人教A版选修22 推理与证明01合情推理 课件（34张）.ppt

高中数学人教a版选修2 2第二章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 单元结构 no 1middleschool mylove 第二章推理与证明 1852年 毕业于英国伦敦大学的弗南西斯 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时 发现了一个有趣的现象 每幅地图都可以用四种颜色着色 使得有共同边界的国家着上不同的颜色 四色猜想成了世界数学界关注的问题 1976年 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上 用1200个小时做了100亿次逻辑判断 完成证明 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 预学1 归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一个事物都有这种属性 这种推理方式称为归纳推理 简称归纳 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的 一般地 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么推广的一般性结论也就越可靠 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 练一练 数列5 9 17 33 x 中的x等于 a 47b 65c 63d 128 答案 b no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 预学2 类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的其他特征 推断另一类对象也具有类似的其他特征 这种推理方式称为类比推理 简称类比 类比推理是由特殊到特殊的推理 是两类事物特征之间的推理 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 一般地 如果类比的两类对象的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 练一练 鲁班发明锯子的思维过程 带齿的草叶能割破行人的腿 锯子能锯开木材 它们在功能上是类似的 因此 它们在形状上也应该类似 锯子应该是齿形的 该过程体现了 a 归纳推理b 类比推理c 没有推理d 以上说法都不对 答案 b no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 预学3 合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果 个人的经验和直觉 已有的事实和正确的结论 定义 公理 定理等 推测出某些结果的推理方式 尽管合情推理的结果不一定正确 但它是科学发现和创造的基础 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 想一想 关于合情推理的说法不正确的是 合情推理是 合乎情理 的推理 因此其猜想的结论一定是正确的 合情推理是由一般到特殊的推理 合情推理可以用来证明一些数学命题 归纳推理是合情推理 因此合情推理就是归纳推理 答案 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 预学4 合情推理的特点及一般步骤 1 合情推理是指 合乎情理 的推理 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 2 一般来说 由合情推理所获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 3 合情推理的一般步骤概括为从具体问题出发 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 提出猜想 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 想一想 观察分析下表中的数据 猜想一般凸多面体中 f v e所满足的等式是 答案 f v e 2 欧拉公式 1 归纳推理的应用例1 已知函数f x 设f1 x f x fn x fn 1 fn 1 x n 1 n n 则f3 x 的表达式为 猜想fn x n n 的表达式为 方法指导 写出f1 x f2 x f3 x 的表达式 观察fn x 的特点 从而归纳出fn x no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 解析 由f1 x f x 得f2 x f1 f1 x f3 x f2 f2 x 由此猜想fn x n n 答案 f3 x fn x n n no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 变式训练1 某少数民族的刺绣有着悠久的历史 图 为她们刺绣中最简单的四个图案 这些图案都是由小正方形构成 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 小正方形的摆放规律相同 设第n个图形包含f n 个小正方形 1 求f 5 的值 2 利用合情推理的 归纳推理思想 归纳出f n 1 与f n 之间的关系式 并根据你得到的关系式求出f n 的表达式 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 解析 1 f 5 41 2 因为f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f 5 f 4 16 4 4 由以上规律 可归纳出f n 1 f n 4n 因为f n 1 f n 4n 所以f n 1 f n 4n 所以f n f n 1 4 n 1 f n 2 4 n 1 4 n 2 f n 3 4 n 1 4 n 2 4 n 3 f n n 1 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4 n n 1 2n2 2n 1 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 2 利用类比推理猜想结论例2 在平面几何中 有勾股定理 设 abc的两边ab ac互相垂直 则ab2 ac2 bc2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 可得 设三棱锥a bcd的三个侧面abc acd adb两两相互垂直 则可得 a ab2 ac2 ad2 bc2 cd2 bd2b ab2 ac2 ad2 bc2 cd2 bd2c d no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 方法指导 寻找类比对象 理解平面几何中直角三角形勾股定理的结构 结合立体几何中 三棱锥a bcd的三个侧面abc acd adb两两相互垂直 则可得到结论 解析 关于空间问题与平面问题的类比 通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比 多面体 多边形 面 边 体积 面积 二面角 平面角 面积 线段长 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 由此 可类比猜测 得 答案 c no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 变式训练2 已知o是 abc内任意一点 连接ao bo co并延长交对边于点a b c 则 1 这是一道平面几何题 其证明常采用 面积法 即 1 请运用类比思想 类比出空间中的四面体v bcd存在什么类似的结论 并用体积法证明 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 解析 在四面体v bcd内任取一点o 连接vo do bo co并延长分别交四个面于点e f g h 则 1 证明 在四面体o bcd与v bcd中 设棱锥v bcd o bcd的高分别为h h1 则 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 同理 所以 1 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 3 通过类比方法解题例3 通过计算可得下列等式 22 12 2 1 1 32 22 2 2 1 42 32 2 3 1 n 1 2 n2 2 n 1 将以上各式分别相加 得 n 1 2 12 2 1 2 3 n n 即1 2 3 n 类比上述求法 请你求出12 22 32 n2的值 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 方法指导 利用提示的思路求得 n 1 3 n3 3 n2 3 n 1 再叠加即可 解析 23 13 3 12 3 1 1 33 23 3 22 3 2 1 43 33 3 32 3 3 1 n 1 3 n3 3 n2 3 n 1 将以上各式分别相加 得 n 1 3 13 3 12 22 32 n2 3 1 2 3 n n 所以12 22 32 n2 n n 1 2n 1 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 变式训练3 如果与一固定直线平行的直线被甲 乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k 那么甲的面积是乙的面积的k倍 可以从给出的简单图形 中体会这个原理 若在图 中的两个曲线的方程分别是 1 a b 0 与x2 y2 a2 运用上面的原理 祖暅原理 则图 中椭圆的面积为 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 解析 因为与y轴平行的直线截椭圆和圆所得线段之比为 即k 所以椭圆面积s a2 ab 答案 ab 1 归纳推理的一般步骤 1 观察 通过观察一些个别事物发现某些相同性质 2 概括 归纳 从已知的相同性质中概括 归纳出一个明确表述的一般性命题 3 猜测一般性结论 在一般情况下 如果归纳的个别情况越多 越具有代表性 那么猜测出的一般性结论也就越可靠 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 2 类比推理的一般步骤 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 或猜想 一般情况下 如果类比的两类事物的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的结论就越可靠 类比推理的结论既可能真 也可能假 它是一种由特殊到特殊的认识过程 具有十分重要的实用价值 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 3 常见类比的知识点 1 平面几何与立体几何 2 实数相等关系与不等关系 3 实数的运算律与向量的运算律 4 等差数列与等比数列的定义及性质 5 三种圆锥曲线的定义与性质 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 观察下列等式 12 112 22 312 22 32 612 22 32 42 10 照此规律 第n个等式为 no 1middleschool mylove 第1课时合情推理 解析 观察上式等号左边发现项数每次加1 故第n个等式左边有n项 每项所含的底数的绝对值也增加1 依次为1 2 3 n 指数都是2 符号呈正负交替出现 即可以用 1 n 1表示 等式右边的绝对值是左边项的底数的和 故等式的右边可以表示为