北京市海淀区高三数学上学期期末练习试题 文（含解析）.doc

北京市海淀区2016届高三年级第一学期期末练习数学（文科）2016.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 复数 a. b. c. d.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】【答案】a2. 已知数列是公比为2的等比数列，且满足，则的值为a. b. c. d.【考点】等比数列【试题解析】由题知：因为【答案】c3. 如图, 正方形中，为的中点，若， 则的值为 a. b. c. d.【考点】平面向量的几何运算【试题解析】因为e为dc的中点，所以有：即，所以所以的值为。【答案】a4. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域的面积. 若每次在正方形内每次随机产生个点, 并记录落在区域内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域内点的个 数平均值为个，则区域的面积约为a. b. c. d.【考点】几何概型【试题解析】设区域的面积约为s，根据题意有：所以s5.94，所以约为6【答案】b5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的值为1，则输出的值为 a. b. c. d.【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为3【答案】c6. 若点不在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是 a. b. c. d. 【考点】线性规划【试题解析】由题知：点（2，-3）在直线下方。即所以a - 1【答案】b7. 已知函数 则下列结论正确的是a bc函数在上单调递增 d函数的值域是【考点】三角函数的图像与性质分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】结合图像知：f(x)是奇函数，且在上递减，在上递增，在上递减，且值域为。故a、c错；d对。对b，存在x=0，使故b错；【答案】d8. 已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为 a. b. c. d.【考点】抛物线【试题解析】由题知：f（1，0），若点恰好在的垂直平分线上，则fa=pf，所以所以。所以pa=【答案】d二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 若，则【考点】对数与对数函数【试题解析】若，则【答案】1010. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则 其离心率为【考点】双曲线【试题解析】由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以所以【答案】11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】三棱柱的底面是等腰直角三角形，高为2，所以【答案】412. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则 【考点】抛物线【试题解析】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，所以联立，消y得：因为直线与曲线相切，所以【答案】13. 已知圆截直线所得的弦的长度为为，则 【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程【试题解析】由题知：圆心（a，0），半径为2圆心到直线的距离为又因为圆截直线所得的弦的长度为为，所以或【答案】2或614. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形. (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ；. (ii) 若存在“友好”三角形，且，则另外两个角的度数分别为_.【考点】解斜三角形【试题解析】(i)对：因为所以不存在“友好”三角形；对：若，同理：故存在“友好”三角形；对：若满足，则或，都不能构成三角形，故不存在“友好”三角形。(ii)若存在“友好”三角形，且，或，分析知。又所以有，解得：【答案】；三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分13分）等差数列的首项，其前项和为，且. （）求的通项公式；（）求满足不等式的的值. 【考点】等差数列【试题解析】（）设数列的公差为. 因为，所以. 因为，所以，即, 所以. （）因为，所以, 所以，所以, 解得，所以的值为. 【答案】见解析16.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值与最小值的和. 【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（）因为 所以函数的最小正周期. （）因为，所以，所以, 根据函数的性质，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. 因为， 所以函数在区间上的最大值与最小值的和为. 【答案】见解析17.（本小题满分13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度满足：）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：温度 ()根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.()设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为，估计的大小？（直接写出结论即可）.()从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】（）农学家观察试验的起始日期为7日或8日. （少写一个扣1分）（）最高温度的方差大. （）设“连续三天平均最高温度值都在27，30之间”为事件a， 则基本事件空间可以设为，共计29个基本事件由图表可以看出，事件a中包含10个基本事件， 所以， 所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率为. 【答案】见解析18.（本小题满分14分）如图，四边形是菱形，平面，, ，点为的中点.（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积. 【考点】空间几何体的表面积与体积垂直平行【试题解析】（）取中点，连接因为点为的中点，所以且 又，且， 所以所以四边形为平行四边形. 所以又平面，平面, 所以平面. （）连接.因为四边形为菱形，所以为等边三角形.因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面. 又所以平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为四边形为菱形，所以为等边三角形.因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面, 所以平面. 又所以平面，又平面，所以平面平面. （）因为， , 所以. 【答案】见解析19.（本小题满分13分）已知函数 （）当时，求函数单调区间和极值；（）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【考点】导数的综合运用【试题解析】（）函数的定义域为. . 当时，,令，得， 所以随的变化情况如下表：极小值 所以在处取得极小值, 无极大值. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （）因为关于的方程有解,令，则问题等价于函数存在零点, 所以. 令，得.当时，对成立，函数在上单调递减，而， 所以函数存在零点. .11分当时，随的变化情况如下表： 0 + 极小值 所以为函数的最小值, 当时，即时，函数没有零点,当时，即时，注意到, 所以函数存在零点. 综上，当或时，关于的方程有解. 法二：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， 令，所以, 令，得当时，随的变化情况如下表：0极大值所以函数在处取得最大值，而.，所以函数存在零点. 当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在处取得最小值，而.当时，即时，函数不存在零点.当，即时， 所以函数存在零点. 综上，当或时，关于的方程有解.法三：因为关于的方程有解，所以问题等价于方程有解， 设函数，所以. 令，得，随的变化情况如下表：0极大值 所以函数在处取得最大值，而， 又当时，, 所以, 所以函数的值域为, 所以当时，关于的方程有解，所以. 【答案】见解析20.（本小题满分14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （）求椭圆的方程；（）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个 交点为.（i）当时，求直线的斜率；（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由. 【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】（）因为椭圆的左顶点在圆上，所以. 又离心率为，所以，所以, 所以, 所以的方程为. （）（i）法一：设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为， 与椭圆方程联立得,化简得到， 因为为上面方程的一个根，所以，所以 由， 代入得到，解得, 所以直线的斜率为. （ii）因为圆心到直线的距离