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考试试题纸卷课程名称 数理方法 专业班级 2017 题号一二三四五六七八九十总分题分201515152015100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、 填空题（按顺序将正确答案填写到答题本上。本大题共5小题，每小题4分，共20分）1 每一个物理过程都处在特定的条件之下，常常使用一个偏微分方程和相应的初始条件和边界条件对物理过程中的某个状态的变化过程进行描述，形成一个（A）问题。偏微分方程只给定初始条件时称为（B）问题。解的（C）称为问题的适定性。2 二阶线性偏微分方程属于（D）型方程。 3 以下说法：（1）第一类n阶Bessel函数与第二类Bessel函数是线性无关的；（2）半奇数阶的第一类Bessel函数都是初等函数；（3）任意两个第一类Bessel函数都是线性相关的；（4）对任何正数n,；（5）n为整数时，n不为整数时，。其中正确的有（E）。4 由波动方程确定的解依赖过的两条直线在轴所截得的区间 （F） 上的初始条件，这两条直线与轴围成的三角形区域称为由依赖区间所确定的 （G） .5 边值问题 的固有值为 （H） ,固有函数为 （I） . 二、（15分）用达朗贝尔公式求解半无界区域上弦振动定解问题：三、（15分） 用分离变量法求解定解问题：四（15分）求解定解问题：五、（20分） I 求证 的Fourier逆变换为 ；II用积分变换法求解下列定解问题：六、（15分）I 求证二阶线性微分方程都可在适当变量替换下化为Bessel方程。II 求解的通解。 参考解答：一、 填空题1. A 定解 B 初值（或Cauchy问题） C 存在性、唯一性和稳定性2. D 双曲3. E (1)(2)(4)4. F x-3t,x+t ,G 决定区域5. H I 二、解：无界区域上波动方程 的达朗贝尔公式为：对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：即可， ,代入达朗贝尔公式得 二、 解：设，则，分离变量成为，则，解前一方程，得固有值和固有函数，代入方程中可得， 由叠加原理，原方程有解。考虑所给初值条件，有： ，则， ， 故，原问题的定解为。四、解：首先，作变换，将边界齐次化，只需令 原定解问题就可化为函数的定解问题：，特别地，当时泛定方程可进一步化为更简单的形式。然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程在边界时的固有值和固有函数， 利用常数变易法构造满足原泛定方程的解 代入得：。由于，可令解得，故原方程的解为： 五、解：I II 对所给初值问题关于变量作Fourier变换，记，并设的Fourier变换为 ，的Fourier变换为，得： ，对其求解可得.进行Fourier逆变换，并利用卷积性质，有：六、I 证：令取 ，则代入方程中，变形为 若令，方程成为：这是一
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