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打开你的数学思维 大家知道 中学数学里存着大量的概念 定理及公式 它们从哪里来 向往着发明 创造的高中生应该学会追根溯源 美国数学家G 波里亚曾说过 学习数学只有当 看到数学的产生 按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时 才能最好地理解数学 所以 希望同学们在学习数学时看到的是数学建造过程中的施工架 而不只是看到简化了现成品 我们希望通过这次课能激发同学的数学兴趣 提高数学素养 不断地到社会实践中去发现问题 研究问题 努力培养自己的创新意识和创新能力 本次课主要了解数学的几个方面 1 数学史上的三次危机的产生2 历史上几个重要的数学问题3 数学家 数学史上的三次危机的产生 第一次数学危机 无理数的产生相传在毕达哥拉斯 古希腊数学家 时代 这个学派所说的数 原来是指整数 他们不把分数看成一种数 而仅看作两个整数之比 而该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度竟然不能用任何 数 表示出来 这一事件在数学史上称为第一次数学危机 由于严重触犯了毕氏学派的信条 相传希伯素斯被投入海中为科学而献身 第二次数学危机的产生 17世纪微积分诞生后 注 微积分是大学一年级的内容 数学界出现混乱局面 矛盾集中在无穷小量这个概念上 牛顿在一些典型的推导过程中 第一步 他用了无穷小量作分母进行除法 第二步 他又把无穷小量看作零 去掉包含它的项 从而得到所要的公式 虽然这些公式在力学和几何学中的应用是正确的 但公式的推导显示出逻辑上的自相矛盾 于是在整个18世纪 对于微分和积分运算的研究是有一种 特殊的痛苦 成为数学史上的第二次危机 直到19世纪 柯西详细而有系统地发展极限理论后 这个危机才算基本解决 第三次数学危机的产生 本世纪初 罗素悖论出现动摇了数学的基础 称为第三次数学危机 我们这里省掉复杂难懂的数学符号语言用一个故事等价提出罗素悖论 在某个城市中有一位理发师 他的广告词是这样写的 本人的理发技艺十分高超 誉满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸 我也只给这些人刮脸 我对各位表示热诚欢迎 来找他刮脸的人络绎不绝 自然都是那些不给自己刮脸的人 可是 有一天 这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了 他本能地抓起了剃刀 你们看他能不能给他自己刮脸呢 如果他不给自己刮脸 他就属于 不给自己刮脸的人 他就要给自己刮脸 而如果他给自己刮脸呢 他又属于 给自己刮脸的人 他就不该给自己刮脸 由于建立严格的极限理论是以实数理论为基础的 而要建立严格的实数理论又必须以集合论为基础 但集合论的诞生和发展 却又偏偏出现了悖论 由此构成了更大危机 这个问题至今尚未彻底解决 历史上重要的数学问题 1 哥德巴赫猜想与质数问题 任何不小于6的偶数都是两个奇质数的和 这个命题叫做哥德巴赫猜想 这个命题由德国数学家哥德巴赫于1742年6月提出 写信希望欧拉作出证明 欧拉回信说相信这个猜想 但不能证明 直到19世纪结束都没有取得进展 这个猜想一直被人们誉为 皇冠上的明珠 到了上世纪 研究进展很大 但至今尚未找到质数公式 由于质数的无限性和无规律性 这在设计密码时可带来很大的安全性 2 费马大定理 费尔马大定理起源于三百多年前 挑战人类3个世纪 多次震惊全世界 耗尽人类众多最杰出大脑的精力 也让千千万万业余者痴迷 1637年 法国业余大数学家费尔马在 算术 的关于勾股数问题的页边上 写下猜想 x n y n z n是不可能的 这里n大于2 x y z n都是非零整数 这个问题终于在1994年被安德鲁 怀尔斯攻克 3 四色问题 1852年 毕业于伦敦大学的弗南西斯 格思里发现了一种有趣的现象 每幅地图都可以用四种颜色着色 使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色 这个现象能不能从数学上加以严格证明呢 问题提出后经过科学家100多年的努力下终于在计算机问世以后于1976年6月海克与阿佩尔合作编制一个很好的程序在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上 用了1200个小时 作了100亿判断 终于完成了四色定理的证明 轰动了世界 4 尺规作图将角三等分问题5 七桥问题等 数学家 欧拉李昂纳德 欧拉 1707 1783 出生在瑞士巴塞尔附近的一个牧师家庭 16岁进入大学学习神学 医学和东方语言学 在那里接触了约翰 贝努里和这个著名的 数学家族 的人员 引起了他对数学的浓厚兴趣 决心改学数学并从事数学研究 18岁开始发表文章 19岁时发表的 论船舶立桅的配置问题 就是用数学模型解决了实际问题对造船和航海贡献较大 1733年作月尼尔 贝努里的助手 但很快接替贝努里当了教授 在那里工作了八年 作出了数量惊人的研究 由于工作辛劳加上气候恶劣 1735年一只眼睛几乎失明 1741年应德国的富莱德里克大帝之请在柏林住了25年 研究了保险问题和运河与水工程问题 1766年应卡塞琳女王的邀请又回到彼得堡 虽然不久就双目失明了 但没影响他对数学的追求 他的 屈光学 和 月球运动理论 等400多篇研究文章就是在这种极端困难的条件下完成的 欧拉研究的主要数学领域是微积分 微分方程 曲线 曲面的解析几何与微分几何 数论 图论 级数及变分法 欧拉把渊博的数学理论知识应用于实际是他一生中最具特点的闪光点欧拉还将数学用到当时的整个物理领域中 创立了力学及刚体力学 他计算了行星轨道中的天体摄动影响及阻尼介质中的弹道 他的潮汐理论以及在船舶航行与设计方面的工作有助于航海 他研究了梁的弯曲 并计算了柱的安全载荷给桥梁建筑设计提供了科学的数据 在声学方面 他研究了声的传播和音乐的和谐与不和谐 在光学方面 他的三部光学仪器方面的著作对望远镜和显微镜的设计作出了贡献 他是十八世纪唯一赞成光的波动说 反对微粒说的人 在热学方面 他把热看成分子振动与摩擦 人们根据这个原理制造了微波炉 他对化学 地质 制图也都有所研究 他利用球面到平面的保角映射画出了一张俄国地图 欧拉是18世纪数学界的中心人物 与阿基米德 牛顿齐名 他在一生中的大部分年代里均以每年800页稿纸左后的速率发表高质量的 独创性的文章 他所著的现代版 欧拉全集 有886集之多 他去世后的40多年里 彼得堡科学院学报发表的几乎全是欧拉的文章 在数学的各个领域都可以找到欧拉的名字 从平面几何中的欧拉线 欧拉圆 代数中的欧拉多项式 四次方程的欧拉解法 立体几何中的欧拉定理 空间解析几何中的欧拉变换公式 到数论中的欧拉函数 积分学中的欧拉积分 微分方程中的欧拉方程 复变函数论中的欧拉公式 图论中的欧拉线路等 欧拉非常重视数学教育 他写了代数 数学分析 力学 解析几何 微分几何 变分法等方面的课本 这些教材在当时以及后来100年甚至更长的时间内都是标准的课本 其中 无穷小分析引论 是第一本沟通微积分与初等分析的著作 微分学原理 与 积分学原理 等都是里程碑式的著作 所有他写的教材都包含某些高度开创性的东西 体现了他对数学的追求的目的 让数学成为人类最亲密的朋友 为人类解决面临的所有问题 1783年9月7日 这位伟大的数学家去世了 他停止了计算 他也停止了生命 刘徽 约225 295 是我国魏晋时期的数学家 他一生最大的贡献是为我国古代数学名著 九章算术 作注 九章算术 内容丰富 水平之高 影响之大 堪称中国古代数学著作之最 可与欧几里德的 几何原本 媲美 可是这部伟大的数学著作叙述得比较简略 特别是未能说明公式的来源或指导过程 使人难以理解 望而生畏 刘徽在注释中 他不仅对一些公式和定理加以逻辑证明 还对一些概念下了严格的定义 因而创立了完整的数学理论 刘徽在数学实际应用方面所取得的成绩也很惊人 他对 重差术 有很深的研究 重差术 就是测量高度和深度的方法 能适用于测量山和塔 适用于测 可望而不可即 的等物 这在初中的教材中我们已介绍了 祖冲之 429 500 是南北朝人代 中国历史上杰出的数学家 青年时被朝廷安排在政府的学术机构工作 是个享受国家津贴的有贡献学者 后来调到各处任地方官 晚年被提升成为高级将领 祖冲之最突出的成就不是政绩 而是数学 他继承了刘徽思想 通过研究刘徽的注释和 九章算术 获益非浅 他对圆周率的研究开始很早 后来达到了如醉如痴的地步 他总弄不懂圆周长大于直径的3倍究意大多少 这个问题一直到40多岁才解开了迷 他采用 割圆术 研究得出圆周率在3 1415926到3 141527之间 这个纪录保持了1000多年的历史 他还给出了分数形式的 约率 和 密率 即355 113和22 7 直角坐标系的创始人 笛卡尔 笛卡尔 1596年3月生于法国 他20岁大学毕业 继承父母 去巴黎当了律师 1617年参军 但意志消沉 有一天他在街头漫步 被一张招贴吸引住了 原来这是数学家的挑战书 列有很多难题 笛卡尔在几小时内解答了这些难题 从此增强了学好数学的信心 开始专心致态地钻研数学 1619年 笛卡尔在军营中终日思考 几何图形是直观点 而代数方程则比较抽象 能不能用几何图形来表示方程呢 突然 他看见屋顶上的一只蜘蛛 拉着丝垂下来 一会儿蜘蛛又顺着丝爬上去 使笛卡尔的思路豁然开朗 于是笛卡尔创建了直角坐标系 1637年他出版了 方法论 一书 后面有三篇附录 其中第三篇 117页的 几何学 就是解析几何的奠基之作 完成了数学史上一项划时代的变革 恩格斯对比评价 数学中的转折点是笛卡尔的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 二十一最富传奇性的数学之一 华罗庚 1910年11月12日出生在江苏省金坛县 由于家穷 华罗庚到可免交学费的上海 中华职业学校 读书 在这里他遇到了一位难忘的英文老师 邹韬奋使他明白了一定会把你不明白的东西弄清楚这样就会深深地印