北京四中高考数学总复习 二次函数与幂函数提高知识梳理.doc

函数的基本性质【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。2幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况【知识网络】基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数二次函数幂函数常数函数【考点梳理】考点一、初中学过的函数（一）函数的图象与性质常 函 数一次函数反比例函数二次函数表达式（）（）（） （）式子中字母的含义及范围限定图象、及其与坐标轴的关系单 调 性要点诠释：1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根2. 二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为m，最小值为m，令. （1） （2） （3） （4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.要点诠释：1二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2. 求二次函数的最值一般要数形结合。考点二、幂的运算 (1)，；(2)，。考点三、幂函数的图象与性质1.幂函数在第一象限的图象特征2.幂函数性质： （1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。【典型例题】类型一：基本函数的解析式问题例1已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.【解析】用待定系数法求，选择适当的二次函数的形式。方法一：设（），则，且对称轴，即， ， 方法二：，二次函数的图象的对称轴为，可设所求函数为（），截轴上的弦长为， 的图像过点和，即 （1）又的图像过点， （2）（1）（2）联立，解得，即.方法三：的图象对称轴， 又,与轴的交点为和，故可设（），由可得 . ，即.【总结升华】二次函数的形式有以下三种：（1）一般形式：（），（2）顶点式（或称配方式）（），（3）零点式（或称双根式）（），（前提：有根）对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。举一反三：【变式】已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式【答案】二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又截轴上的弦长为，过点和，又过点，解得，即.类型二：函数的图象和性质例2. 下图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则、与1的大小关系是（ ）a.b. c.d.【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较、的大小，从（1）（2）中比较、的大小.【答案】b【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.举一反三：【变式】在，四个函数中，时，能使成立的函数是（ ）a. b. c. d. 【答案】a ；由图形可直观得到：只有为“上凸”的函数.类型三：最值问题例3.求函数（)的最值.【解析】令, 则,开口向上，对称轴 , , 即，时，；时，；时，；时，；时，.【总结升华】1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性，并数形结合解决之；2. 形如(,且)的函数，可以转化为二次函数，但应注意的取值范围.举一反三：【变式】已知满足不等式，求函数的最大值和最小值.【答案】由，得,即.令,则（）， 对称轴, 当时，即时，；当时，即时，. 例4已知，,若的最小值为，写出的表达式。【解析】由可知对称轴为,（1）当时，在上单调递增，,（2）当即时，在顶点处最小，,（3）当即 时，在上单调递减，,综上，【总结升华】求给定区间上二次函数最值或值域的问题，首先应确定函数对称轴的方程，由对称轴与所给区间的关系应用二次函数单调性来做。可分为三种类型：（1）对称轴确定，区间也确定；（2）对称轴含参数（即动函数），区间确定；（3）对称轴确定，区间未确定（含参数）。后两种情况都需讨论何时对称轴在区间上，何时在区间外。举一反三：【变式】要