苏教版选修11 3.1.1 平均变化率 课件（37张）.ppt

3 1 1平均变化率 平均变化率 1 教材的地位和作用 平均变化率是高中课程标准实验教科书选修1 1第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念 的第一课时 导数是研究函数的有力工具 是进一步学习数学和其他自然科学的基础 本节课从日常生活背景中引出平均变化率的实际意义 再由实际意义到数学意义 体现了实际问题数学化的过程 为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型奠定了基础 教材在导数概念的处理上与以往有了很大的变化 充分注意高中学生的认知水平与特点 不专门介绍极限的形式化定义及相关知识 不把导数作为一种特殊的极限来处理 而是直接通过速度 效率 增长率等反映导数思想和本质的实例 引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程 引入导数的概念 由浅入深 由表及里 层层展示了数形结合 建立数学模型刻画世界的数学思想和数学方法 为进一步发展学生的数学思维能力 也为以后进一步学习微积分打好基础 2 三位一体 的教学目标 1 知识与技能目标 理解平均变化率的意义 体会实际问题数学化的过程 为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的数学背景 并能运用它解决实际问题 体会数学应用的广泛性 2 过程与方法目标 通过对大量实例的分析 让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中 经历运用数学描述和刻画现实世界的 数学化 过程 渗透数形结合的思想方法 鼓励学生善于观察 勤于思考 勇于创新 形成良好的学习习惯 3 情感 态度和价值观目标 让学生在民主 和谐的共同活动中体会数学的博大精深以及学习数学的意义 激发求知欲 感受学习的乐趣 培养学生的探索精神与合作交流的意识 3 教学重点和难点 教学重点 1 平均变化率的实际意义与数学意义 2 让学生体会数形结合的思想方法 感悟数学建模的过程及其应用的广泛性 教学难点 建立数学模型 对生活现象作出数学解释 1 教学方法 探究法 启发式教学 新课程理念指出 教师是学生活动的组织者 指导者 帮助者和促进者 教学活动是学生作为主体的主动建构过程 本节课教学设计力图体现以学生发展为本 遵循学生的认知规律 体现循序渐进与启发式的教学原则 通过 创设情境 提出问题 建立模型 数学应用 的教学模式 调动学生的积极性 激发学生的创造性思维 让学生在思考中体会数学知识形成过程中所蕴涵的思想方法 使之获得内心感受 三 学法分析 学生在物理课上已经研究过平均速度 加速度 对变化率的问题有一些直观的印象 但并没有上升到理论高度 另外学生对直线的斜率可以刻画直线的陡峭程度以及用函数刻画变量的变化过程已经有了一定的了解 从这些知识入手 从已知到未知 符合学生的认知规律 有利于学生更快生成新的概念 另外大部分学生具备较强的直观感受力 而缺乏抽象 概括能力 因此 以问题为背景 让学生经历数学建模的过程 可以让学生真正地体会到数学的价值 从而增进热爱数学的情感 应用数学的自信心和形成新的学习动力 四 过程分析 课堂练习 巩固新知 创设情境 引入课题 提出问题 师生互动 建构数学 形成概念 反思小结 深化认识 布置作业 巧设悬念 学以致用 提高能力 世界充满着变化 有些变化几乎不被人们所感觉 而有些变化却让人们发出感叹和惊呼 下面看三个案例 情境1 现有镇江市今年3月和4月某天日最高气温记载 原来前者变化得 太快 而后者变化得 缓慢 创设情境 引入课题 从4月18日到4月20日 两天时间 气温 陡增 14 8 人们感叹 天气热得太快了 但是3月18日到4月18日 温差为15 1 而人们却不会发出这样的感叹 这是什么原因呢 姚明 情境2 看姚明4岁到22岁身高的变化图 有何感受 1 68 情境3 甲 乙两辆车 速度从0km h分别加速到100km h和80km h 如何评判两车的性能 如果不考虑加速的时间 仅仅分别考察0 100 0 80 能作出判断吗 如果甲用时3分钟 乙用时3秒钟呢 乙的性能好 因为乙启动得快 即速度变化得快 而甲的速度变化得慢 今天我们要研究变量变化速度 也就是变量的变化率的问题 引出课题 创设情境 激发学生的学习兴趣 从而主动参与到知识的生成过程中来 设计意图 现代认知心理学关于思维的研究成果表明 思维过程通常是由问题情境产生的 而且是以解决问题情境为目的的 从生活实际出发 引入学生所熟悉的例子 容易提高学生的学习兴趣 使其更快地融入学习过程 明确学习目标 这也符合从感性到理性 从具体到抽象的认知规律 提出问题 一 用怎样的数学模型来刻画变量变化的快与慢 二 这样的数学模型有哪些应用 提出问题 师生互动 问题是数学的心脏 没有问题就没有数学 提出问题 师生互动 用比值来近似地量化之间的曲线的陡峭程度 并称该比值为气温在区间上的平均变化率 即气温在区间 1 32 上的平均变化率为气温在区间上的平均变化率为虽然ab与bc之间温差几乎相同 但平均变化率却相差很大 通过比较气温的平均变化率感知曲线陡峭程度的量化 位移s是时间t的函数 气温是时间的函数 我们可以从 形 和 数 两个角度来刻画它们随时间变化的快慢 一般地 对于函数y f x 我们如何刻画其函数值f x 随自变量x变化的快慢 由特殊到一般 由具体到抽象 引导学生在已有的认知结构基础上进行新概念的建构 建构数学 形成概念 平均变化率 一般地 函数在区间上的平均变化率为 1 平均变化率是曲线陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率 视觉化 2 用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是粗糙不精确的 但应注意当很小时 这种量化便由粗糙逼近精确 设计意图 从实际生活背景中抽象出数学模型 揭示其本质 让学生在思考中体会数学知识形成过程中所蕴涵的思想方法 使之获得内心感受是本节课的重点 也是难点 在教学设计中我遵循学生的认知规律 体现循序渐进与启发式的教学原则 让学生经历观察 比较 抽象 概括 归纳的过程 在已有的认知结构基础上迁移 建构出新的概念 培养学生研究问题的习惯 增强其学习能力 在引导学生发现 思考的过程中渗透数形结合的思想方法也是本节课的重点 教学过程中应与学生共同体会 无形不直观 无数不入微 的辩证思想 由学生自行讨论 探究 体会实际问题数学化的过程 学以致用 提高能力 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 解 从出生到第3个月 婴儿体重平均变化率为 kg 月 从第6个月到第12个月 婴儿体重平均变化率为 kg 月 问题 这两个不同的变化率的实际意义是什么 用所学知识去解释身边的现象 让学生体会数学知识源于生活又能回归生活 加强学生运用数学的意识 学以致用 提高能力 例2 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙 t秒后容器甲中水的体积 单位cm3 计算第一个10秒内v的平均变化率 解 区间 0 10 上 体积v的平均变化率为 负号表示容器甲中的水在减少 平均变化率的符号代表变化方向 其绝对值代表变化速度 数学应用 例题分析 例3 已知 分别计算在下列区间上的平均变化率 1 2 3 4 5 1 1 t t 0 解 1 在上的平均变化率为 2 在上的平均变化率为 3 在上的平均变化率为 4 在上的平均变化率为 5 在 1 1 t t 0 上的平均变化率为 1 t 1 3 o 指出 平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是 粗糙不精确的 但应注意当很小时 这种量化便由 粗糙 逼近 精确 学以致用 提高能力 学以致用 提高能力 例4 已知函数 分别计算在区间 上两个函数的平均变化率 解 在区间上的平均变化率为 在区间上的平均变化率为 在区间上的平均变化率为 在区间上的平均变化率为 问题 一次函数在区间上的平均变化率有什么特点 等于它的斜率 由特殊到一般 得出结论 一次函数的平均变化率与对应直线的斜率一样 与 直线 内容互动 反过来加深对斜率概念的理解 设计意图 例题的解析是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程 这四个例子都是运用所学概念求平均变化率的问题 例1 例2是生活中例子 例3 例4是数学内部的例子 解题后让学生自己总结 反思 充分调动学生的积极性 提高学生的思维能力 1 小王做生意赚了10万元 小李做生意赚了5万元 如何来评价两人的经营成果 课堂练习 巩固新知 若小王用3年时间赚了10万元 小李用1年时间赚了5万元 如何来评价两人的经营成果 引导学生小结 仅考虑一个变量的变化是不行的 课堂练习 巩固新知 2 国家环保局在规定的排污达标日期前 对甲 乙两家企业进行检查 其连续检测结果如图所示 其中w1 t w2 t 分别表示甲乙两企业的排污量 试比较两个企业的治污效果 引导学生小结 平均变化率的符号代表变化方向 其绝对值代表变化速度 课堂练习 巩固新知 3 甲 乙两人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑的路程和时间的关系分别如图1 2 问 1 甲 乙二人哪一个跑得快 2 两人百米赛跑 问快到终点时 谁跑得较快 巩固新知的同时为下节课瞬时变化率的学习作铺垫 设计意图 练习是为了检验学生对平均变化率概念的理解 巩固所学知识 练习的解答是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程 书写解题过程是对学生思路形成条理化 系统化的过程 这里的三个题目都是运用平均变化率解决实际生活中的效益 效率 速度问题 让学生在解题的同时体会数学应用的广泛性 1 由平均变化率的实际意义到数学意义 体现了实际问题数学化的过程 建立的数学模型具有抽象的特征 也蕴含着数学应用的广阔性 2 注意用数形结合的思想方法 运动变化的观点分析解决问题 3 观察 比较 抽象 概括 归纳是学习数学的有效思维方法 4 由于平均变化率只是一种粗略的刻画 从而有待于进一步精确化 随之而来的便是新的数学模型的建立 反思小结 深化认识 由学生概括 老师补充 共同完成小结 体现师生互动 通过反思深化知识理解 完善认知结构 领悟思想方法 也培养了学生的语言表达 总结归纳的能力 必做题 课本57页练习第4题 65页习题3 1第1题选做题 一物体按规律作变速直线运动 求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平均速度 思考 它在2秒末这一时刻的速度是多少 布置作业 巧设悬念 根据因材施教原则 使每个层面的学生都能在原有的基础上有所进步 五 教学反思 数学教学不仅是关注结果 更应关注过程与方法 注重培养学生探究的数学品质 建构主义理论认为 知识不是被动接受的 而是认知主体积极主动建构的 本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下 让学生经历 创设情境 提出问题 建立模型 数学应用 的活动过程 体验参与数学知识的发生 发展过程 注重师生交往 互动 关注学生的发展和情感体验 并积极引导学生利用数形结合 数学建模的思想探索数学问题 提高思维能力 六 板书设计 3 1 1平均变化率例3例4一 平均变化率的意义二 例题 三 练习 学生板演 例1例2123 感谢各位老师 小强每天早上都要跑步锻炼身体 他今天跑步的位移s关于时间t的函数s t 图象如下 2 小强从起跑到起跑后0 7h这段时间内的平均速度是多少 3