ”得2分）20设 是定义在 的可导函数，且不恒为0，记 若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶负函数”；若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶不减函数”（ 为函数 的导函数）（1）若 既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数” ，如果存在常数 ，使得 恒成立，试判断 是 否为“2阶负函数”？并说明理由解：（1）依题意， 在 上单调递增， 故 恒成立，得 ， 2分 因为 ，所以 4分 而当 时， 显然在 恒成立， 所以 6分 （2）先证 ： 若不存在正实数 ，使得 ，则 恒成立 8分 假设存在正实数 ，使得 ，则有 ， 由题意，当 时， ，可得 在 上单调递增， 当 时， 恒成立，即 恒成立， 故必存在 ，使得 （其中 为任意常数）， 这与 恒成立