高中数学第二章2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学案.docx

2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件基础知识基本能力1理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点)2掌握两直线平行与两向量共线的判定方法(易错点)1会用向量的坐标形式来判断向量平行、证明三点共线(易错点)2会写过定点与已知向量平行的直线方程(重点)3要理解零向量可与任一向量平行的规定，并在解决有关共线问题时，不要忽视它的存在(难点)两个向量平行的坐标表示设向量a(a1，a2)，向量b(b1，b2)，则aba1b2a2b10；如果向量b不平行于坐标轴，即b10且b20，则ab，即两个向量平行的条件是：相应坐标成比例如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如，向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向向量(1,2)与(3,6)同向；向量(1,0)与(3,0)反向【自主测试1】与向量a共线且方向相同的向量b的坐标是()A(1,2) B(4,8)C(，) D(4，8)答案：B【自主测试2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，t)三点共线，则t的值为()A0 B5 C6 D10解析：(1,1)，(3，t3)，A，B，C三点共线，1(t3)130，t6.答案：C解读向量平行的条件及用途剖析：向量平行的条件有三种表示形式：(1)ab(b0)ab；(2)aba1b2a2b10，a(a1，a2)，b(b1，b2)；(3)ab，a(a1，a2)，b(b1，b2)，且b10，b20.另外应用向量平行(共线)的条件，可以证明向量共线、三点共线等问题题型一 平面向量共线问题【例题1】已知向量a(1,2)，b(x,6)，ua2b，v2ab，(1)若uv，求实数x的值；(2)若a，v不共线，求实数x的取值范围分析：对于第(1)问，利用共线向量的坐标表示出关于x的方程即可；对于第(2)问，可先从反面入手解：(1)因为a(1,2)，b(x,6)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,6)(2x1,14)，v2(1,2)(x,6)(2x，2)又因为uv，所以2(2x1)14(2x)0，即10x30，解得x3.故实数x的值为3.(2)若a，v共线，则2(2x)2，解得x3，所以要使a，v不共线，x|xR，且x3即为所求反思利用向量共线的条件求值的问题的处理思路：对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解互动探究已知向量a(x,3)，b(3，x)，是否存在实数x，m，使(mab)(ab)？若存在，求实数x，m的值；若不存在，请说明理由解：假设存在实数x，m满足题意，得mab(mx3,3mx)，ab(x3,3x)，由(mab)(ab)，得(mx3)(x3)(3mx)(x3)0，化简得(m1)(x29)0，故m1，xR，即存在m1，xR使(mab)(ab).题型二 三点共线问题【例题2】如果向量i2j，imj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线分析：解答本题可直接利用共线条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算解：解法一：A，B，C三点共线，即，共线，存在实数，使得，即i2j(imj)于是m2.故当m2时，A，B，C三点共线解法二：依题意，知i(1,0)，j(0,1)，则(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)而，共线，1m1(2)0.m2.故当m2时，A，B，C三点共线反思利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数使得两向量共线由于两向量还过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线题型三 向量共线在几何中的应用【例题3】已知ABC三个顶点分别是A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，试求AC与OB的交点坐标P(x，y)(其中O为坐标原点)分析：利用O，列出关于x，y的方程求解解：P点在线段OB上，与共线又(x，y)，(4,4)，4y4y0，即xy0.同理，与共线由(x3，y)，(1,1)，得x3y0.由解得x，y.P点的坐标为.反思解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解题型四 易错辨析【例题4】已知点A(3，4)，B(9,2)，在直线AB上有一点P，且满足|，试求点P的坐标错解：设P(x，y)，则(x3，y4)，(12,6)，(9x,2y)|A|，即(x3，y4)(12,6)(4,2)，解得x1，y2，点P的坐标为(1，2)错因分析：根据|，可以得到和这两种情况，而错解中只考虑到了一种情况正解：在错解的基础上再补充上这种情况，即(x3，y4)(12,6)(4，2)，x7，y6.点P的坐标为(7，6)综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，2)或(7，6)1下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的是()Aa(1,2)，b(0,5) Ba(1,2)，b(2,1)Ca(2，1)，b(3,4) Da(2,1)，b(4，2)解析：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底选项D中两个向量共线，故不能作为一组基底答案：D2以下命题错误的是()A若i，j分别是与平面直角坐标系中x轴，y轴同向的单位向量，则|ij|ij|B若ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则必有C零向量的坐标表示为(0,0)D一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标解析：对于选项B，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不能写成比例式答案：B3(2012山东济宁期末)已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，且ab，则x()A9 B9 C3 D3答案：B4已知e12e2，(3x)e1(4y)e2，其中e1，e2的方向分别与x轴、y轴的正方向相同，且为单位向量若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为()A2xy20 B(x1)2(y1)22Cx2y20 D(x1)2(y1)22解析：(1,2)，(3x,4y)又与共线，则有，即2xy20.故选A答案：A5若a(1，x)与b(x,2)共线且方向相同，则x_.解析：a与b共线，2x20.x.当x时，a(1，)，b(，2)(1，)，此时a与b同向；当x时，a(1，)，b(，2)(1，)(1，)，此时a与b反向答案：6已知向量a(x,3)，b(3，x)，则存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.其中，叙述正确的序号为_解析：由于x29无实数解，故不正确；又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29，此方程无实数解，故不正确；因为mab(mx3,3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0，即x29，此方程无实数解，故不正确；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0