图形变换相似三角形综合应用.doc

1 26 相似三角形综合应用 2014 年中考怎么考 内容基本要求略高要求 相似三角形了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与 判定进行简单的推理和计算 会利用三角形的相似解决一 些实际问题 自检自查必考点 模型一 角分线模型 1 内角平分线 是的角平分线 则 ADABC ABBD ACCD 证明 过 作交直线于 CCEAD ABE CEAD 1E 23 又 平分 ADBAC 12 3E AEAC 由可得 CEAD ABBD AECD ABBD ACCD 2 外角平分线 的外角平分线交对边的延长线于 BAC BCD 则 ABBD ACCD 3 2 1 E D C B A DCB A D C B A 2 26 证明 过 作交直线于 CCEAD ABE CEAD 13 24 又 平分 ADCAF 12 34 AEAC 由可得 CEAD ABBD AECD ABBD ACCD 模型二 梯形模型 若 则ADBCab 22 ADEABEBECDEC SSSSaabbab E D CB A 中考满分必做题 考点一 与公共边有关的相似问题 例 1 如图 在矩形中 对角线 相交于点 为的中点 ABCDACBDGEAD 连接交于 连接 若 则下列四对三角形 BEACFFD90BFA 与 与 与 与 BEA ACD FED DEB CFD ABG ADF 其中相似的为 CFB G A BC D E F A B C D 答案 D 解析 故 2 AEEF EB 2 DEEF EB FEDDEB F 4 3 2 1 E DCB A 3 26 例 2 如图 矩形中 于 恰是的中点 下列式子成 ABCDBEAC FECD 立的是 F EDC BA A B C D 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 答案 A 例 3 如图 中 于 于 于 交于 ABC ADBC DBEAC EDFAB FBEG 的延长线交于点 求证 FDACH 2 DFFG FH H G D F E C B A 解析 可通过射影定理转化成证明 证明 即可 AF BFFG FH BFG HFA 例 4 如图 中 于为的中点 的延 ABC 90ACB CDAB DE BC DEAC 长线交于 F 求证 ACFA BCFD 3 2 1 F D E C BA 答案 为中点 又 CDBC EBCEDEC 12 又 290390BB 13 FF FCDFDA 又 FAAD FDCD 4 26 3390ACBADC ABCACD ADAC CDBC ACFA BCFD 巩固 在中 过直角顶点 作斜边的垂线 取的中点 RtABC BACBDBCE 连接并延长交的延长于点 求证 EDBAF FDAB FBBC F E D CB A 解析 FADFDB FDADAB FBBDBC 例 5 如图 在中 平分 的垂直平分线交于 交 ABC ADBAC ADADE 的延长线于 BCF 求证 2 FDFB FC E FDC B A 4 3 2 1 A E BD CF 答案 连接 垂直平分 即 AFEFADAFDF 4DAF 423 又 平分 41B 231B ADBAC 12 又 又 3B CFAAFB CFAAFB 2 FAFC FB AFDF 2 FDFB FC 巩固 如上图 在中 的垂直平分线交于 交 ABC 2 FDFB FC ADADE 的延长线于 BCF 5 26 求证 平分 ADBAC E FDC B A 答案 连接 垂直平分 AFEFADAFDF 2 DFFC FB 又 2 AFFC FB AFFB FCAF AFCBFA AFCBFA 3B 423 41B 即平分 231B 12 ADBAC 例 6 已知 如图 为等边三角形 且的两边交直线 ABC 120DAE DAE 于两点 求证 BC DE 2 BCBD CE E D CB A 3 2 1 E D CB A 解析 又12060DAEBAC 1260 360 160E 2E 即360ABC 120ABDACE ABDECA ABCE BDAC AB ACBD CE ABACBC 2 ABBD CE 考点二 与旋转有关的相似问题 例 7 如图 直角梯形中 为梯形内一 ABCD90BCD ADBC BCCD E 点 且 将绕 点旋转使与重合 得到 90BEC BEC C90 BCDCDCF 连交于 已知 则的值为 EFCDM 53BCCF DM MC 6 26 A B C D 5 33 54 33 4 M F E D CB A 答案 C 例 8 如图 四边形和均为正方形 求 ABCDBEFG AG DF CE A B C D E F G G F E D CB A 答案 连接 BDBF ABBC BGBEABGCBE ABBC BGBE ABGCBE AGCE EFBE EFBE 45 2EBFBFBE BCCD BCCD 45 2CBDBDBC 2 BDBF FBDCBE BCBE FBDEBC 2 DFBD ECBF 1 2 1AG DF CE 例 9 1 如图 1 等边中 为边上的动点 以为一边 向 ABC DABCD 上作等边 连接 求证 EDC AEAEBC 2 如图 2 将 1 中的等边改为以为底边的等腰三角 ABC BC 形 所作的改成相似于 请问 是否有 证明 EDC ABC AEBC 你的结论 7 26 E D C B A D E B C A 答案 1 由 得 故 ACEBCD EACACB AEBC 2 由 得 故 ACEBCD EACBACB AEBC 考点三 与三角形有关的相似综合题 例 10 如图 内有一点 过 作各边的平行线 把分成三个三 ABC PPABC 角形和三个平行四边形 若三个三角形的面积分别为 123 SSS 则的面积是 1 12 ABC P S3 S2 S1 I HG F ED CB A 解析 设的面积为 则 ABC S 312 1 SSS PDPEHGBHHGGC BCBCBCBCSSS 故 22 123 1 1264 2SSSS 答案 64 2 例 11 如图所示 是一个凸六边形 分别是直线与 ABCDEFP Q RBAEF 与 与的交点 分别是与 与 FECDDCABSTUBCEDDEAF 与的交点 如果 求证 FACBAB PRCD RQEF QP BC USDE STFA TU 8 26 T S U RQ P F E DC B A 答案 本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式 且 ABCD 构成一个与相似的三角形的三边 因而可以考虑通过平移EFPQR 变换将 集中到一起构成一个与相似的三角形 ABCDEFPQR 如图所示 将平移至位置 则 且 CDOEOECD OECD T S U RQ P O F E DC B A 所以 且 FEOQ EO QRCD QREF QP 因此 从而 且 FEOPQR OFEP FO PREF QPAB PR 这说明 且 进而 且 FOAB FOAB FAOB FAOB 又因为 于是 所以 CODE COBSTU BC USCO STOB TU 注意到 故 CODE OBFA BC USDE STFA TU 例 12 已知 的高所在直线与高所在直线相交于点 ABC ADBEF 1 如图l 若为锐角三角形 且 过点作 ABC 45ABC F 交直线于点 求证 FGBC ABGFGDCAD 2 如图 2 若 过点作 交直线于点 135ABC FFGBC ABG 则之间满足的数量关系是 FGDCAD 3 在 2 的条件下 若 将一个角的顶点 5 2AG 3DC 45 与点 重合并绕点 旋转 这个角的两边分别交线段于两 BBFG MN 9 26 点 如图 3 连接 线段分别与线段 线段相交于 CFCFBMBN 两点 若 求线段的长 P Q 3 2 NG PQ 图 1 G F E DCB A 图 2 G F E D C B A 图 3 N Q P A BC D E F G M 答案 1 证明 9045ADBABC 45BADABC ADBD 90BEC 90CBEC 90DACC CBEDAC 90FDBCDA FDBCDA DFDC GFBD 45AGFABC AGFBAD FAFG FGDCFADFAD 2 FGDCAD 3 如图 135ABC 45ABD 90ADB 45DABDBA ADBD FGBC GDBADAB AFFG 222 5 2AGFGAFAG 5FGAF 由 2 知 3CD FGDCAD 2ADBD 13BCDF 为等腰直角三角形 FDC 22 3 2GCDFDC 分别过 作于点 于点 四边形为矩BNBHFG HNKBG KDFHB 形 23HFBDBHDF 3BHHG 2 BGBH sin NK G NG 3 2 4 NK 9 2 4 BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB MBHNBK MHBH NKBK 1MH 1FM BCFG BCFCFN BPCMPF CBFM BPCMPF 13 2 22 PCPFFC 10 26 K HM G F E D CB A P Q N BQCNQF BCQNFQ BCCQ NFFQ 2 7 CQ FQ 223 2 3 2 993 CQFC 5 2 6 PQCPCQ 考点四 与相似有关的动点问题 例 13 如图 中 点 从 出发 沿方向以 ABC 3 908 5 AC CBC AB PBBC 的速度移动 点 从 出发 沿方向也以的速度移动 若 2 s Q CCA1 s 分别从出发 经过多少时间与相似 PQ BC CPQ CBA Q P CB A 答案 设 3 908 5 AC CBC AB 35ACkABk 222 ACBCAB 即 解得 负值已舍去 222 3 8 5 kk 2k 6AC 设经过 后与相似 此时s tCPQ CBA 282BPtPCtCQt 本题需分两种情况 1 当时 CABCQP 即 解得 CQCP CACB 82 68 tt 2 4t 2 当时 CABCPQ 即 解得 CQCP CBCA 82 86 tt 32 11 t 综上 当秒或秒时 与相似2 4t 32 11 CPQ CBA 11 26 例 14 如图 在矩形中 点 沿边从点 开始向点 ABCD 126ABBC PABA 以秒的速度移动 点 沿边以秒的速度从点开始移动 B2 Q DA1 D 如果同时出发 用 秒 表示移动的时间 PQ t 06 t 1 当 为何值时 为等腰直角三角形 t QAP 2 求四边形面积 提出一个与计算结果相关的正确结 QAPC 论 3 当 为何值时 以点为顶点的三角形与相似 t QAP ABC Q P D C B A 答案 1 当为等腰直角三角形时 QAP APAQ 26tt 2t 2 即四边形的面积 11 6 122636 22 QACAPCQAPC SSStt 四边形 QAPC 为定值 3 分 2 种情况 当时 即 解得 APQBAC 2 APBA AQBC 2 2 6 t t 3t 当时 即 解得 AQPBAC 2 AQBA APBC 6 2 2 t t 6 5 t 综上当或 时 以点为顶点的三角形与相似 3t 6 5 QAP ABC 中考满分必做题 例 1 如图 已知在等腰 中 A B 30 过点C作 交于点 D 若过A D C三点的圆 的半径为 则线段上是否存在一点 O3 P 使得以P D B为顶点的三角形与 相似 若存在 则的长 为 BA C D 12 26 BA C DO P1 P2 09 年浙江丽江中考试题 解析 120 90 30 B 又 在 中 30 过点D作1 交于点P1 则 33 P1 1 OC DP1 OB DB 32 OB DB 32 3 3 2 3 过点D作2 交于点P2 则 2 OC DP2 BC BD 3 22 OCBO 22 332 2 1 BC BD 3 3 3 例 2 如图 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 2 2 点P是线段上 的一个动点 不与 O A 重合 过点P作 x轴于Q 以为边向右 作正方形 连接并延长交x轴于点B 连接 设 t 与 相似 时 则 的面积为 BMQO PN A y x BMQO PN A y xH 图 2 09 年甘肃中考试题 答案 或 9 1 25 9 13 26 解析 当 0 t 1 时 如图 1 若 则 即 NM BM OM NM t t t tt 2 22 2 t t 23 2 S 当 1 t 2 时 3 2 t 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 9 1 如图 2 若 则 即 NM BM OM NM t t t tt 2 22 2 t t 25 6 5 6 t 2 1 5 3 S 2 1 2 1 5 3 5 6 25 9 例 3 如图 90 是 的平分线 点P在上 Error 将三角板的 直角顶点放置在点P处 绕着点P旋转 三角板的一条直角边与射 线交于点E 另一条直角边与直线 直线分别交于点F 点G 1 当点F在射线上时 求证 设 x y 求y与x的函数解析式并写出函数的定义域 2 连接 当 与 相似时 求的长 12 年中考模拟试题 A CB F P D GE A CB P D 备用图 14 26 解析 1 证明 过点P作 垂足分别为M N 是 的平分线 由 90 得 90 1 90 2 90 1 2 解 Error 1 x 1 x 2 x Error Error 即 Error Error Error y Error 2 x 0 x 1 2 当 与 相似时 点F的位置有两种情况 当点F在射线上时 90 1 G 1 在 中 2 2Error 当点F在延长线上时 90 1 2 3 2 1 45 5 1 45 2 5 2 易证 3 4 可得 5 4 Error Error 1 易证 Error 1 Error Error 即 Error Error 1 Error 1 Error 1 2Error A CB F P GE 1 D A CB M P F G NE 1 5 2 3 4 D A CB F P D E M N 2 1 G 15 26 例 4 如图 在 中 90 是斜边上的中线 10 Error 点P 是延长线上的一动点 过点P作 交延长线于点Q 设 x y 1 求y关于x的函数关系式及定义域 2 连接 当平分 时 求的长 3 过点B作 交于F 当 和 相似时 求x的值 2012 年上海模拟试题 解析 1 在 中 90 10 Error Error 6 8 是斜边上的中线 Error 5 又 90 Error Error Error 即 Error Error y Error x 4 x 5 2 过点B作 于H 平分 y A P CQ E B A BC E 备用图 A BC E 备用图 A B P CQ E H 16 26 Error Error Error x 4 Error x 11 3 90 A 当 和 相似时 则 和 也相似 有两种情况 当 A时 在 中 90 5 Error y Error Error x 4 Error 5 解得x 10 当 时 在 中 90 5 Error y Error Error x 4 Error 5 解得x Error 当 和 相似时 求x的值为 10 或 Error 例 5 如图 1 在 中 点B在边上 6 12 C 90 动点M和N分别在线段和边上 1 求证 并求的值 2 当 4 时 与 相似 求 与 的面积之比 3 如图 2 当 时 以所在直线为对称轴将 作轴对称变换得 设 x 与四边形重叠部分的面积为y 求y关于x 的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2012 年上海模拟试题 A B P CQ E F A B P CQ E F A O N C B M 图 1 A O N E C B M 图 2 17 26 解析 1 90 C 90 C 6 12 6 18 6Error Error 12Error 18 2 Error 18 12 2 C 30 Error Error 60 6 30 12 当 时 如图 1 4 S S 2 2 4 2 12 2 1 9 当 C时 如图 2 4 S S 2 2 4 2 12Error 2 1 27 3 易得S Error Error 12 6Error 36Error S S 2 2 S 36Error x 2 12 2 S x 2 当与线段相交时 设与交于点F 如图 3 C 30 x 以所在直线为对称轴将 作轴对称变换得 30 90 Error Error Error x S S y x 2 Error x x 1 2 y x 2 0 x 8 当与线段不相交时 设与交于点G 如图 4 A O N B C 图 1 M A O N B C 图 2 M A O N E C B M 图 3 F A O N E C B M 图 4 G 18 26 12Error 12 x 12 12Error Error x S S 2 2 S 36Error 12Error Error x 2 12 2 S 12Error Error x 2 S阴影 S S S 36Error x 2 12Error Error x 2 即y Error x 2 18Error x 72Error 8 x 12 例 6 如图 中 90 4 点O为边的中点 点M是边上一动 点 不与点 B C 重合 垂足为点A 连接 将 沿直线翻 折 点B落在点B1处 直线1与 分别交于点F N 1 当 120 时 求的长 2 设 x y Error 求y关于x的函数关系式 并写出自变 量x的取值范围 3 连接 与边交于点E 当 时 求的长 2012 年上海模拟试题 解析 1 120 60 30 中 30 2 Error 2 连接 1 B1 B1 B1N 又 1 90 D A C B N O F M B1 D A C B N O F M B1 19 26 1M B 90 1O 1N 12 B1M B1N 又B1M x 1 2 2 2 x B1N B1N Error Error 90 又 B 90 y Error Error Error x 2 x 4 x 即y Error x 2 x 0 x 4 3 由题意知 C 45 若 则有两种情况 或 当 时 有 由 2 知 B1 C 45 中 45 2 当 时 60 中 60 2 综上所述 当 时 求的长为 2 或 2 例 7 在平面直角坐标系中 点C的坐标为 0 4 A t 0 是x轴上 一动点 M是线段的中点 把线段绕点A按顺时针方向旋转 90 得到线段 过点B作x轴的垂线 过点C作y轴的垂线 两直线 交于点D 直线交x轴于点E 1 若t 3 则点B的坐标为 若t 3 则点B的坐标为 2 若t 0 当t为何值时 的面积等于 6 3 是否存在t 使得以B C D为顶点的三角形与 相似 若 存在 求此时t的值 若不存在 请说明理由 2012 年江苏模拟试题 D A C B N O M B1 F E D A C B N O F M B1 E B EAO M DC y xO C y x 备用图 20 26 解析 1 5 Error 1 Error 2 当 0 t 8 时 如图 1 90 90 90 又 90 Error Error Error Error 即 Error Error Error 2 Error t B t 2 Error t S Error Error t 2 4 Error t 6 解得t 2 或t 4 当t 8 时 如图 2 S Error Error t 2 Error t 4 6 解得t 10 或t 4 舍去 当t 2 或t 4 或t 10 时 的面积等于 6 3 当 0 t 8 时 如图 1 若 则 Error Error 即 Error t无实数解 4 若 同理 解得t 2 Error 2 舍去 或t 2 Error 2 当t 8 时 如图 2 若 则 Error Error 即 Error 解得t 4 Error 8 舍去 或t 4 Error 8 若 同理 t无实数解 当 2 t 0 时 如图 3 若 则 Error Error 即 Error t 4 Error 8 或t 4 Error 8 舍去 4 B EAO M DC y x 图 4 B E A O M DC y x 图 3 B EAO M DC y x 图 1 B EAO M D C y x 图 2 21 26 若 同理 t无实数解 当t 2 时 如图 4 则 Error Error 即 Error t无实数解 4 若 同理 解得t 4 或t 4 舍去 存在t 2 Error 2 或 4 Error 8 或 4 Error 8 或 4 使得以 B C D为顶点的三角形与 相似 例 8 如图 1 在平面直角坐标系中 直线l与坐标轴相交于 A 2Error 0 B 0 Error 两点 将 绕原点O逆时针旋转得到 A 1 求直线l的解析式 2 若 垂足为D 求点D的坐标 3 如图 2 若将 绕原点O逆时针旋转 90 A B 与直线 l相交于点F 点E为x轴上一动点 试探究 是否存在点 E 使得以点A E F为顶点的三角形和 A 相似 若 存在 请求出点E的坐标 若不存在 请说明理由 2012 年山西中考试题 y B D l AxO B A 图 1 y B F l AxOB A 图 2 22 26 解析 1 设直线l的解析式为y b 点A 2Error 0 B 0 Error 在直线l上 解得 直线l的解析式为y Error x Error 2 A 2Error 0 B 0 Error 2Error Error Error 5 即 Error Error Error 2Error Error Error 5 2 过点D作 x轴于点H 如图 1 则 90 在 中 Error Error Error Error 2 在 中 设 a 则 2a 2 2 2 a 2 4a 2 2 2 a 0 a 224 点D的坐标为 24 3 存在点E 使得以点A E F为顶点的三角形和 A 相 似 理由 A 由 逆时针旋转 90 所得 A B A O 又 Error Error 即 Error Error 1 6 2 如图 2 当 A 时 有 Error Error Error 6Error 6Error 2Error 4Error 6 E1 4Error 0 如图 3 当 A 时 有 Error Error Error 2Error 664 y B D l AxO B A 图 1 H y B F l AxOB A 图 2 E y B F l AxOB A 图 3 E 23 26 E2 0 4 综上所述 存在点E1 4Error 0 E2 0 使得以点 4 A E F为顶点的三角形和 A 相似 课后作业 1 如图 1 甲 乙两人分别从A B两点同时出发 点O为坐标原点 点 A 甲沿方向 乙沿方向均以每小时 4 千米的速度行走 t 13 60 小时后 甲到达M点 乙到达N点 1 请说明甲 乙两人到达点O前 与不可能平行 2 当t为何值时 3 甲 乙两人之间的距离为的长 设s 2 求s与t之间的函 数关系式 并求甲 乙两人之间距离的最小值 图 1 2012 年连云港市中考第 26 题 答案 1 当M N都在O右侧时 24 1 2 2 OMt t OA 642 1 63 ONt t OB 所以 因此与不平行 OMON OAOB 2 如图 2 当M N都在O右侧时 B 不可能 如图 3 当M在O左侧 N在O右侧时 不可能 如图 4 当M N都在O左侧时 如果 那么 ONOA OMOB 24 26 所以 解得t 2 462 426 t t 图 2 图 3 图 4 3 如图 2 24OMt 1 2OHt 3 1 2 MHt 64 1 2 52NHONOHttt 如图 3 42OMt 21OHt 3 21 MHt 64 21 52NHONOHttt 如图 4 42OMt 21OHt 3 21 MHt 21 46 52NHOHONttt 综合 s 222 MNMHNH 2 222 3 21 52 16322816 1 12ttttt 所以当t 1 时 甲 乙两人的最小距离为 12 千米 2 如图 等腰中 于 延长交于 ABC ABAC ADBC DCFAB BPACE 交于 CF