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中考几何模型解题法研修课论文 宋海平第一讲 以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。第二讲 弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。第三讲 在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。 第四讲 中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。第五讲 几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90度角，中间夹一个45度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，快速找到题目的突破口，提升解题的效率。 第六讲 本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。一、角平分线模型一、 精讲精练【模型一】夹角模型OA、OC分别是BAC、BCA的角平分线，则：AOC=90+B BP、CP分别是ABC、ACD的角平分线，则：P=AAD、CD分别是EAC、FCA的角平分线，则： D=90-B1. 如图，在ABC中，B60，A、C的角平分线AE、CF相交于O求证：OEOF2. （2011湖北黄冈）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_.3. （2011年山东临沂）如图，ABC中，AB=AC，AD、CD分别是两个外角的平分线.（1）求证：AC=AD；（2）若B=60，求证：四边形ABCD是菱形.【模型二】角平分线加垂直ABAC，AB=AC，CE是ACB的平分线，BECE，则: BE=CF4. （2011大连）在ABC中，A90，点D在线段BC上，EDBC，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F（1）当ABAC时（如图1），EBF_；探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当ABkAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）【模型三】角平分线加平行线OP是MON的角平分线，ABON，则：OA=AB5. （2011江苏宿迁）如图，在梯形ABCD中，ABDC，ADC的平分线与BCD的平分线的交点E恰在AB上若AD7cm，BC8cm，则AB的长度是 _cm6. （2011山东滨州）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.【模型四】四边形对角互补模型A+C=180，BD是ABC的平分线，则:AD=CD7. （2011年山东临沂前两问）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由弦图模型n 。一、 知识提要1. 弦图基本模型模型一： 模型二：2. 弦图模型之变形 二、 专项训练【板块一】弦图基本模型1. 如图，RtABC中，CDAB，垂足为D，DEAC，垂足为E，求证：2. 如图，梯形ABCD中，AB/DC，B=90，E为BC上一点，且AEED若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，则AB的长为_3. 在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边向ABC外作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长. 【板块二】弦图模型之变形4. （2011乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若APD=60，则CD的长为 .5. （2011锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点若B=AMD=C=45，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A3 B4 C5 D66. （2011荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，CPD=A=B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A1对B2对 C3对D4对7. 在ABC中，AC=BC，ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB相似基本模型三、 知识提要1. 相似基本模型1：“A” 字型相似及其变形2. 相似基本模型2：“8” 字型相似及其变形四、 专项训练1. 四边形EFGH是ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形边长EF=_. 2. 如图，在ABC中，AED=B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A.B. C.3D.3. 如图，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC=90，将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连接EF交CD于M已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（）A.5：3B.3：5 C.4：3D.3：44. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF：AB等于（）A.1：3B.1：4 C.2：5D.3：85. 如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于_.6. 已知：如图，ABC中，AECE，BCCD，求证：ED3EF. 7. 已知：如图，梯形ABCD中，ABDC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点，求证：MD：MEND：NE.巧用轴对称解线段和差最值【板块一】线段和最小1. 如图，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 DADEPBCADEPBCADEPBCADEPBC2. 如图，在五边形ABCDE中，BAE=120，B=E=90，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得AMN周长最小时，则AMN +ANM的度数为（ ）A. 100 B. 110 C. 120 D. 1303. 如图， 在锐角ABC中， AB=，BAC=45,BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是_.4. （2011福州）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线对称.（3）过点B作直线BKAH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值. 5. 已知四边形PABQ在坐标系中的位置如图所示，则当四边形PABQ的周长最小时，a= 【板块二】线段差最大6. （2009四川眉山）如图，已知直线与轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0) (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标大角夹半角模型原题剖析： 如图，已知在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有EAF=45，求证：BE+DF=EF模型提取：题型对比：1.（2008天津）已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，NCABEFMN图（）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；CABEFMN图（）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由实战训练2. （2010重庆改编）边长为2的等边ABC的两边AB、AC上有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC. 探究：当M、N分别在AB、AC上移动时，AMN的周长是否为定值？典型特例：3.如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形，且APB=120，CD=3，设AC=x、BD=y，求y关于x的表达式4.如图，在ABC中，AB=AC=2，BAC=20动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ=100设BP=x，CQ=y ， 求y与x之间的函数关系式.5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起，A为公共端点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（D、E不与B、C重合），设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一组进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量的取值范围6. 如图，在ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求ABC的面积四点共圆【板块一】对角互补1. 如图，在ABC中，ADBC于D，DNAC于N，DMAB于M，求证：ANM=B2. 如图，在四边形ABCD中，已知BAD=60，ABC=90，BCD=120，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点求证：（1）PBD=30；（2）AD=DC【板块二】同线段同侧所张的角相等3. 如图，在四边形ABCD中，BCAB，A在BC的垂直平分线上，D在AC的垂直平分线上，且CAD=ABD，则ABC+ADC=（）A90B12