第二章 拉伸压缩.doc

第2章 杆件的拉伸与压缩轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法截面法，然后画内力图。但是仅仅知道内力还不能判断材料是否会发生破坏，因此还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。 为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，目的是分析拉压杆的刚度问题。2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架中的拉杆和压杆、悬索桥中的拉杆等，这类杆件共同的受力特点是：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合；共同的变形特点是：杆件沿着杆轴方向伸长或缩短。这种变形形式就称为轴向拉伸或压缩，这类构件称为拉杆或压杆。图2.1所示的受力与变形的示意图，图中的实线为受力前的形状，虚线则表示变形后的形状。图2.1 轴向拉压杆件变形示意图2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。下面讨论杆件横截面上内力的计算。为了使同一横截面上的轴力具有相同的正负号，对轴力的符号作如下规定：使杆件产生纵向伸长的轴力为正，称为拉力(tension)；使杆件产生纵向缩短的轴力为负，称为压力(compression)。不难理解，拉力的方向是离开截面的，压力的方向是指向截面的。图2.2 轴向拉压杆横截面的内力2.2.2 用截面法求轴力在上面分析轴力的过程中所采用的方法称为截面法(section method)，它是求内力的一般方法，也是材料力学中的基本方法之一。截面法的基本步骤是：(1) 在需要求内力的截面处，假想地将杆件截开为两部分。(2) 任取一部分为研究对象，画出其受力图，注意，要将另一部分对其的作用力(或力偶)加到该研究对象的受力图中。(3) 利用平衡条件建立平衡方程，求出截面内力。为了便于由计算结果直接判断内力的实际指向，无论截面上实际内力指向如何，一律先设为正方向，即未知轴力均设为拉力。求出来的结果如果是正值，说明实际指向与所设方向相同，即为拉力；如果求出来的结果是负值，说明实际指向与所设方向相反，即为压力。2.2.3 轴力图多次利用截面法，可以求出所有横截面上的内力，一般以与杆件轴线平行的坐标轴表示各横截面的位置，以垂直于该坐标轴的方向表示相应的内力值，这样作出的图形称为轴力图。轴力图能够简洁明了的表示杆件各横截面的轴力大小及方向，它是进行应力、变形、强度、刚度等计算的依据。下面说明轴力图的绘制方法：选取一坐标系，其横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面的轴力，然后根据各段内的轴力的大小与符号，就可绘出表示杆件轴力与截面位置关系的图线，即所谓轴力图。这样从轴力图上不但可以看出各段轴力的大小，而且还可以根据正负号看出各段的变形是拉伸还是压缩。【例2.1】 一等直杆，其受力情况如图2.3所示，试作其轴力图。图2.3 例2.1图解：一般来说解题首先应搞清问题种类，由该杆的受力特点可知它是轴向拉压杆，其内力是轴力。下面用截面法求内力。在AB之间任取一横截面1-1，将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程由有 得 在BC之间任取一横截面2-2，截面将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程由有 得 在CD之间任取一横截面3-3，截面将杆件分为两部分，取左边部分为研究对象(以右边部分为研究对象也可)，由静力平衡条件列方程由有 得 根据AB、BC、CD段内轴力的大小和符号，画出轴力图，如图2.4所示。注意，画轴力图时一般应与受力图对正，当杆件水平放置或倾斜放置时，正值应画在与杆件轴线平行的横坐标轴的上方或斜上方，而负值则画在下方或斜下方，并且标出正负号。当杆件竖直放置时，正负值可分别画在不同侧并标出正负号；轴力图上应该标明所有横截面的内力值，可以适当地画一些纵标线，纵标线必须垂直于坐标轴；旁边应标明内力图的名称。熟练以后可以不必画各隔离体的受力图。图2.4 例2.1图2.3.3 应力集中的概念前面所介绍的应力计算公式适用于等截面的直杆，对于横截面平缓变化的拉压杆按该公式计算应力在工程实际中一般是允许的；然而在实际工程中某些构件常有切口、圆孔、沟槽等几何形状发生突然改变的情况。试验和理论分析表明，此时横截面上的应力不再是均匀分布，而是在局部范围内急剧增大，这种现象称为应力集中(stress concentration)。2.3 胡 克 定 律杆件在轴向拉伸或压缩时，其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变。杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形，杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变形。设一等直杆的原长为l，横截面面积为A，如图2.5所示。在轴向拉力P的作用下，杆件的长度由l变为l1，其纵向伸长量为l=l1-l图2.5 轴向伸长变形示意图l称为绝对伸长，它只反映总变形量，无法说明杆的变形程度。将l除以l得杆件纵向正应变为(2.5)当材料应力不超过某一限值 (以后将会讲到，这个应力值称为材料的“比例极限”)时，应力与应变成正比，即 =E(2.6)这就是胡克定律，是根据著名的英国科学家Robert Hooke命名的。公式(2.6)中的E是弹性模量，也称为杨氏模量，根据另一位英国科学家Thomas Young命名的，由于是无量纲量，故E的量纲与相同，常用单位为GPa（109Pa），E随材料的不同而不同，对于各项同性材料它均与方向无关。公式(2.5)、(2.6)同样适用于轴向压缩的情况。将公式(2.1)和(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定律的另一种表达式为 (2.7)由该式可以看出，若杆长及外力不变， EA值越大，则变形l越小，因此，EA反映杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称为杆件的抗拉(抗压)刚度。公式(2.7)也适用于轴向压缩的情况，应用时N为压力，是负值，伸长量l算出来是负值，也就是杆件缩短了。设拉杆变形前的横向尺寸分别为a和b，变形后的尺寸分别为a1和b1(图2.5)，则 由试验可知，二横向正应变相等，故 (2.8)试验结果表明，当应力不超过材料的比例极限时，横向正应变与纵向正应变之比的绝对值为一常数，该常数称为泊松比，用来表示，它是一个无量纲的量,可表示为 (2.9) 或 (2.10)公式(2.9)、(2.10)同样适用于轴向压缩的情况。和弹性模量E一样，泊松比也是材料的弹性常数，随材料的不同而不同，由试验测定。对于绝大多数各向同性材料，介于0到0.5之间。几种常用材料的E和值，列于表2-1中。表2-1 材料的弹性模量和泊松比弹性常数钢与合金钢铝合金铜铸铁木(顺纹)E（GPa）2002207072100120801608120.250.300.260.340.330.350.230.27【例2.2】 图2.6(a)所示一简易托架，尺寸如图所示，杆件的横截面面积分别为，两杆的弹性模量E=200GPa，P=60kN，试求B点的 位移。图2.6 例2.4图解 (1)计算各杆的内力 截断BC和BD两杆，以结点B为研究对象，设BC杆的轴力为，BD杆的轴力为，如图2.12(b)所示。根据静力平衡方程计算得(2) 计算B点的位移，由公式(2.7)可求出BC杆的伸长量为BD杆的变形量为计算出的结果为负值说明杆件是缩短的。假想把托架从结点B拆开，那么BC杆伸长变形后成为B1C，BD杆压缩变形后成B2D，分别以C点和D点为圆心，以CB和DB 为半径作弧相交于B 处，该点即为托架变形后B点的位置。由于是小变形，BB1和BB2是两段极短的弧，因而可分别用BC和BD的垂线来代替，两垂线的交点为B3，BB3即为B点的位移。这种作图法称为“切线代圆弧”法。现用解析法计算位移。为了清楚起见，可将多边形BB1B3B2放大，如图2.6(c)所示。由图可知：B点的水平位移和垂直位移分别为 B点的总位移为与结构原尺寸相比很小的变形称为小变形。在小变形的条件下，一般按结构的原有几何形状与尺寸计算支座反力和内力，并可以采用上述用切线代替圆弧的方法确定位移，从而大大简化计算。在以后的学习中也有很多地方利用它来简化计算。2.4 强度条件与截面设计的基本概念2.4.1 许用应力由材料的拉伸或压缩试验可知：脆性材料的应力达到强度极限b时，会发生断裂；塑性材料的应力达到屈服极限s (或b)时，会发生显著的塑性变形。断裂当然是不容许的，但是构件发生较大的变形一般也是不容许的，因此，断裂是破坏的形式，屈服或出现较大变形也是破坏的一种形式。材料破坏时的应力称为极限应力，用表示。塑性材料通常以屈服应力s作为极限应力，脆性材料以强度极限b作为极限应力。根据分析计算所得构件的应力称为工作应力。为了保证构件有足够的强度，要求构件的工作应力必须小于材料的极限应力。由于分析计算时采取了一些简化措施，作用在构件上的外力估计不一定准确，而且实际材料的性质与标准试样可能存在差异等因素可能使构件的实际工作条件偏于不安全，因此，为了有一定的强度储备，在强度计算中，引进一个安全系数n，设定了构件工作时的最大容许值，即许用应力，用表示 (2.14)式中是一个大于1的系数，因此许用应力低于极限应力。确定安全系数时，应考虑材质的均匀性、构件的重要性、工作条件及载荷估计的准确性等。在建筑结构设计中倾向于根据构件材料和具体工作条件，并结合过去制造同类构件的实践经验和当前的技术水平，规定不同的安全系数。对于各种材料在不同工作条件下的安全系数和许用应力，设计手册或规范中有具体规定。一般在常温、静载下，对塑性材料取n1.52.2，对脆性材料一般取n=3.05.0甚至更大。2.4.2 强度条件为了保证构件在工作时不至于因强度不够而破坏，要求构件的最大工作应力不超过材料的许用应力，于是得到强度条件为max (2.15)对于轴向拉伸和压缩的等直杆，强度条件可以表示为 (2.16)式中：max杆件横截面上的最大正应力，Nmax杆件的最大轴力，A横截面面积，材料的许用应力。如对截面变化的拉(压)杆件(如阶梯形杆)，最大应力不仅应考虑到轴力为最大值的截面，还应考虑在横截面面积最小的截面，因此需要求出每一段内的正应力，找出最大值，再应用强度条件。根据强度条件，可以解决以下几类强度问题。(1) 强度校核 若已知拉压杆的截面尺寸、荷载大小以及材料的许用应力，即可用公式(2.16)验算不等式是否成立，进而确定强度是否足够，即工作时是否安全。(2) 设计截面 若已知拉压杆承受的荷载和材料的许用应力，则强度条件变成 (2.17)以确定构件所需要的横截面面积的最小值(3) 确定承载能力 若已知拉压杆的截面尺寸和材料的许用应力，则强度条件变成NmaxA (2.18)以确定构件所能承受的最大轴力，再确定构件能承担的许可荷载。最后还应指出，如果最大工作应力max略微大于许用应力，即一般不超过许用应力的5%，在工程上仍然被认为是允许的。【例2.3】 用绳索起吊钢筋混凝土管，如图2.24(a)所示，管子的重量W=10KN，绳索的直径d=40mm，容许应力=10MPa，试校核绳索的强度。(a) (b)图2.7 例2.3图解：1) 计算绳索的轴力以混凝土管为研究对象，画出其受力图如图2.7(b)所示，根据对称性易知左右两段绳索轴力相等，记为N1，根据静力平衡方程有计算得2) 校核强度故绳索满足强度条件，能够安全工作。【例2.4】 例2.4所示结构(图2.6(a)中，若BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢，两杆的=160MPa，其它条件不变，试校核该托架的强度。 解 1)计算各杆的内力由例2.4的结果有2) 校核两杆的强度 对于BC杆，其横截面面积为，利用公式(2.1)，则该杆的工作应力为工作应力大于许用应力，但是其增大幅度并不大由于在工程上增幅在5%以内被认为是允许的，所以强度符合要求。对于BD杆，由型钢表查得其横截面面积为10.24cm2，则杆的工作应力计算结果表明，托架的强度是足够的。