第1章 时域离散信号和时域离散系统.ppt

第1章时域离散信号和时域离散系统 1 1引言1 2时域离散信号1 3时域离散系统1 4时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程1 5模拟信号数字处理方法 1 1引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数 一维信号 仅有一个自变量多维信号 有两个以上自变量 本书仅研究一维数字信号处理 信号的自变量有多种形式 时间 距离 温度 电压等本书一般把信号看作时间的函数 数字信号处理最终要处理的是数字信号 但为简单 理论研究时一般研究时域离散信号和系统 时域离散信号与数字信号的差别 仅在于数字信号存在量化误差 本章是全书的基础 主要学习 时域离散信号的表示方法和典型信号线性时不变系统及其因果性 稳定性系统的输入输出描述法线性常系数差分方程的解法模拟信号数字处理方法 1 2时域离散信号 对模拟信号xa t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 这里n取整数 对于不同的n值 xa nT 是一个有序的数字序列 xa T xa 0 xa T 该数字序列就是时域离散信号 实际信号处理中 这些数字序列值按顺序放在存储器中 此时nT代表的是前后顺序 为简化 采样间隔T可以不写 形成x n 信号x n 可以称为序列对于具体信号 x n 也代表第n个序列值注意 n取整数 非整数时无定义x n 在数值上等于信号的采样值 x n xa nT n 时域离散信号有三种表示方法 1 集合符号表示 如果x n 是一个有限长序列 则可以表示为 x n 1 3 2 5 3 3 1 9 0 4 1 n 0 1 2 3 4 5 或者x n 1 3 2 5 3 3 1 9 0 4 1 2 用公式表示3 图形表示 用MATLAB表示序列 n 5 5 x sin pi n 5 stem n x line 5 6 0 0 axis 5 6 1 2 1 2 xlabel n ylabel x n 1 2 1常用的典型序列1 单位采样序列 n 1 n 0 n 0 n 0又称 单位脉冲序列特点 仅在n 0时取值为1 其它均为零类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数 t 区别 t 在t 0时 取值无穷大 t 0时取值为零 对时间t的积分为1 图1 2 1单位采样序列和单位冲激信号 a 单位采样序列 b 单位冲激信号 ns 5 nf 5 n0 0 n ns nf x n n0 0 stem n x axis 6 6 0 2 1 2 xlabel n ylabel n title 单位脉冲序列 2 单位阶跃序列u n 1 n 0u n 0 n 0单位阶跃序列类似于模拟信号中的单位阶跃函数u t 图1 2 2单位阶跃序列 n 与u n 之间的关系 令n k m 代入上式得到 ns 5 nf 5 n0 0 n ns nf x n n0 0 stem n x axis 6 6 0 2 1 2 xlabel n ylabel u n title 单位阶跃序列 3 矩形序列RN n 1 0 n N 10 其它nN称为矩形序列的长度 当N 4时 R4 n 的波形如图1 2 3所示 矩形序列可用单位阶跃序列表示 RN n u n u n N RN n 图1 2 3矩形序列 ns 0 nf 4 n ns nf x n ns 0stem n x axis 6 6 0 2 1 2 xlabel n ylabel R4 n title 矩形序列 4 实指数序列x n anu n a为实数如果 a 1 则称为发散序列 图1 2 4实指数序列 ns 0 nf 10 n ns nf x 0 5 n stem n x xlabel n ylabel a nu n title 实指数序列 5 正弦序列x n sin n 式中 称为正弦序列的数字域频率 数字频率 单位是弧度 rad 它表示序列变化的速率 或者说表示相邻两个序列值之间相位变化的弧度数 如果正弦序列是由模拟信号xa t 采样得到的 那么xa t sin t xa t t nT sin nT x n xa t t nT sin n 在数值上 序列值与采样信号值相等 因此得到数字频率 与模拟角频率 之间的关系为 T上式具有普遍意义 它表示 凡是由模拟信号采样得到的序列 模拟角频率 与序列的数字域频率 成线性关系 由于采样频率Fs与采样周期T互为倒数 则 即 数字频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率 6 复指数序列x n e j 0 n式中 0为数字域频率 设 0 用极坐标和实部虚部表示如下式 x n ej 0nx n cos 0n jsin 0n 由于n取整数 下面等式成立 ej 0 2 M n ej 0n M 0 1 2 所以 对数字域频率而言 正弦序列和复指数序列都是以2 为周期的 在频率域只分析其主值区间 或者 0 2 7 周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N 使下面等式成立 x n x n N n 则称序列x n 为周期性序列 周期为N 注意N要取整数 例如 式中 数字频率是 4 由于n取整数 可写成 上式表明是周期为8的周期序列 也称正弦序列 如图1 2 5所示 图1 2 5正弦序列 讨论一般正弦序列的周期性 设x n Asin 0n 则x n N Asin 0 n N Asin 0n 0N 如果x n N x n 则要求N 2 0 k 式中k与N均取整数 且k的取值要保证N是最小的正整数 满足这些条件 正弦序列才是以N为周期的周期序列 具体正弦序列有以下三种情况 1 当2 0为整数时 k 1 正弦序列是以2 0为周期的周期序列 例如sin 8 n 0 8 2 0 16 该正弦序列周期为16 2 2 0不是整数 是一个有理数时 设2 0 P Q 式中P Q是互为素数的整数 取k Q 那么N P 则正弦序列是以P为周期的周期序列 例如sin 4 n 5 0 4 5 2 0 5 2 k 2 该正弦序列是以5为周期的周期序列 3 2 0是无理数 任何整数k都不能使N为正整数 因此 此时的正弦序列不是周期序列 例如 0 1 4 sin 0n 就不是周期序列 对于复指数序列ej 0n的周期性也有同样的分析结果 对于任意序列 常用单位采样序列的移位加权和表示 即 式中 这种任意序列的表示方法 在信号分析中非常有用 例 x n 的波形如下图所示 可以用移位加权和表示成 x n 2 n 2 0 5 n 1 2 n n 1 1 5 n 2 n 4 2 n 5 n 6 1 2 2序列的运算在数字信号处理中 序列有下面几种运算 乘法 加法 移位 翻转 尺度变换 1 序列的加法 同序号的序列值逐项对应相加 2 序列的乘法 同序号的序列值逐项对应相乘 3 序列的移位 当n0 0时 序列右移 延迟当n0 0时 序列左移 超前 4 序列的翻转 x n 是x n 的翻转序列 x n 是以纵轴 n 0 为对称轴将序列x n 加以翻转 5 序列的尺度变换 是 序列相邻抽样 点间补 m 1 个零值点 表示零值插值 插值序列 作业 第一章 习题与上机题 课本第29页2 3 1 3时域离散系统设时域离散系统的输入为x n 经过规定的运算 系统输出序列用y n 表示 设运算关系用T 表示 输出与输入之间关系用下式表示 其框图如下 时域离散系统 1 3 1线性系统系统的输入 输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统 设x1 n 和x2 n 分别作为系统的输入序列 其输出分别用y1 n 和y2 n 表示 即 在时域离散系统中 最重要和最常用的是线性时不变系统 这是因为很多物理过程都可用这类系统表征 且便于分析 设计与实现 那么线性系统一定满足下面两个公式 1 3 2 1 3 3 1 3 2 式表征线性系统的可加性 1 3 3 式表征线性系统的比例性或齐次性 a是常数 将以上两个公式结合起来 可表示成 式中a和b均是常数 例1 3 1 证明y n ax n b a和b是常数 所代表的系统是非线性系统 证明 所以 此系统不是线性系统 线性系统满足叠加原理的一个结果是 零输入产生零输出 可用比例性证明 例 证明 是线性系统 证 所以 此系统是线性系统 在证明一个系统是线性系统时 必须证明该系统同时满足可加性和比例性 而且信号可以是任意序列 包括复序列 比例常数可以是任意数 包括复数 1 3 2时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T 在整个运算过程中不随时间变化 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关 则这种系统称为时不变系统 用公式表示如下 式中n0为任意整数 输入移动任意位 如n0位 其输出也移动这么多位 但幅值却保持不变 判定系统时不变系统特性 就是检查其是否满足上式 例1 3 2 检查y n ax n b所代表的系统是否是时不变系统 式中a和b是常数 解 因此该系统是时不变系统 例1 3 3 检查y n nx n 所代表的系统是否是时不变系统 解 因此该系统不是时不变系统 此例从物理概念上可以理解成该系统是一个放大倍数随n变化的放大器 因此是一个时变系统 时不变系统的参数不随时间变化 1 3 3线性时不变系统输入与输出之间的关系设系统的输入x n n 系统输出y n 的初始状态为零 定义这种条件下的系统输出为系统的单位脉冲响应 用h n 表示 单位脉冲响应就是系统对于 n 的零状态响应 用公式表示为 h n 和模拟系统中的单位冲激响应h t 相类似 都代表系统的时域特征 若系统的输入为x n 表示成单位脉冲序列移位加权和为 则系统输出为 根据线性系统的叠加性质 又根据时不变性质 上式中的符号 代表卷积运算 该式表示 线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积 计算卷积有三种方法 图解法 解析法 利用MATLAB函数计算法 1 图解法观察上式 计算卷积的基本运算是 翻转 移位 相乘 相加这类卷积称为线性卷积 如果两个序列的长度分别为N和M 那么卷积结果的长度为N M 1 例1 3 4 已知x n R4 n h n R4 n 求y n x n h n 解 1 将h n 用h m 表示 并将波形翻转 得到h m 2 将h m 移位n 得到h n m n 0 序列右移 n 0 序列左移 如n 1 得到h 1 m 3 将x m 和h n m 对应相乘 4 针对所有的m 将乘积相加 得到y n 的一个值 5 对所有的n重复这种计算 最后得到卷积结果 图1 3 2例1 3 4线性卷积 y n 1 2 3 4 3 2 1 表1 3 1图解法 列表法 这种图解法可以用列表法代替 前面图解过程如下表所示 2 解析法如果已知两个卷积信号的解析表达式 则可以直接按照卷积式进行计算 例1 3 5 设x n anu n h n R4 n 求y n x n h n 解 用解析法求解 关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上 下限 因为n m时 u n m 才能取非零值 0 m 3时 R4 m 取非零值 所以 求和区间中m要同时满足下面两式 m n0 m 3这样求和限与n有关系 必须将n进行分段然后计算 1 n 0时 y n 0 2 0 n 3时 乘积的非零值范围为0 m n 因此 3 n 4时 乘积的非零区间为0 m 3 因此 m n0 m 3 写成统一表达式为 3 用MATLAB计算两个有限长序列的卷积MATLAB信号处理工具箱提供了conv函数 该函数用于计算两个有限长序列的卷积 C conv A B 计算两个有限长序列向量A和B的卷积 注意 conv函数默认A和B表示的两个序列都是从0开始 所以不需要位置向量 当然 默认卷积结果序列C也是从0开始 即卷积结果也不提供特殊的位置信息 例1 3 4中的两个序列满足上述条件 可以直接调用conv函数求解例1 3 4的卷积 xn 1111 hn 1111 yn conv xn hn stem 0 6 yn xlabel n ylabel y n 运行结果 yn 1 2 3 4 3 2 1 当两个序列不是从0开始时 必须对conv函数稍加扩展 设两个位置向量已知的序列 x n nx nxs nxf h n nh nhs nhf 要求计算卷积 y n h n x n 以及y n 的位置向量ny 根据卷积原理知道 y n 的起始点和终止点分别为 nys nhs nxs nyf nhf nxf 调用conv函数写出通用卷积函数convu如下 function y ny convu h nh x nx convu通用卷积函数 y为卷积结果序列向量 ny是y的位置向量 h和x是有限长序列 nh和nx分别是h和x的位置向量nys nh 1 nx 1 nyf nh end nx end end表示最后一个元素的下标y conv h x ny nys nyf 如果h n x n R5 n 2 则调用convu函数计算y n h n x n 的程序如下 h ones 1 5 nh 2 2 x h nx nh y ny convu h nh x nx stem ny y 运行结果 y 123454321 ny 4 3 2 101234 线性卷积服从交换律 结合律和分配律 交换律 结合律 分配律 图1 3 3卷积的结合律和分配律 需要指出 关于系统级联 并联的等效系统的单位脉冲响应与原来两系统分别的单位脉冲响应的关系 是基于线性卷积的性质 而线性卷积是基于线性时不变系统满足线性叠加原理和时不变特性 因此 对于非线性或者非时不变系统 这些结论是不成立的 上式也是一个线性卷积式 即序列x n 与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身x n 如果把看作某系统的单位脉冲响应 而根据定义亦即 所以该系统为一个直通系统 对输入没有变换作用 即 对于任意序列 常用单位采样序列的移位加权和表示 如果序列与移位的单位脉冲序列 n n0 进行线性卷积 就相当于将序列本身移位n0 n0是整常数 即 上式中求和项只有当m n n0时才有非零值 因此 例1 3 6 在图1 3 4中 h1 n 系统与h2 n 系统级联 设 求系统的输出y n 图1 3 4例1 3 6框图 解先求第一级的输出m n 再求y n 1 3 4系统的因果性和稳定性因果系统如果系统n时刻的输出 只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列 而和n时刻以后的输入序列无关 则称该系统具有因果性质 或称该系统为因果系统 因果系统表明 激励是产生响应的激励 响应是激励引起的后果如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列 在时间上违背了因果性 系统无法实现 则系统被称为非因果系统 因此 系统的因果性是指系统的可实现性 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式 满足上式的序列称为因果序列 或有始序列 因此因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列 上述因果系统条件的理解 因为单位脉冲响应是输入为 n 的零状态响应 在n 0时刻以前即n 0时 没有加入信号 输出只能等于零 因此得到上述因果性条件 图1 3 5非因果系统的延时实现 稳定系统是指 系统有界输入 系统输出也是有界的 系统稳定的充分必要条件是 系统的单位脉冲响应绝对可和 即 稳定系统 1 3 14 证明先证明充分性 因为输入序列x n 有界 即 因此 如果系统的单位脉冲响应绝对可和 那么输出y n 一定也是有界的 即 用反证法证明其必要性 如果h n 不满足 1 3 14 式 即 那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出 如 x n 令n 0 n 0时刻的输出为无界 系统不稳定 与已知不符 得证 例1 3 7设线性时不变系统的单位取样响应h n anu n 式中a是实常数 分析系统的因果稳定性 解 h n anu n 由于n 0时 h n 0 所以系统是因果系统 只有当 a 1时 因此系统稳定的条件是 a 1 否则 a 1时 系统不稳定 例1 3 8 设系统的单位脉冲响应h n u n 求对于任意输入序列x n 的输出y n 并检验系统的因果性和稳定性 解 因为当n k 0时 u n k 0 n k 0时 u n k 1 因此 求和限为k n 所以 1 3 15 上式表示该系统是一个累加器 它将输入序列从加上之时开始 逐项累加 一直加到n时刻为止 分析该系统的稳定性 因此该系统是一个不稳定系统 自然地 该系统是一个因果系统 作业 第一章 习题与上机题 课本第29 30页5 3 4 5 6 7 6 8 1 4时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 描述一个系统 可以不管系统内部的结构如何 将系统看成一个黑盒子 只描述系统输出和输入之间的关系 称为输入输出描述法 模拟系统 用微分方程描述 时域离散系统 用差分方程描述 对于线性时不变系统 经常用的是线性常系数差分方程 本节主要介绍这类差分方程及其解法 1 4 1线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示 1 4 1 1 4 2 或者 x n 和y n 是系统的输入序列和输出序列 ai和bi均为常数 y n i 和x n i 项只有一次幂 也没有相互交叉项 故称为线性常系数差分方程 差分方程的阶数 用方程y n i 项中i的取值最大与最小之差确定 1 4 2 式因此称为N阶差分方程 1 4 2线性常系数差分方程的求解已知系统的输入序列 通过求解差分方程可以求出输出序列 求解差分方程的三种基本方法 1 经典解法 2 递推解法 3 变换域方法 上式表明 已知输入序列和N个初始条件 则可以求出n时刻的输出 如果将该公式中的n用n 1代替 可以求出n 1时刻的输出 因此上式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程 例1 4 1设系统用差分方程y n ay n 1 x n 描述 输入序列x n n 求输出序列y n 解 该系统差分方程是一阶差分方程 需要一个初始条件 1 设初始条件y 1 0 2 设初始条件y 1 1 该例表明 对于同一个差分方程和同一个输入信号 因为初始条件不同 得到的输出信号是不相同的 对于实际系统 用递推解法求解 总是由初始条件向n 0的方向递推 是一个因果解 但对于差分方程 其本身也可以向n 0的方向递推 得到的是非因果解 因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统 还需要用初始条件进行限制 下例就是向n 0方向递推 例1 4 2 设差分方程为 求输出序列y n 将n 1用n代替 得到 这确实是一个非因果的输出信号 用差分方程求系统的单位脉冲响应 由于单位脉冲响应是当系统输入 n 时的零状态响应 因此只要令差分方程中的输入序列为 n N个初始条件都为零 其解就是系统的单位脉冲响应 例题1 4 1 1 中求出的y n 就是该系统的单位脉冲响应 例题1 4 2求出的y n 则是一个非因果系统的单位脉冲响应 用MATLAB求解差分方程 MATLAB信号处理工具箱提供filter函数实现线性常系数差分方程的递推求解 调用格式 yn filter B A xn 计算系统对输入信号向量xn的零状态响应输出信号向量yn yn与xn长度相等 其中 B和A是下式所给差分方程的系数向量 即B b0 b1 bM A a0 a1 aN 其中a0 1 如果a0 1 则filter用a0对系数向量B和A归一化 yn filter B A xn xi 计算系统对输入信号向量xn的全响应输出信号yn 即由初始状态引起的零输入响应和由输入信号xn引起的零状态响应之和 xi是等效初始条件的输入序列 由初始条件确定 调用函数filtic就可以由初始条件计算xi 调用格式为 xi filtic B A ys xs ys和xs是初始条件向量 ys y 1 y 2 y 3 y N xs x 1 x 2 x 3 x M 如果xn是因果序列 则xs 0 调用时可缺省xs 例1 4 1的MATLAB求解程序如下 调用filter解差分方程y n ay n 1 x n a 0 8 ys 1 a 0 8 初始状态 y 1 1xn 1 zeros 1 30 x n 单位脉冲序列 长度N 31B 1 A 1 a 差分方程系数xi filtic B A ys 由初始条件计算等效输入序列xiyn filter B A xn xi 调用filter 求系统输出信号y n n 0 length yn 1 subplot 1 2 1 stem n yn title a xlabel n ylabel y n 程序中取差分方程系数a 0 8时 得到系统输出y n 如图1 4 1 a 所示 与例1 4 1的解析递推结果完全相同 如果令初始条件y 1 0 仅修改程序中ys 0 则得到系统输出y n h n 如图1 4 1 b 所示 图1 4 1例1 4 1求解程序输出波形 1 5模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点 因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号 再采用数字信号处理技术进行处理 处理完毕 如果需要 再转换成模拟信号 这种处理方法称为模拟信号数字处理方法 其原理框图如图1 5 1所示 图1 5 1模拟信号数字处理框图 1 5 1采样定理及A D变换器对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S 设电子开关每隔周期T合上一次 每次合上的时间为 T 在电子开关输出端得到其采样信号 图1 5 2对模拟信号进行采样 上式中 t 是单位冲激信号 在上式中只有当t nT时 才可能有非零值 因此写成下式 1 5 1 1 5 2 我们关心的是理想采样前后信号频谱的变化 对式推导如下 1 5 3 因为 所以 式中 s 2 T 称为采样角频率 单位是弧度 秒 1 5 4 设 上式表明 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴 每间隔采样角频率 s重复出现一次 或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以 s为周期 进行周期性延拓而成的 图1 5 3采样信号的频谱 图1 5 4采样恢复 1 5 6 需要说明 一般频谱函数是复函数 相加应是复数相加 图1 5 3和图1 5 4仅是示意图 一般称fs 2为折叠频率 只有当信号最高频率不超过该频率时 才不会产生频率混叠现象 否则超过fs 2的频谱会折叠回来形成混叠现象 因此频率混叠均产生在fs 2附近 1 对连续信号进行等间隔采样形成采样信号 采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的 用下式表示 2 设连续信号xa t 属带限信号 最高截止频率为 c 如果采样角频率 s 2 c 那么让采样信号通过一个增益为T 截止频率为 s 2 T的理想低通滤波器 可以唯一地恢复出原连续信号xa t 否则 s 2 c会造成采样信号中的频谱混叠现象 不可能无失真地恢复原连续信号 图1 5 5A DC原理框图 将模拟信号转换成数字信号由A DC完成 通过按等间隔T对模拟信号进行采样 得到一串采样点上的样本数据 这一串样本数据可看作时域离散信号 序列 设A DC有M位 那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据 即形成数字信号 因此 采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程 例如 模拟信号xa t sin 2 ft 8 式中f 50Hz 选采样频率fs 200Hz 将t nT代入Xa t 中 得到采样数据 当n 0 1 2 3 时 得到序列x n 如下 x n 0 382683 0 923879 0 382683 0 923879 按照M 6进行量化编码 用一位作符号位 以十进制表示为 1 5 2将数字信号转换成模拟信号我们已经知道模拟信号xa t 经过理想采样 得到采样信号 xa t 和之间的关系用下式描述 如果选择采样频率Fs满足采样定理 的频谱没有频谱混叠现象 可用一个传输函数为G j 的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号x