九年级数学上册 第21章 第2节 解一元二次方程学案（无答案）（新版）新人教版.doc

解一元二次方程【学习目标】 1、使学生会用直接开平方法解形如形如:x2=n，a（x+m）2=n（n0)型的一元二次方程。 2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【重点难点】重点：运用开平方法解形如:x2=n,（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)n(n0)的形式【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在探求用直接开平方法解一元二次方程的过程中形成新的知识结构，获得新的学习方法。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】1、预习导引：【问题1】1、配方：（1）x24x+ =(x )2（2） x25x+ =(x )2（3） x2+12x+=(x+6)2（4） x212x+=(x )2（5） x2+8x+=(x+ )2 【问题2】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为 dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： 由此可得： 根据平方根的意义，得 即x1= ，x2= 可以验证 和 是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解2、自主学习，归纳总结 【探究】对照问题2解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为 ，即将方程变为 和 两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1= ，x2= 。在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ )2=4，进行降次，得到 ，方程的根为x1= ，x2= 。3、独立思考，理解概念（在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成或的形式，那么可得或4、课堂练习，巩固新知1、解下列方程：2y2=8 2(x-8)2=50(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。 2、市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数） 3、市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率【分析】设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是 m2；二年后人均住房面积就应该是 m2 5、我的疑惑：（学生自主写出自己的疑惑，各小组组长收集，整理和分析这些疑惑，把这些疑惑传递给老师，老师一并把有意义的疑惑呈现给所有同学。） 提示：以上内容为学生独立完成的预习内容。要求：上课前组长（或者科代表）把各个小组成员的疑惑交给老师查看。 【合作探究，释疑解惑】一、小组分组合作探究，释疑解惑、老师把“课前预习导学案”答案和步骤过程展示出来。、小组成员之间相互合作探究学生课前预习导学案中的问题和预习中的疑惑 二、巩固提高，拓展升华a组题型： 解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1b组题型： 解方程：x2+8x9=0（分析：先把它变成(x+m)2=n （n0）的形式再用直接开平方法求解）【检测反馈，学以致用】 1、解一元二次方程：（1） （2） （3） 2、当x=-1满足方程时，a= 3、已知，则x+y= 4、(2007年南充)用配方法解方程下列配方正确的是（ ） a、 b、 c、 d、 5、解方程 【学生总结】1、老师学生一起把课堂检测的问题结论，及步骤过程交流讨论清楚2、学生通过当堂检测，找到自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等3、学生自主查看翻阅资料，复习总结以及相互讨论不理解或者更深层次的数学问题。【总结提炼，知识升华】（1）这节课我们研究了一元二次方程的解法： (1)直接开平方法(2)配方法（2）配方法解题的一般步骤： .移项.、配方、变形、.开方、求解. (3) 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的若p0则方程无解【课后训练，巩固拓展】 家庭作业 ：p16 :第1题及练习册。 【教学反思】鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”把二次降为一次，进而解一元一次方程即可.帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法，同时通过教师规范的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍。学生独立思考分ab组完成，通过练习进一步巩固一元二次方程的基本概念通过当堂检测，找到学生自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等通过总结加深对知识的巩固 第4课时 解一元二次方程配方法（2）【学习目标】1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能 【重点难点】重点：掌握配方法解一元二次方程。难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在解决问题、探求答案的过程中，通过寻求一般的一元二次方程用配方法来解的知识、分析知识间的联系和关系、形成新的知识结构，获得新的学习方法。体会降次的作用。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】 1、预习导引：【问题1】填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+ =（x+ ）2【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 。【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 m2，得到方程 ，整理得到 。熟悉完全平方式。2、自主学习，归纳总结【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 【归纳】 3、独立思考，理解概念（1）、配方法的定义 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程 （2） 利用配方法解方程时应该遵循的步骤： a把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； b把方程的常数项通过移项移到方程的右边；c方程两边同时除以二次项系数a；d方程两边同时加上一次项系数一半的平方； e此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解 4、课堂练习，巩固新知1、用配方法解下列方程：x2-8x+1=0x2-4x+1=09x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。 2、如图，在rtacb中，c=90，ac=8m，cb=6m，点p、q同时由a，b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后pcq的面积为rtacb面积的一半【分析】设x秒后pcq的面积为rtabc面积的一半，pcq也是直角三角形根据已知列出等式 5、我的疑惑：（学生自主写出自己的疑惑，各小组组长收集，整理和分析这些疑惑，把这些疑惑传递给老师，老师一并把有意义的疑惑呈现给所有同学。）提示：以上内容为学生独立完成的预习内容。要求：上课前组长（或者科代表）把各个小组成员的疑惑交给老师查看。 【合作探究，释疑解惑】一、小组分组合作探究，释疑解惑、老师把“课前预习导学案”答案和步骤过程展示出来。、小组成员之间相互合作探究学生课前预习导学案中的问题和预习中的疑惑。二、巩固提高，拓展升华a组题型： 用配方法解下列关于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上b组题型：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？3x26x + 4 = 0； 2x2+1=3x (2x-1)(x+3)=5【检测反馈，学以致用】1、用配方法解下列方程：x(2x-5)=4x-10 x2+5x+7=3x+112、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？ 【学生总结】1、老师学生一起把课堂检测的问题结论，及步骤过程交流讨论清楚2、学生通过当堂检测，找到自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等3、学生自主查看翻阅资料，复习总结以及相互讨论不理解或者更深层次的数学问题。【总结提炼，知识升华】 用配方法解一元二次方程的方法：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解（6）如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。【课后训练，巩固拓展】家庭作业 ：p17 :第2、3题及练习册。【教学反思】 主体活动，探索实例引入，发现问题。归纳总结 在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后分析归纳利用配方法解方程时应该遵循的步骤。应用提高、拓展创新，培养学生应用意识通过当堂检测，找到学生自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等 第5课时 解一元二次方程公式法 【学习目标】1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；使学生能用=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 【重点难点】重点：求根公式的推导和公式法的应用。难点：一元二次方程求根公式法的推导；从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在解决问题、探求用公式法解一元二次方程的过程中，通过寻求=b2-4ac判断根的情况的知识、分析知识间的联系和关系、形成新的知识结构，获得用公式法解一元二次方程的学习方法。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】 1、预习导引：【问题】用配方法解方程：x2+3x+2=0 2x2-3x+5=0 学生板演，复习旧知2、自主学习，归纳总结【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a0）【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a0，所以方程两边同除以a得： x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2=a0 4a20 当 b2-4ac0时， 0 x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=（b2-4ac0）就可求出方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。式子b2-4ac0是公式的一部分。 【继续探究】对于ax2+bx+c=0（a0）的根的情况：我们已经知道b2-4ac0（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。当= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=。当=b2-4ac0的解集（用含a的式子表示）【分析】要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实根； b、=b2-4ac =0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实根； c、=b2-4ac 0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根及其应用。 【课后训练，巩固拓展】家庭作业：p17 :第:4、5、8题及练习册。 【教学反思】 主体活动，探索实例引入，发现问题。归纳总结解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式 通过应用提高、拓展创新，培养学生应用公式法解一元二次方程意识通过检测巩固所学知识。第6课时 解一元二次方程因式分解法【学习目标】1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 【重点难点】重点：用因式分解法一元二次方程。难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在用因式分解法解特殊的一元二次方程的过程中，获得解一元二次方程的新的学习方法。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】1、 预习导引：【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x-4.9x2=0【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？【分析】方程的右边为0，左边可以因式分解得：x(10-4.9x)=0于是得x=0或10-4.9x=0x1=0x2=上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容第7课时 一元二次方程的根与系数的关系（1） 【学习目标】1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。【重点难点】重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用。 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在探求一元二次方程的根与系数的关系的过程中，形成新的知识结构，获得新的学习方法。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】 1、预习导引：【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1+x2x1x2 +6x-16=0-2x-5=02-3x+1=05+4x-1=0 通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。2、自主学习，归纳总结【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2bxc0的求根公式知x1=，x2=，能得出以下结果：x1x2=，即：两根之和等于 x1x2=，即：两根之积等于 特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1x2= -p x1x2= q 如果把方程ax2bxc0(a0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2x0(a0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+x2）xx1x20(a0) 3、课堂练习，巩固新知1、求下列方程的两根之和与两根之积.（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4（3）=4 （4）2=3x（5）-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数） 2、已知方程5x2kx-60的一个根为2，求它的另一个根及k的值； 3、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x-10的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 4、我的疑惑：（学生自主写出自己的疑惑，各小组组长收集，整理和分析这些疑惑，把这些疑惑传递给老师，老师一并把有意义的疑惑呈现给所有同学。）提示：以上内容为学生独立完成的预习内容。要求：上课前组长（或者科代表）把各个小组成员的疑惑交给老师查看。 【合作探究，释疑解惑】一、小组分组合作探究，释疑解惑、老师把“课前预习导学案”答案和步骤过程展示出来。、小组成员之间相互合作探究学生课前预习导学案中的问题和预习中的疑惑。二、巩固提高，拓展升华【检测反馈，学以致用】 1 、方程2x2-3x-1=0，则x1+x2= ，x1x2= _ _ 2、 若0和-3是方程的x2+px+q=0两根，则p+q= _ _ 3、两根均为负数的一元二次方程是 （ ） a. 7x2-12x+5=0 b. 6x2-13x-5=0 c. 4x2+21x+5=0 d. x2+15x-8=0 4、不解方程，求下列方程的两根和与两根积： x2-5x-10=0 2x2+7x+1=0 3x2-1=2x+5 x（x-1）=3x+7【学生总结】1、老师学生一起把课堂检测的问题结论，及步骤过程交流讨论清楚2、学生通过当堂检测，找到自己当堂的问题，并用两种颜色的笔做好修改，注释和笔记等3、学生自主查看翻阅资料，复习总结以及相互讨论不理解或者更深层次的数学问题。【总结提炼，知识升华】 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。1、先化成一般形式，再确定a,b,c.2、当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和比前面有负号，两个根的积比前面没有负号。【课后训练，巩固拓展】家庭作业：p17 :第7题及练习册。 【教学反思】 让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用 进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。 。第8课时 一元二次方程的根与系数的关系（2）【学习目标】 1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系； 2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题 3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力【重点难点】重点：一一元二次方程根与系数关系的应用 难点：某些代数式的变形【学法指导】问题式指导法。学生通过预习课本、查阅资料以及完成课前导学案等学习内容后提出问题。使学生在解决问题、探求答案的过程中，通过寻求一定的知识、分析知识间的联系和关系、形成新的知识结构，获得新的学习方法。学会运用根与系数的关系解决实际运用问题。 教 学 互 动 设 计方法导引【自主学习，基础过关】 1、预习导引：【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =_；x1 x2 =_.【问题2】关于的方程的一个根是2，则方程的另一根是 ； 。【问题3】甲乙同时解方程+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为27，乙抄错了常数项，得两根为3-10。则p= ，q= 。 【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。 通过巩固练习,及时巩固定理，再次体会一元二次方程的根与系数的关系，培养思维的灵活性。2、 自主学习，归纳总结 完成下来练习： 1、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）解：（1） （2） （3）原式 2、若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。3、课堂练习，巩固新知1、已知关于的方程，且方程两实根的积为5，求的值解：方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为52、已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k1）x + k21 = 0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力解：（1）= 2（k1） 24（k21）= 4k28k + 44k2 + 4 =8k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8k + 80，解得 k1，即实数k的取值范围是 k1（2）假设0是方程的一个根，则